18.1平行四边形-2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提升训练试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 18.1平行四边形-2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提升训练试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 336.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-14 15:13:25 | ||
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文档简介
2020-2021年人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》同步提升训练（附答案）
1．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（ ）
A．BE＝DF B．AE∥CF
C．AF＝AE D．四边形AECF为平行四边形
2．如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
3．如图，?ABCD的周长为36cm，△ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（ ）
A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．2
5．在?ABCD中，已知∠A﹣∠B＝20°，则∠C＝（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
6．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
7．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，E、F同时出发．设运动时间为t（s），当t＝（ ）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．1或2 B．2 C．2或3 D．2或4
8．如图，在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
9．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，AE⊥BD，垂足为E，若∠C＝50°，则∠EAB的度数为 ．
10．如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的度数是 ．
11．如图，在周长为12cm的?ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为 ．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝8cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，当点P、Q中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则 s后四边形PQCD是平行四边形．
13．已知点A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 ．
14．?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为 cm．
15．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是 ．
16．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为 cm
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝70°，则∠B的度数为 ．
18．如图，E为?ABCD内任一点，且?ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ．
19．如图，AB∥CD，AB＝7，CD＝3，M、N分别是AC和BD的中点，则MN的长度 ．
在?ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点E将BC分为4和3两部分，则?ABCD的周长为 ．
如图，在?ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积．
22．已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
23．如图，四边形ACFD是平行四边形，B，E，C，F在一条直线上，已知BE＝CF．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形．
（2）若∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，BF＝5，求AD的长．
24．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．
25．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
27．【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
28．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
参考答案
1．解：A、在?ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故A可以使AE＝CF，不符合题意；
B、∵AE∥CF，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故B可以使AE＝CF，不符合题意；
C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，
故C符合题意；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故D可以使AE＝CF，不符合题意；
故选：C．
2．解：连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，
∵M、H分别是AD、AC的中点，
∴MH＝CD＝2，
同理可得，NH＝AB＝，
在△MHN中，MH﹣NH＜MN＜MH+NH，即＜MN＜，
当点H在MN上时，MN＝MH+NH＝，
∴＜MN≤，
故选：D．
3．解：∵?ABCD的周长是36cm，
∴AB+AD＝18m，
∵△ABC的周长是28cm，
∴AB+BC+AC＝28cm，
∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+AC）＝28﹣18＝10（cm）．
故选：C．
4．解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A﹣∠B＝20°，
∴∠A＝100°，
∴∠C＝∠A＝100°．
故选：C．
6．解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴DP＝BP，
∵在△DEP与△BFP中，
，
∴△DEP≌△BFP（ASA），
∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，
∴FC＝BC，
PQ是△EFC中位线，
PQ＝FC，
∴PQ：BC＝1：4．
故选：A．
7．解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝8﹣3t，
解得：t＝2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝3t﹣8，
解得：t＝4；
综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴平行四边形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9个．
即共有9个平行四边形，
故选：D．
9．解：∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝50°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABE＝50°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
11．解：∵点O是BD中点，EO⊥BD，
∴EO是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+AD，
又∵平行四边形的周长为12cm，
∴AB+AD＝6（cm）．
故答案为：6cm．
12．解：设运动了x秒．
根据题意有AP＝xcm，CQ＝2xcm，PD＝（8﹣x）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
∴8﹣x＝2x，
解得：x＝，
∴s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：．
13．解：如图，
以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；
以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2′；
以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（7，3）就是第四个顶点D3；
∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3），
故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3）．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，
∴，
两个方程相加，得AB＝19（cm）．
故答案为：19．
15．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝30°，
∴∠EPF＝120°，
故答案为：120°．
16．解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA）
∴AD＝AB＝10，BN＝ND，
∵BN＝ND，BM＝MC，
∴CD＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝16，
故答案为：16．
17．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
在四边形AECF中，∠C＝360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°，
在?ABCD中，∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
18．解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD＝AB?h1+CD?h2＝AB（h1+h2）
＝S四边形ABCD＝×6＝3．
故答案为：3．
19．解：延长DM交AB于E，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠A，
在△AME和△CMD中，
，
∴△AME≌△CMD（ASA）
∴AE＝CD＝3，DM＝ME，
∴BE＝AB﹣AE＝4，
∵DM＝ME，DN＝NB，
∴MN是△DEB的中位线，
∴MN＝BE＝2，
故答案为：2．
20．解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵?ABCD的边AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
①当BE＝4时，AB＝4，BC＝4+3＝7，
?ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（4+7）＝22，
②当BE＝3时，AB＝3，BC＝3+4＝7，
?ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（3+7）＝20，
所以，?ABCD的周长为22或20．
故答案为：22或20．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF．
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（2）∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF．
∴BE＝AB＝2，
∴AE＝BE＝2，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴?ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2××AE?BE＝2×2＝4．
22．证明：连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BD、EF互相平分．
23．证明：（1）∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵B，E，C，F在一条直线上，
∴AD∥BE，
∵BE＝CF．
∴AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形；
（2）∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AD＝CF，
∵∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝3，
∵BF＝5，
∴CF＝BF﹣BC＝2，
∴AD＝2．
24．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四边形BECD的面积＝BE?DH＝4×＝4．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
27．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
28．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝2，
∴BD＝＝＝2．
1．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（ ）
A．BE＝DF B．AE∥CF
C．AF＝AE D．四边形AECF为平行四边形
2．如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
3．如图，?ABCD的周长为36cm，△ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（ ）
A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．2
5．在?ABCD中，已知∠A﹣∠B＝20°，则∠C＝（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
6．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
7．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，E、F同时出发．设运动时间为t（s），当t＝（ ）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．1或2 B．2 C．2或3 D．2或4
8．如图，在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
9．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，AE⊥BD，垂足为E，若∠C＝50°，则∠EAB的度数为 ．
10．如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的度数是 ．
11．如图，在周长为12cm的?ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为 ．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝8cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，当点P、Q中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则 s后四边形PQCD是平行四边形．
13．已知点A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 ．
14．?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为 cm．
15．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是 ．
16．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为 cm
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝70°，则∠B的度数为 ．
18．如图，E为?ABCD内任一点，且?ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ．
19．如图，AB∥CD，AB＝7，CD＝3，M、N分别是AC和BD的中点，则MN的长度 ．
在?ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点E将BC分为4和3两部分，则?ABCD的周长为 ．
如图，在?ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积．
22．已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
23．如图，四边形ACFD是平行四边形，B，E，C，F在一条直线上，已知BE＝CF．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形．
（2）若∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，BF＝5，求AD的长．
24．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．
25．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
27．【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
28．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
参考答案
1．解：A、在?ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故A可以使AE＝CF，不符合题意；
B、∵AE∥CF，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故B可以使AE＝CF，不符合题意；
C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，
故C符合题意；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故D可以使AE＝CF，不符合题意；
故选：C．
2．解：连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，
∵M、H分别是AD、AC的中点，
∴MH＝CD＝2，
同理可得，NH＝AB＝，
在△MHN中，MH﹣NH＜MN＜MH+NH，即＜MN＜，
当点H在MN上时，MN＝MH+NH＝，
∴＜MN≤，
故选：D．
3．解：∵?ABCD的周长是36cm，
∴AB+AD＝18m，
∵△ABC的周长是28cm，
∴AB+BC+AC＝28cm，
∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+AC）＝28﹣18＝10（cm）．
故选：C．
4．解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A﹣∠B＝20°，
∴∠A＝100°，
∴∠C＝∠A＝100°．
故选：C．
6．解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴DP＝BP，
∵在△DEP与△BFP中，
，
∴△DEP≌△BFP（ASA），
∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，
∴FC＝BC，
PQ是△EFC中位线，
PQ＝FC，
∴PQ：BC＝1：4．
故选：A．
7．解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝8﹣3t，
解得：t＝2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝3t﹣8，
解得：t＝4；
综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴平行四边形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9个．
即共有9个平行四边形，
故选：D．
9．解：∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝50°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABE＝50°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
11．解：∵点O是BD中点，EO⊥BD，
∴EO是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+AD，
又∵平行四边形的周长为12cm，
∴AB+AD＝6（cm）．
故答案为：6cm．
12．解：设运动了x秒．
根据题意有AP＝xcm，CQ＝2xcm，PD＝（8﹣x）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
∴8﹣x＝2x，
解得：x＝，
∴s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：．
13．解：如图，
以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；
以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2′；
以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（7，3）就是第四个顶点D3；
∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3），
故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3）．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，
∴，
两个方程相加，得AB＝19（cm）．
故答案为：19．
15．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝30°，
∴∠EPF＝120°，
故答案为：120°．
16．解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA）
∴AD＝AB＝10，BN＝ND，
∵BN＝ND，BM＝MC，
∴CD＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝16，
故答案为：16．
17．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
在四边形AECF中，∠C＝360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°，
在?ABCD中，∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
18．解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD＝AB?h1+CD?h2＝AB（h1+h2）
＝S四边形ABCD＝×6＝3．
故答案为：3．
19．解：延长DM交AB于E，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠A，
在△AME和△CMD中，
，
∴△AME≌△CMD（ASA）
∴AE＝CD＝3，DM＝ME，
∴BE＝AB﹣AE＝4，
∵DM＝ME，DN＝NB，
∴MN是△DEB的中位线，
∴MN＝BE＝2，
故答案为：2．
20．解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵?ABCD的边AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
①当BE＝4时，AB＝4，BC＝4+3＝7，
?ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（4+7）＝22，
②当BE＝3时，AB＝3，BC＝3+4＝7，
?ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（3+7）＝20，
所以，?ABCD的周长为22或20．
故答案为：22或20．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF．
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（2）∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF．
∴BE＝AB＝2，
∴AE＝BE＝2，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴?ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2××AE?BE＝2×2＝4．
22．证明：连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BD、EF互相平分．
23．证明：（1）∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵B，E，C，F在一条直线上，
∴AD∥BE，
∵BE＝CF．
∴AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形；
（2）∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AD＝CF，
∵∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝3，
∵BF＝5，
∴CF＝BF﹣BC＝2，
∴AD＝2．
24．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四边形BECD的面积＝BE?DH＝4×＝4．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
27．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
28．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝2，
∴BD＝＝＝2．