(共24张PPT)
2.3.1
双曲线及其标准方程
1.
椭圆的定义
和
等于常数
2a
(
2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2.
引入问题：
复习
双曲线图象
拉链画双曲线
|MF1|+|MF2|=2a(
2a>|F1F2|>0)
思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹
”是什么？
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
由①②可得：
|
|MF1|-|MF2|
|
=
2a
（差的绝对值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
上面
两条曲线合起来叫做
双曲线,每一条叫做双曲线
的一支。
思考：常数2a满足什么条件时才为双曲线？
常数0<2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线
痕介府逗通珊捧忿茵贰辈楼脾看呀靴堡恫潭烽柱附粳挎始烛迟脓痘赋嘻寥双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程
（1）若
,则轨迹是什么？
（2）若
,则轨迹是什么？
（3）若
,则轨迹是什么？
(1)两条射线
(2)不表示任何轨迹
(3)线段F1F2的垂直平分线
①
两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②
|F1F2|=2c
——焦距.
（1）2a<2c
；
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
（2）2a
>0
；
双曲线定义
思考：
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
说明
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
|
|MF1|
-
|MF2|
|
=
2a
(1)两条射线
(2)不表示任何轨迹
(3)线段F1F2的垂直平分线
F
2
F
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
双曲线的标准方程
1.
建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
设M（x
,
y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式
|MF1|
-
|MF2|=±2a
4.化简
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
若建系时,焦点在y轴上呢?
看
前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
问题
定
义
方
程
焦
点
a.b.c的关系
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭
圆
双曲线
F（0，±c）
F（0，±c）
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
练习
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1,
)
例2:如果方程
表示双曲线，求m的取值范围.
解:
方程
表示焦点在y轴双曲线时，
则m的取值范围_____________.
思考：
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解:
由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例3.
已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即
2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
P
B
A
C
x
y
o
几何画板演示第2题的轨迹
练习第1题详细答案
本课小结
解:
在△ABC中,|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为
