17.2勾股定理的逆定理-2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提升训练（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 17.2勾股定理的逆定理-2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提升训练（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 329.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-14 10:55:03 | ||
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文档简介
2020-2021年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步提升训练（附答案）
1．下列各组线段中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1、、2 B．1、、 C．、2、 D．、、
2．下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形
C．△ABC 的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．5，7，9
C．4，5，6 D．6，8，10
如果用，a、b、c表示△ABC的三边，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（ ）
①b2＝c2﹣a2②a：b：c＝3：4：5③∠C＝∠A﹣∠B④∠A：∠B：∠C＝12：13：15
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，AB上取一点E，AC上取一点F使得∠EFC＝136°，过点B作BD∥EF，则∠CBD等于（ ）
A．44° B．56° C．46° D．68°
6．如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m后往东一拐，仅走0.5m就到达了B．则点A与点B之间的直线距离是（ ）
A．10m B．8.5m C．7m D．6.5m
7．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共12小题）
8．将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度为 cm．
9．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝ °．
10．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度 ．
11．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC 尺．
12．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是 尺．
13．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
14．若一个三角形的三边长为m+1，12，m+5，当m＝ 时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m+5．
15．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有 组这样的“完美勾股数”．
16．将一根16cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒子外面的最短长度是 ．
17．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是 ．
19．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动 ．
20．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．
（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
21．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
22．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
23．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
24．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
25．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
26．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求AB边上的高．
27．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，点E在AD的延长线上，AD＝ED＝6．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）求△ABD的面积．
参考答案
1．解：A．∵12+（）2≠22，
∴以1，，2为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵12+（）2＝（）2，
∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵22+（）2＝（）2，
∴以2，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵（）2+（）2＝（）2，
∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：A、△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，可得，∠A＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
B、△ABC中，若b2﹣c2＝a2，可得，b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
C、△ABC 的三边之比是5：12：13，可得，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
D、△ABC中，若a2+b2≠c2，而b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法错误，符合题意；
故选：D．
3．解：A、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；
B、∵52+72≠92，∴这组数不是勾股数；
C、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；
D、∵62+82＝102，∴这组数是勾股数．
故选：D．
4．解：①b2＝c2﹣a2，可以变形为b2+a2＝c2，是直角三角形；
②∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴a2+b2＝c2，
∴是直角三角形；
③∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∵∠C+∠B+∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴是直角三角形；
④∵∠A：∠B：∠C＝12：13：15，
∴设∠A＝×180°≠90°
∴不是直角三角形；
则直角三角形有3个，
故选：C．
5．解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，
∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°．
过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．
∵CM∥EF，∠EFC＝136°，
∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝44°，
∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝46°．
又∵CM∥BD，
∴∠CBD＝∠BCM＝46°．
故选：C．
6．解：过点B作BC⊥AD于C，
从图中可以看出AC＝4﹣2+0.5＝2.5（m），
BC＝4.5+1.5＝6（m），
在直角△ABC中，AB为斜边，
则AB＝＝6.5（m）．
答：从点A到点B之间的距离是6.5m，
故选：D．
7．解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，
在△ABC中，BC＝4，CA＝3，AB＝5，
∴△ABC是直角三角形，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
设OE＝x，
∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，
∴×4×3＝OD×5+OE×3+OF×4，
∴5x+3x+4x＝12，
∴x＝1，
∴点O到BC的距离等于1．
即△BOC的BC边上的高是1，
故选：A．
8．解：设筷子露在杯子外面的长度为h，
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝＝＝20（cm），
故h＝24﹣20＝4（cm）．
故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm．
故答案为：4．
9．解：连接BC，
由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，
∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，
∴∠OCB＝90°，
即△COB是等腰直角三角形，
∴∠COB＝45°，
∵∠DOA＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，
故答案为：45．
10．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：
（x+1）2＝x2+52，
解得：x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
11．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2．
解得：x＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故答案为：＝4．
12．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故答案是：13．
13．解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
14．解：由题意可得，（m+1）2+122＝（m+5）2，
解得m＝15．
故答案为：15．
15．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，
又∵149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
16．解：如图，由题意知：盒子底面对角长为＝5（cm），
盒子的对角线长：＝13（cm），
∵细木棒长16cm，
∴细木棒露在盒外面的最短长度是：16﹣13＝3cm．
故答案为：3cm．
17．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝8米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12AE＝AB﹣CD＝5，
在直角三角形AEC中，
斜边长AC＝＝13米，即小鸟至少要飞13米．
故答案为13．
18．解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．
19．解：依照题意画出图形，如图所示．
在Rt△AOB中，OB＝3m，AB＝5m，
∴OA＝＝4m．
在Rt△COD中，OC＝OA﹣AC＝3m，CD＝AB＝5m，
∴OD＝＝4m，
∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1m．
故答案为：1m．
20．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，
∴m；
（2）如图，连接BE，
在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，
∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，
∵AB＝16m，AE＝2m，
∴AB2+AE2＝162+22＝260，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，
∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．
又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．
∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．
21．解：（1）a2+b2＞c2，
理由如下：过点A作AD⊥BC 于D，
设CD＝x，则BD＝a﹣x，
由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
整理得：a2+b2＝c2+2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＞c2；
（2）a2+b2＜c2，
理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，
设CE＝x，
则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，
整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＜c2；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，
由勾股定理得，AC＝＝100，
由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，
解得，CF＝30，
则DF＝＝60，
∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米2
22．（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
∴AC＝＝＝5（米），
∵CD＝3米，AD＝4米，
∴AD2+CD2＝AC2＝25，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：图中阴影部分土地的面积＝A×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．
23．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．
由题意得x2+52＝（x+1）2．
解得x＝12．
∴x+1＝13．
答：水深12尺；芦苇长13尺．
24．解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
25．解：设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，
∴502+x2＝（80﹣x）2+302，
解得x＝30．
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．
26．解：（1）△ABC为直角三角形，
理由：由图可知，
，BC＝，AB＝＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AB边上的高为h，
由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，
∴＝，
即＝h，
解得，h＝2，
即AB边上的高为2．
27．证明：（1）∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
（2）∵△ABD≌△ECD，
∴AB＝CE＝5，
∵AE＝AD+ED＝12，AC＝13，CE＝5，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴△ACE是直角三角形，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝×5×12＝30，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝15
1．下列各组线段中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1、、2 B．1、、 C．、2、 D．、、
2．下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形
C．△ABC 的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．5，7，9
C．4，5，6 D．6，8，10
如果用，a、b、c表示△ABC的三边，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（ ）
①b2＝c2﹣a2②a：b：c＝3：4：5③∠C＝∠A﹣∠B④∠A：∠B：∠C＝12：13：15
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，AB上取一点E，AC上取一点F使得∠EFC＝136°，过点B作BD∥EF，则∠CBD等于（ ）
A．44° B．56° C．46° D．68°
6．如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m后往东一拐，仅走0.5m就到达了B．则点A与点B之间的直线距离是（ ）
A．10m B．8.5m C．7m D．6.5m
7．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共12小题）
8．将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度为 cm．
9．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝ °．
10．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度 ．
11．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC 尺．
12．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是 尺．
13．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
14．若一个三角形的三边长为m+1，12，m+5，当m＝ 时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m+5．
15．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有 组这样的“完美勾股数”．
16．将一根16cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒子外面的最短长度是 ．
17．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是 ．
19．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动 ．
20．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．
（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
21．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
22．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
23．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
24．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
25．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
26．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求AB边上的高．
27．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，点E在AD的延长线上，AD＝ED＝6．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）求△ABD的面积．
参考答案
1．解：A．∵12+（）2≠22，
∴以1，，2为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵12+（）2＝（）2，
∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵22+（）2＝（）2，
∴以2，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵（）2+（）2＝（）2，
∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：A、△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，可得，∠A＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
B、△ABC中，若b2﹣c2＝a2，可得，b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
C、△ABC 的三边之比是5：12：13，可得，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
D、△ABC中，若a2+b2≠c2，而b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法错误，符合题意；
故选：D．
3．解：A、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；
B、∵52+72≠92，∴这组数不是勾股数；
C、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；
D、∵62+82＝102，∴这组数是勾股数．
故选：D．
4．解：①b2＝c2﹣a2，可以变形为b2+a2＝c2，是直角三角形；
②∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴a2+b2＝c2，
∴是直角三角形；
③∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∵∠C+∠B+∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴是直角三角形；
④∵∠A：∠B：∠C＝12：13：15，
∴设∠A＝×180°≠90°
∴不是直角三角形；
则直角三角形有3个，
故选：C．
5．解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，
∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°．
过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．
∵CM∥EF，∠EFC＝136°，
∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝44°，
∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝46°．
又∵CM∥BD，
∴∠CBD＝∠BCM＝46°．
故选：C．
6．解：过点B作BC⊥AD于C，
从图中可以看出AC＝4﹣2+0.5＝2.5（m），
BC＝4.5+1.5＝6（m），
在直角△ABC中，AB为斜边，
则AB＝＝6.5（m）．
答：从点A到点B之间的距离是6.5m，
故选：D．
7．解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，
在△ABC中，BC＝4，CA＝3，AB＝5，
∴△ABC是直角三角形，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
设OE＝x，
∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，
∴×4×3＝OD×5+OE×3+OF×4，
∴5x+3x+4x＝12，
∴x＝1，
∴点O到BC的距离等于1．
即△BOC的BC边上的高是1，
故选：A．
8．解：设筷子露在杯子外面的长度为h，
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝＝＝20（cm），
故h＝24﹣20＝4（cm）．
故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm．
故答案为：4．
9．解：连接BC，
由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，
∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，
∴∠OCB＝90°，
即△COB是等腰直角三角形，
∴∠COB＝45°，
∵∠DOA＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，
故答案为：45．
10．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：
（x+1）2＝x2+52，
解得：x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
11．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2．
解得：x＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故答案为：＝4．
12．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故答案是：13．
13．解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
14．解：由题意可得，（m+1）2+122＝（m+5）2，
解得m＝15．
故答案为：15．
15．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，
又∵149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
16．解：如图，由题意知：盒子底面对角长为＝5（cm），
盒子的对角线长：＝13（cm），
∵细木棒长16cm，
∴细木棒露在盒外面的最短长度是：16﹣13＝3cm．
故答案为：3cm．
17．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝8米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12AE＝AB﹣CD＝5，
在直角三角形AEC中，
斜边长AC＝＝13米，即小鸟至少要飞13米．
故答案为13．
18．解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．
19．解：依照题意画出图形，如图所示．
在Rt△AOB中，OB＝3m，AB＝5m，
∴OA＝＝4m．
在Rt△COD中，OC＝OA﹣AC＝3m，CD＝AB＝5m，
∴OD＝＝4m，
∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1m．
故答案为：1m．
20．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，
∴m；
（2）如图，连接BE，
在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，
∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，
∵AB＝16m，AE＝2m，
∴AB2+AE2＝162+22＝260，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，
∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．
又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．
∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．
21．解：（1）a2+b2＞c2，
理由如下：过点A作AD⊥BC 于D，
设CD＝x，则BD＝a﹣x，
由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
整理得：a2+b2＝c2+2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＞c2；
（2）a2+b2＜c2，
理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，
设CE＝x，
则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，
整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＜c2；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，
由勾股定理得，AC＝＝100，
由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，
解得，CF＝30，
则DF＝＝60，
∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米2
22．（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
∴AC＝＝＝5（米），
∵CD＝3米，AD＝4米，
∴AD2+CD2＝AC2＝25，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：图中阴影部分土地的面积＝A×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．
23．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．
由题意得x2+52＝（x+1）2．
解得x＝12．
∴x+1＝13．
答：水深12尺；芦苇长13尺．
24．解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
25．解：设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，
∴502+x2＝（80﹣x）2+302，
解得x＝30．
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．
26．解：（1）△ABC为直角三角形，
理由：由图可知，
，BC＝，AB＝＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AB边上的高为h，
由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，
∴＝，
即＝h，
解得，h＝2，
即AB边上的高为2．
27．证明：（1）∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
（2）∵△ABD≌△ECD，
∴AB＝CE＝5，
∵AE＝AD+ED＝12，AC＝13，CE＝5，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴△ACE是直角三角形，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝×5×12＝30，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝15