18.2特殊的平行四边形-2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提升训练试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 18.2特殊的平行四边形-2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提升训练试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 402.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-14 15:10:27 | ||
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文档简介
2020-2021年人教版八年级数学下册《18.2特殊的平行四边形》同步提升训练（附答案）
1．如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（ ）
①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．12
4．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形 ②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形 ④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
10．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（ ）
①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；④∠AOE＝150°；⑤S△AOE＝S△COE．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
11．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为 ．
12．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为 ．
13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝ ．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为 ．
15．在菱形ABCD中，∠BAD＝108°°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的度数是 ．
16．如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，若CG＝7，则GH的长为 ．
17．已知菱形ABCD的面积是96，对角线AC是12，那么菱形ABCD的周长是 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为 ．
19．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为 ．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
21．如图，在菱形ABCD中，BC＝3，BD＝2，点O是BD的中点，延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，点M是CE的中点，则OM＝ ．
22．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25．如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．
（1）如果AB＝AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．
27．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
28．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∴DE∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴?BCED是矩形，
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；
∴AE＝CF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴AF＝CF＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；
正确的个数有3个，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
4．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：D．
5．解：如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠HDO＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠GDO+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠HDO＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝25°，
∴∠DHO＝25°，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴∠PQB＝∠PEB＝90°．
∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．
∴四边形PQBE为矩形．
∴PE＝BQ．
∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△PAQ为等腰三角形．
∴PQ＝AQ．
∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．
故选：B．
7．解：①若AB＝BC，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
8．解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，
∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，
∴AB＝＝＝3，
∵DH×AB＝AC×BD，
∴DH＝＝2，
∴BH＝＝＝2，
故选：C．
9．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AB＝AC?BP，
即×8×6＝×10?BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故选：C．
10．解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
二．填空题（共11小题）
11．解：当点P在AD上时，
∵PD＝3AP，PD+AP＝8，
∴AP＝2，
当点P在AB上时，
∵PD2＝AP2+AD2，
∴9AP2＝AP2+64，
∴AP＝2，
综上所述：AP＝2或2，
故答案为2或2．
12．解：如图1，当点E在AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；
如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，
∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．
故答案为：5或1．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
14．解：当点P在AD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边AD中点，
∴PE＝AB＝2；
当点P在CD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边CD中点，
∴PE＝＝＝．
所以PE的长为：2或．
故答案为：2或．
15．解：如图，连接BN，
∵在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，
∴AD＝AB，∠ABC＝72°，∠CAB＝54°，
∵AB的垂直平分线交AC于点N，
∴AN＝NB，
∴∠CAB＝∠ABN＝54°，
∴∠CBN＝72°﹣54°＝18°，
在△DCN和△BCN中，
，
∴△DCN≌△BCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBN＝18°，
故答案为：18°．
16．解：如图，连接AG，GE，
∵AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，
∴AG＝GE，AH＝HE，AH⊥HE，
设AD＝CD＝BC＝AB＝2a，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE＝a，
∵AG2＝AB2+BG2，GE2＝EC2+GC2，
∴4a2+（2a﹣7）2＝a2+49，
∴a1＝4，a2＝0（舍去），
∴EC＝DC＝4，AD＝8，
∴GE＝＝＝，
AE＝＝＝4，
∴HE＝2，
∴GH＝＝＝3，
故答案为：3．
17．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝OD＝BD，AO＝OC＝AC＝6，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AC?BD＝96，
∴BD＝16，
∴BO＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴菱形的周长＝4×10＝40．
故答案为：40．
18．解：连接CP，BD，交AC于M，
∵四边形ABCD 为正方形，BC＝2，
∴BD⊥AC，垂足为M，BM＝MC＝BC＝，
∵S△BCE＝CE?BM，S△PCE＝CE?PF，S△BCP＝BC?PG，S△BCE＝S△PCE+S△BCP，
∴CE?BM＝CE?PF+BC?PG，
∵BC＝CE，
∴BM＝PF+PG，
∴PG+PF＝．
故答案为．
19．解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，
同理可得HE＝1，
在Rt△GHE中，GH＝＝＝，
故答案为：．
20．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，
∴CF＝4，
∴BF＝＝＝，
∴GH＝，
故答案为：．
21．解：连接OC，∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝3，BO＝OD＝1，
∴CO⊥BD，
∴OC＝，
∵DE＝BD＝2，
在Rt△EOC中，CE＝，
∵点M是CE的中点，
∴OM＝，
故答案为：．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
23．（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
24．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
25．解：（1）四边形ADCF为矩形，
理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF＝CD，
又∵E为AD的中点，AF∥BD，
∴AE＝DE，∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴BD＝AF，
∴BD＝CD，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形AFCD为矩形；
（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；
理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，
∴平行四边形ADCF为矩形，
∴矩形ADCF为正方形．
26．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴CE＝AE，
过点E作EH⊥AC于点H，
∴CH＝AH
∵AC＝4，
∴CH＝2，
∴CE＝；
（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∴四边形CEGF是菱形
27．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
28．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECB＝OCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EB＝EC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB＝，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝＝．
1．如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（ ）
①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．12
4．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当AB＝BC时，它是矩形 ②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形 ④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
10．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（ ）
①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；④∠AOE＝150°；⑤S△AOE＝S△COE．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
11．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为 ．
12．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为 ．
13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝ ．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为 ．
15．在菱形ABCD中，∠BAD＝108°°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的度数是 ．
16．如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，若CG＝7，则GH的长为 ．
17．已知菱形ABCD的面积是96，对角线AC是12，那么菱形ABCD的周长是 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为 ．
19．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为 ．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
21．如图，在菱形ABCD中，BC＝3，BD＝2，点O是BD的中点，延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，点M是CE的中点，则OM＝ ．
22．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25．如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．
（1）如果AB＝AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．
27．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
28．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∴DE∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴?BCED是矩形，
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；
∴AE＝CF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴AF＝CF＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；
正确的个数有3个，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
4．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：D．
5．解：如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠HDO＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠GDO+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠HDO＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝25°，
∴∠DHO＝25°，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴∠PQB＝∠PEB＝90°．
∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．
∴四边形PQBE为矩形．
∴PE＝BQ．
∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△PAQ为等腰三角形．
∴PQ＝AQ．
∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．
故选：B．
7．解：①若AB＝BC，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
8．解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，
∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，
∴AB＝＝＝3，
∵DH×AB＝AC×BD，
∴DH＝＝2，
∴BH＝＝＝2，
故选：C．
9．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AB＝AC?BP，
即×8×6＝×10?BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故选：C．
10．解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
二．填空题（共11小题）
11．解：当点P在AD上时，
∵PD＝3AP，PD+AP＝8，
∴AP＝2，
当点P在AB上时，
∵PD2＝AP2+AD2，
∴9AP2＝AP2+64，
∴AP＝2，
综上所述：AP＝2或2，
故答案为2或2．
12．解：如图1，当点E在AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；
如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，
∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．
故答案为：5或1．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
14．解：当点P在AD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边AD中点，
∴PE＝AB＝2；
当点P在CD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边CD中点，
∴PE＝＝＝．
所以PE的长为：2或．
故答案为：2或．
15．解：如图，连接BN，
∵在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，
∴AD＝AB，∠ABC＝72°，∠CAB＝54°，
∵AB的垂直平分线交AC于点N，
∴AN＝NB，
∴∠CAB＝∠ABN＝54°，
∴∠CBN＝72°﹣54°＝18°，
在△DCN和△BCN中，
，
∴△DCN≌△BCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBN＝18°，
故答案为：18°．
16．解：如图，连接AG，GE，
∵AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，
∴AG＝GE，AH＝HE，AH⊥HE，
设AD＝CD＝BC＝AB＝2a，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE＝a，
∵AG2＝AB2+BG2，GE2＝EC2+GC2，
∴4a2+（2a﹣7）2＝a2+49，
∴a1＝4，a2＝0（舍去），
∴EC＝DC＝4，AD＝8，
∴GE＝＝＝，
AE＝＝＝4，
∴HE＝2，
∴GH＝＝＝3，
故答案为：3．
17．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝OD＝BD，AO＝OC＝AC＝6，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AC?BD＝96，
∴BD＝16，
∴BO＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴菱形的周长＝4×10＝40．
故答案为：40．
18．解：连接CP，BD，交AC于M，
∵四边形ABCD 为正方形，BC＝2，
∴BD⊥AC，垂足为M，BM＝MC＝BC＝，
∵S△BCE＝CE?BM，S△PCE＝CE?PF，S△BCP＝BC?PG，S△BCE＝S△PCE+S△BCP，
∴CE?BM＝CE?PF+BC?PG，
∵BC＝CE，
∴BM＝PF+PG，
∴PG+PF＝．
故答案为．
19．解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，
同理可得HE＝1，
在Rt△GHE中，GH＝＝＝，
故答案为：．
20．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，
∴CF＝4，
∴BF＝＝＝，
∴GH＝，
故答案为：．
21．解：连接OC，∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝3，BO＝OD＝1，
∴CO⊥BD，
∴OC＝，
∵DE＝BD＝2，
在Rt△EOC中，CE＝，
∵点M是CE的中点，
∴OM＝，
故答案为：．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
23．（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
24．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
25．解：（1）四边形ADCF为矩形，
理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF＝CD，
又∵E为AD的中点，AF∥BD，
∴AE＝DE，∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴BD＝AF，
∴BD＝CD，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形AFCD为矩形；
（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；
理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，
∴平行四边形ADCF为矩形，
∴矩形ADCF为正方形．
26．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴CE＝AE，
过点E作EH⊥AC于点H，
∴CH＝AH
∵AC＝4，
∴CH＝2，
∴CE＝；
（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∴四边形CEGF是菱形
27．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
28．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECB＝OCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EB＝EC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB＝，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝＝．