2020-2021学年高中人教A版数学必修3学案 3.1.3　概率的基本性质 Word版含解析

3.1.3　概率的基本性质
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解事件间的包含关系和相等关系． 2．理解互斥事件和对应事件的概念及关系．(难点、易混点)
3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．(重点)
4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算. 1．通过互斥事件与对立事件的学习，体会逻辑推理素养．
2．借助概率的求法，提升数学运算素养.
1．事件的关系与运算
(1)事件的关系：
定义 表示法 图示
包含 关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B?A
(或A?B)
相等 关系 A?B且B?A A＝B
事件 互斥 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝?
事件 对立 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝?且A∪B＝U
(2)事件的运算：
定义 表示法 图示
并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B
(或A＋B)
交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B
(或AB)
2.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：[0,1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
思考：互斥事件与对立事件有什么区别和联系？
[提示]　
判断对象 区别 联系
A，B是互斥事件 A∩B＝? 若A，B是对立事件，则A，B一定互斥
A，B是对立事件 A∩B＝?，A∪B＝Ω
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)
A．A?B　　　　 B．A?B
C．A＝B D．AA　[由事件的包含关系知A?B.]
2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则(　　)
A．A?B B．A＝B
C．A与B互斥 D．A与B对立
C　[由于事件A与B不可能同时发生，故A、B互斥．]
3．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：“恰有一件次品”；
事件B：“至少有两件次品”；
事件C：“至少有一件次品”；
事件D：“至多有一件次品”．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∪B＝B；④A∪D＝C.
其中正确的序号是(　　)
A．①② B．③④
C．①③ D．②③
A　[A∪B表示的事件：至少有一件次品，即事件C，所以①正确，③不正确；D∪B表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；A∪D表示的事件：至多有一件次品，即事件D，所以④不正确．]
4．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．
0.65　[中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.]

互斥事件与对立事件的判定
【例1】　(1)下列各组事件中，不是互斥事件的是(　　)
A．一个射手进行一次射击，“命中环数大于8”与“命中环数小于6”
B．统计一个班级数学期中考试成绩，“平均分数不低于90分”与“平均分数不高于90分”
C．播种菜籽100粒，“发芽90粒”与“发芽80粒”
D．检查某种产品，“合格率高于70%”与“合格率为70%”
(2)从1,2,3，…，9中任取两数，给出下列各组事件：
①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”；
②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”；
③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”；
④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”．
其中是对立事件的是(　　)
A．①　　　 B．②④
C．③ D．①③
(1)B　(2)C　[(1)A中，一个射手进行一次射击，“命中环数大于8”与“命中环数小于6”不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；B中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B中两事件不为互斥事件；C中，播种菜籽100粒，“发芽90粒”与“发芽80粒”不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；D中，检查某种产品，“合格率高于70%”与“合格率为70%”不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件．
(2)本题考查对立事件的概念．
从1,2,3，…，9中任取两数，有以下三种情况：
a．两个奇数；b.两个偶数；c.一个奇数和一个偶数．
所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生．]
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断,设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝?IB或B＝?IA.
1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是(　　)
A．对立事件 B．相等事件
C．互斥但不对立事件 D．以上说法均不正确
C　[按黑牌的分配情况分解事件．
黑牌
由此可得“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件，故选C.]
事件的关系及运算
【例2】　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解]　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解]　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.
互斥事件与对立事件的概率公式及应用
[探究问题]
1．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
[提示]　不一定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．
2．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．
[提示]　A与B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝1，但A、B不对立．
【例3】　在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；
(2)小明数学考试及格的概率．
思路点拨：小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．
[解]　分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
1．(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．
[解]　分别记小明的成绩“在90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”，“在60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥．
∴小明成绩在80分以下的概率是：
P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.
2．(变条件)一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
[解]　法一：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
法二：(利用对立事件求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
解决复杂事件的概率问题的关键
(1)必须判断事件A，B是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；
(2)所求事件必须是几个互斥事件的和；
(3)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求出时，可先转化为求其对立事件的概率.
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)互斥事件一定是对立事件． (　　)
(2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率． (　　)
(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B一定是对立事件． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为(　　)
A．0个　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
C　[对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；又A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，④错；只有A、B对立时，P(A)＝1－P(B)才成立，⑤错．]
3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．
0.3　[摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.]
4．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
[解]　(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．