2020-2021学年高中人教A版数学必修3学案 1.3 算法案例 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中人教A版数学必修3学案 1.3 算法案例 Word版含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 358.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-15 09:00:22 | ||
图片预览
文档简介
1.3 算法案例
学 习 目 标 核 心 素 养
1．会用辗转相除法与更相减损术求两数的最大公约数．(重点、易混点) 2．会用秦九韶算法求多项式的值．(重点)
3．会在不同进位制间进行相互转化．(难点) 1．通过古代传统算法，培养数学运算素养．
2．借助算法案例，提升逻辑推理素养.
1．辗转相除法与更相减损术
(1)辗转相除法
①辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．
②所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
(2)更相减损术
①更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两数最大公约数的方法．
②运算过程：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
2．秦九韶算法
功能 计算n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值
改写后的形式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
计算方法 从括号最内层开始，由内向外逐层计算
v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…
vn＝vn－1x＋a0，
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值
3．进位制
(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“满k进一”就是k进制，k进制的基数是 k.
(2)将k进制数化为十进制数的方法是：先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．
(3)将十进制数化为k进制数方法是：除k取余法．即用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒排写出．就是相应的k进制数．
1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )
A．4 B．12
C．16 D．8
A [根据更相减损术的方法判断．]
2．下列有可能是4进制数的是( )
A．5123 B．6542
C．3103 D．4312
C [4进制中逢4进1，
每位上的数字一定小于4.]
3．已知多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于( )
A．－ B．
C． D．－
A [∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，
∴f(－2)＝－.]
4．利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是________
3 869＝2 628×1＋1 241 [第一步应为6 497＝3 869×1＋2 628；
第二步应为3 869＝2 628×1＋1 241.]
求最大公约数
【例1】 求228与1995的最大公约数．
思路点拨：求两个正整数的最大公约数可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．
[解] 法一：(辗转相除法)1 995＝8×228＋171,228＝1×171＋57,171＝3×57，
所以228与1 995的最大公约数为57.
法二：(更相减损术)1 995－228＝1 767,1 767－228＝1 539，
1 539－228＝1 311,1 311－228＝1 083，
1 083－228＝855,855－228＝627，
627－228＝399,399－228＝171，
228－171＝57,171－57＝114，
114－57＝57.
所以228与1 995的最大公约数为57.
求最大公约数的两种方法
(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数.
(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：第一步判断两个正整数是否都是偶数，若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
1．用辗转相除法和更相减损术求1 515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为( )
A．4,15 B．5,14
C．5,13 D．4,12
B [辗转相除法：1 515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．
用更相减损术：1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.故最大公约数为15，且需计算14次．]
秦九韶算法
【例2】 已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．
思路点拨：可根据秦九韶算法的原理，将所给的多项式改写，然后由内到外逐次计算．
[解] 将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，
由内向外依次计算一次多项式，当x＝5时的值：
v0＝4；
v1＝4×5＋2＝22；
v2＝22×5＋3.5＝113.5；
v3＝113.5×5－2.6＝564.9；
v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；
v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.
所以当x＝5时，多项式的值等于14 130.2.]
利用秦九韶算法求多项式的值的步骤
2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v3的值为( )
A．－144 B．－136
C．－57 D．34
B [根据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.
由内向外计算v0＝3；
v1＝3×(－4)＋5＝－7；
v2＝－7×(－4)＋6＝34；
v3＝34×(－4)＋0＝－136.]
进位制及其转化
[探究问题]
1．数学上通常使用什么进位制？它的原理是什么？
[提示] 十进制
十进制的原理是满十进一．一个十进制正整数N可以写成an·10n＋an－1·10n－1＋…＋a1·101＋a0·100的形式，其中an，an－1，…，a1，a0都是0至9中的数字，且an≠0.例如365＝3×102＋6×10＋5.
2．你还知道哪些进位制？它们与目前我们使用的进位制数之间能否转化？
[提示] (1)二进制使用0和1这两个数字，基数为2.
(2)八进制使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字，基数为8.
(3)十六进制使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个符号，基数为16.其中A，B，C，D，E，F分别相当于十进制中的10,11,12,13,14,15.
它们与十进位制数之间可以转化，两个非十进制数之间也可以以十进制作“桥梁”，进行相互转化．
3．不同的进位制数如何区分？
[提示] 一般地，k进制数的原理是满k进一，k进制数一般在右下角处标注(k)，以示区别．例如270(8)表示270是一个8进制数．但十进制一般省略不写．
【例3】 下列四个数中，最大的是( )
A．11011(2) B．103(4)
C．44(5) D．25
思路点拨：先将各数都转化为十进制数，再比较大小．
A [11011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，
103(4)＝1×42＋0×41＋3×40＝19,44(5)＝4×51＋4×50＝24.
∵27＞25＞24＞19，∴最大数是11011(2)．]
1．(变条件)210(6)化成十进制数为________．
78 [210(6)＝2×62＋1×6＝78.
]
2．(变结论)把1234(5)化成七进制数为________．
365(7) [∵1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.而
∴1 234(5)＝194＝365(7)]
进位制的转换方法
(1)要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和．
(2)十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤
1．求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．
2．秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行．
3．把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：(1)必须除到所得的商是0为止；(2)各步所得的余数必须从下到上排列；(3)切记在所求数的右下角标明基数．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用辗转相除法与更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数． ( )
(2)秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数，提高了运算效率． ( )
(3)不同进位制中，十进制的数比二进制的数大． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为( )
A．4 B．3
C．5 D．6
B [120＝72×1＋48,72＝48×1＋24,48＝24×2.]
3．将八进制数123(8)化为十进制数，结果为________．
83 [1×82＋2×81＋3×80＝64＋16＋3＝83.]
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当x＝2时，多项式的值为1 397.
学 习 目 标 核 心 素 养
1．会用辗转相除法与更相减损术求两数的最大公约数．(重点、易混点) 2．会用秦九韶算法求多项式的值．(重点)
3．会在不同进位制间进行相互转化．(难点) 1．通过古代传统算法，培养数学运算素养．
2．借助算法案例，提升逻辑推理素养.
1．辗转相除法与更相减损术
(1)辗转相除法
①辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．
②所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
(2)更相减损术
①更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两数最大公约数的方法．
②运算过程：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
2．秦九韶算法
功能 计算n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值
改写后的形式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
计算方法 从括号最内层开始，由内向外逐层计算
v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…
vn＝vn－1x＋a0，
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值
3．进位制
(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“满k进一”就是k进制，k进制的基数是 k.
(2)将k进制数化为十进制数的方法是：先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．
(3)将十进制数化为k进制数方法是：除k取余法．即用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒排写出．就是相应的k进制数．
1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )
A．4 B．12
C．16 D．8
A [根据更相减损术的方法判断．]
2．下列有可能是4进制数的是( )
A．5123 B．6542
C．3103 D．4312
C [4进制中逢4进1，
每位上的数字一定小于4.]
3．已知多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于( )
A．－ B．
C． D．－
A [∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，
∴f(－2)＝－.]
4．利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是________
3 869＝2 628×1＋1 241 [第一步应为6 497＝3 869×1＋2 628；
第二步应为3 869＝2 628×1＋1 241.]
求最大公约数
【例1】 求228与1995的最大公约数．
思路点拨：求两个正整数的最大公约数可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．
[解] 法一：(辗转相除法)1 995＝8×228＋171,228＝1×171＋57,171＝3×57，
所以228与1 995的最大公约数为57.
法二：(更相减损术)1 995－228＝1 767,1 767－228＝1 539，
1 539－228＝1 311,1 311－228＝1 083，
1 083－228＝855,855－228＝627，
627－228＝399,399－228＝171，
228－171＝57,171－57＝114，
114－57＝57.
所以228与1 995的最大公约数为57.
求最大公约数的两种方法
(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数.
(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：第一步判断两个正整数是否都是偶数，若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
1．用辗转相除法和更相减损术求1 515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为( )
A．4,15 B．5,14
C．5,13 D．4,12
B [辗转相除法：1 515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．
用更相减损术：1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.故最大公约数为15，且需计算14次．]
秦九韶算法
【例2】 已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．
思路点拨：可根据秦九韶算法的原理，将所给的多项式改写，然后由内到外逐次计算．
[解] 将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，
由内向外依次计算一次多项式，当x＝5时的值：
v0＝4；
v1＝4×5＋2＝22；
v2＝22×5＋3.5＝113.5；
v3＝113.5×5－2.6＝564.9；
v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；
v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.
所以当x＝5时，多项式的值等于14 130.2.]
利用秦九韶算法求多项式的值的步骤
2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v3的值为( )
A．－144 B．－136
C．－57 D．34
B [根据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.
由内向外计算v0＝3；
v1＝3×(－4)＋5＝－7；
v2＝－7×(－4)＋6＝34；
v3＝34×(－4)＋0＝－136.]
进位制及其转化
[探究问题]
1．数学上通常使用什么进位制？它的原理是什么？
[提示] 十进制
十进制的原理是满十进一．一个十进制正整数N可以写成an·10n＋an－1·10n－1＋…＋a1·101＋a0·100的形式，其中an，an－1，…，a1，a0都是0至9中的数字，且an≠0.例如365＝3×102＋6×10＋5.
2．你还知道哪些进位制？它们与目前我们使用的进位制数之间能否转化？
[提示] (1)二进制使用0和1这两个数字，基数为2.
(2)八进制使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字，基数为8.
(3)十六进制使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个符号，基数为16.其中A，B，C，D，E，F分别相当于十进制中的10,11,12,13,14,15.
它们与十进位制数之间可以转化，两个非十进制数之间也可以以十进制作“桥梁”，进行相互转化．
3．不同的进位制数如何区分？
[提示] 一般地，k进制数的原理是满k进一，k进制数一般在右下角处标注(k)，以示区别．例如270(8)表示270是一个8进制数．但十进制一般省略不写．
【例3】 下列四个数中，最大的是( )
A．11011(2) B．103(4)
C．44(5) D．25
思路点拨：先将各数都转化为十进制数，再比较大小．
A [11011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，
103(4)＝1×42＋0×41＋3×40＝19,44(5)＝4×51＋4×50＝24.
∵27＞25＞24＞19，∴最大数是11011(2)．]
1．(变条件)210(6)化成十进制数为________．
78 [210(6)＝2×62＋1×6＝78.
]
2．(变结论)把1234(5)化成七进制数为________．
365(7) [∵1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.而
∴1 234(5)＝194＝365(7)]
进位制的转换方法
(1)要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和．
(2)十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤
1．求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．
2．秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行．
3．把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：(1)必须除到所得的商是0为止；(2)各步所得的余数必须从下到上排列；(3)切记在所求数的右下角标明基数．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用辗转相除法与更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数． ( )
(2)秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数，提高了运算效率． ( )
(3)不同进位制中，十进制的数比二进制的数大． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为( )
A．4 B．3
C．5 D．6
B [120＝72×1＋48,72＝48×1＋24,48＝24×2.]
3．将八进制数123(8)化为十进制数，结果为________．
83 [1×82＋2×81＋3×80＝64＋16＋3＝83.]
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当x＝2时，多项式的值为1 397.