第13讲 二次函数几何综合压轴题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）（含答案）

《重点题型专项复习》第13讲 二次函数几何综合压轴题
【思路方法】
1.总体解题思路
left-635
2.总体解题方法
（1）代数论证方法
（2）几何论证方法
3.具体思考角度
【点】
①交点→→联立方程解答；
②图像上的点→→代入法或依解析式设点的坐标；
③中点→→中点坐标公式；
【直线】
①正常情况→→“待定系数法”
②平行线→→K值相等；
③垂直线→→K值负倒数；
【线段】
①点的坐标表示水平或垂直线段→→一定遵循“右减左、上减下”原则，不明确时加上绝对值；
②利用两点间的距离公式表示或计算线段长度；
③利用有关几何性质表示或计算线段长度；
④距离或高→→点到直线的距离公式：
如P(m,n)到直线y=kx+b的距离或高,先把直线的函数表达式变形为方程形式：kx-y+b=0，代入公式
公式：d=|km?n+b|1+k2
⑤线段比或线段积→利用相似三角形性质转化
【角】
①三角函数→→Rt△→→“一线三垂直模型”
②等角性质→→如等边对等角、平行、全等或相似性质等
③和差倍分角→→首先转化成某角的具体度数或一对等角；
【三角形】
①等腰三角形→→一定要结合“边(腰)相等”、“底边三线合一”这两性质展开分析思考；
②直角三角形→→一定要利用好直角走 “一线三垂直模型”、“垂直k值负倒数”、 “勾股定理”等思路；
③三角形相似→→一定要抓住相似性质“对应边成比例”、“对应角相似”、“面积比等于相似比平方”等思路；
【特殊四边形】
①平行四边形
代数→→对角线平行+中点坐标公式；
几何：→→作垂线，走全等；
②菱形
代数→→对角线平行+中点坐标公式+邻边相等；
几何：→→对角线垂直，走Rt△+邻边相等；
③矩形
代数→→对角线平行+中点坐标公式+邻边垂直；
几何：→→对角线相等，走Rt△；
【最值】
①单一线段最值
代数→→字母表示，走二次函数配方；
几何：→→①三个特殊位置法，走点到直线距离；②转化成将军饮马问题；
②线段和差（周长）最值
代数→→字母表示，走二次函数配方；
几何：→→①三个特殊位置法，走点到直线距离；②转化成将军饮马问题；
③面积最值
代数→→字母表示，走二次函数配方；
几何：→→转化成高或底的线段最值问题；
④定值
代数→→字母表示，约分成具体数值；
几何：→→利用相似等几何性质，转化成与已知线段相联系；
【面积方法】→→“铅垂法”、“割补法”、“公式法”、“相似的面积比或不相似时平行线间的底之比”
【强化巩固练习】
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A（－1，0），B（6，0），C（0，－6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积最大值；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM＋∠ACO＝45°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图1，抛物线y=14x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，OC=OB=10.
（1）求抛物线解析式；
（2）点P,Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP,CQ，∠OCP+∠OCQ=180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n的函数关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于点E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED=2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
3. 已知抛物线y=ax2?3ax?4a(a<0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点．
（1）若a=-1时．
①求A、B、C三点的坐标；
②如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过P点作PF//y轴交BC于F点，若S?PFCS?OFC=34，请求出P点坐标；
（2）如图2，将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE，且使得点D落在线段AC上．当OE⊥BC时，请求出a的值和CE的长．
4.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴点A(-1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，∠CAB=60°,点E是线段AB上一动点，作EF//AC交线段BC于点F.
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，延长线段EF交抛物线第二象限的部分于点G，点D是AC边中点，当四边形ADGF为平行四边形时，求出G点坐标；
（3）如图2，M为射线EF上一点，且EM=EB，将射线EF绕点E逆时针旋转60°，交直线AC于点N，连接MN，P为MN的中点，连接AP,BP，问：AP+BP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。



5.已知抛物线y=ax2?2ax?3a(a≠0)
请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示）
若a>0,且false与false是该抛物线上的两点，且false，求m的取值范围；
如图11，当a=1时，该抛物线 与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E，设点E的横坐标为n，记S=S?BDES?ABE，当n为何值时，S取最大值？并求出S的最大值.
6.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A,B，与y轴交于点C(0,3)，连接BC，抛物线的对称轴为直线x=1，且与BC交于点D，与x轴交于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上；
(3)如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN,BN,当∠PNB=30°时，请直接写出直线PN的解析式.

7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求DEAE的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图1，直线yx2与x轴交于点B ，与y轴交于点C ，抛物线yax2 bx c(a 0)经过点A， B，C，点A的坐标为(1,0) ．
（1）求二次函数yax2 bxc(a0)的表达式；
（2）抛物线的图像上是否存在点P，使得PCB 15 ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线BC上有一动点D，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90 得到线段DE ，连接AE，BE．当AEBE取最小值时，若以A ，B ，E ，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点和F点的坐标．
9.如图 1，抛物线y=mx2?3mx+n与x轴交于点( -1,0),与y轴交于点B(0,3 ) ,在线段OA上有一动点E （不与O 、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P.
（1）分别求出抛物线和直线 AB 的函数表达式；
（2）连接PA 、PB ，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图 2，点 E(2,0)，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E`A 、E`B，求E`A+23E`B的最小值
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3).
（1）求二次函数的解析式；
（2）D是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标
11．如图1，已知抛物线y＝－false(x＋3)(x－4false)与x轴交于A、B两点，与false轴交于点C．
（1）(3分)写出A、B、C三点的坐标．
（2）(4分)若点P为△OBC内一点，求OP＋BP＋CP的最小值．
（3）(3分)如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D(4，0)，直线DQ分别与y轴、
直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．
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【答案详解】
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A（－1，0），B（6，0），C（0，－6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积最大值；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM＋∠ACO＝45°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）设交点式，代入点B坐标即可得抛物线解析式：y=x2?5x?6
（2） “铅垂法”+配方法解题。
如图1作DE//y轴交BC于点E，
设D(a, a2?5a?6)，
由B,C可得直线BC的解析式为y=x-6，
则E（a,a-6），
则DE=a-6-(a2?5a?6)=? a2+6a,
则S?BCD=12OB?DE=12×6? a2+6a=?3a2+18a=? 3a?32++27，
当a=3时，S?BCD有最大值，最大值为27.
（3）二次函数典型题型：点角存在性问题。先把角的和差问题转化成一个角的问题，再按点角存在性问题的典型思路解题。
由B,C两点坐标可知，∠OCB=45?,
①当点M在y轴右侧时，∠OCM＋∠ACO＝45°，∠OCM+∠BCM=45?,
∴∠ACO=∠BCM，
则tan∠ACO=tan∠BCM=OAOC=16，
作BF⊥BC交CM于点F，过B作GP⊥x轴，作FG⊥GP于点G，作CP⊥GP于点P，
则由“一线三垂直模型”易得△FGB∽△BPC，
则FGBP=GBCP=FBBC=tan∠BCM=16,
∵CP=BP=6，
∴FG=GB=1,
∴F(5,1),
∴直线CF的表达式为y=75x?6,
∴M(307，0)
②作M关于点O的对称点M`，连接CM`，
则∠OCM=∠OCM`，
由∠OCM＋∠ACO＝45°
可得∠OCM`＋∠ACO＝45°，
点M`符合题目要求，
则M`(?307，0)
综上所述，点M的坐标为(307，0)或(-307，0)
2.如图1，抛物线y=14x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，OC=OB=10.
（1）求抛物线解析式；
（2）点P,Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP,CQ，∠OCP+∠OCQ=180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n的函数关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于点E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED=2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】
（1）由OC=OB=10可得C(0,-10),B(10,0)，
代入可得抛物线解析式为：y=14x2?32x?10
（2）作QM⊥y轴交于点M，作PN⊥y轴交于点N，
设Q(m, 14m2?32m?10),P(n, 14n2?32n?10)，
∵∠OCP+∠OCQ=180°，∠OCP+∠PCN=180°，
∴∠OCQ=∠PCN，
∴tan∠OCQ=tan∠PCN，
∴MQMC=NPCN，即 m14m2?32m= n?14n2+32n，
整理得：m=-n+12
（3）先把倍角转化为等角，再按点角性问题解题
作EH平分∠AED，则∠EQB=∠AEH，
则tan∠AEH=tan∠EQB=4m+4 ，
由角平分线性质联想到辅助线：作HA⊥x轴交EH于点H，作HM⊥ED交ED延长线于点M，
由对角平分线的对称性质可得AE=EM=m+4，HM=AH=4，
作HN⊥y轴于点N，
则ON=AH=4,HN=OA=4,
由HM=HN=4,DH=DH可证△HND≌△HMD，
可得MD=DN，作PF⊥x轴于点F，
则tan∠FAP=ODOA=PFAF=OD4=?14m2+32m+10n+4=n?10?4，
∴OD=10-n，
∵m=-n+12，
∴OD=m-2，
∴DM=DN=OD-ON=m-6，
∴DE=EM-DM=m+4-(m-6)=10，
在Rt△ODE中，由OE2+OD2=DE2可列方程为：
n2+(10?n)2=102，
即(12?n)2+(10?n)2=102，
解得n=4或18(舍去)，
∴P(4,-12)
3. 已知抛物线y=ax2?3ax?4a(a<0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点．
（1）若a=-1时．
①求A、B、C三点的坐标；
②如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过P点作PF//y轴交BC于F点，若S?PFCS?OFC=34，请求出P点坐标；
（2）如图2，将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE，且使得点D落在线段AC上．当OE⊥BC时，请求出a的值和CE的长．
【解析】
（1）①把a=-1代入解析式，分别令x=0和y=0即可求出A,B,C三点的坐标；
②先根据S?PFCS?OFC=34求出PF的值，再求出直线BC的解析式为，设P(m,?m2?3m+4)，则F(m,-m+4)，然后利用PF=3列方程求解即可；
（2）先证明AB=BC=5，再根据勾股定理求出OC的长，即可求出a的值；过O作OH⊥AD，根据cos∠OAC=AHAO=OAAC，可求出AH，然后利用△AOD∽△COE即可求出CE的值．
解：（1）若a=-1时
①原抛物线为y=?x2+3x+4，
当x=0时，y=4，
即C(0,4)，
当y=0时，即?x2+3x+4=0时，
∴(x+1)(x-4)=0，
解得x1=?1,x2=4，
即A(-1,0),B(4,0)；
②∵PF//y，
∴S?PFCS?OFC=PFOC=34，
∵OC=4，
∴PF=3，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B(4,0),C(0,4)代入，
得4k+b=0b=4 ，
∴b=4 k=?1，
∴y=-x+4，
设P(m,?m2?3m+4)，
则F(m,-m+4)，
∴PF=?m2?3m+4??m+4=?m2+4m=3，
解得m1=1,m2=3，
当m=1时，-m2+3m+4=-1+3+4=6；
当m=3时，-m2+3m+4=-9+9+4=4；
∴P1(1,6),P2(3,4)；
（2）由旋转的性质得：OA=OD,∠DOE=∠AOC=90°,
∵OE⊥BC，
∴OD//BC，
∴∠DAO=∠ADO=∠ACB
，∴BA=BC=4+1=5，
∴OC=52?42=3,AC=12+32=10，
即OC=-4a=3，
∴a=-34．
过O作OH⊥AD，则cos∠OAC=AHAO=OAAC，
∴AH1=110，
∴AH=DH=1010，
∴AD=105．
由旋转的性质得，OA=OD，OC=OE，
∴OAOD=OCOE=1，
∵∠AOD+∠COD=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD∽△COE，
∴ADCE=OAOC，
∵a=-34，
∴y=?34x2+94x+3，
当x=0时，y=3，
即C(0,3)，
当y=0时，即?34x2+94x+3=0时，
∴(x+1)(x-4)=0，
解得x1=?1,x2=4，
即A(-1,0),B(4,0)；
∴OA=1，OC=3，
∴ADCE=OAOC=13，
∴CE=3105．
4.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴点A(-1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，∠CAB=60°,点E是线段AB上一动点，作EF//AC交线段BC于点F.
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，延长线段EF交抛物线第二象限的部分于点G，点D是AC边中点，当四边形ADGF为平行四边形时，求出G点坐标；
（3）如图2，M为射线EF上一点，且EM=EB，将射线EF绕点E逆时针旋转60°，交直线AC于点N，连接MN，P为MN的中点，连接AP,BP，问：AP+BP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。

【解析】
（1）设抛物线交点式y=a(x+1)(x-3),
∵tan∠CAB=OCOA=tan60°,
∴OC=3,
∴C(0, 3),
把C点坐标代入解析式中，得a=?33,
∴抛物线解析式为y=?33x+1x?3=?33x2+233x+3；
（2）由题可得：AC2=4，BC2=12，AB2=16，
∵AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°, ∠ABC=30°,
由D是AC的中点可得AD=1，
当四边形ADGF为平行四边形时，AD=FG=1，AD//FG，
∴∠GFB=90°，
如图构造“一线三垂直模型”，则可得∠ABC=∠HFG=30°,
∴HG=12,FH=32 ,
设G(a, ?33a2+233a+3),
则F(a-12, ?33a2+233a+32),
由B,C两点坐标可得直线BC的解析为：y=?33x+3,
∵F在BC上，
∴?33a?12+3=?33a2+233a+32,
解得a=2或a=1，
∴G(1，433)或(2, 3)
（3）由题易证△ANE、△BEM均是等边三角形，
设E（m,0），则AE=m+1,BE=3-m，
则等边三角形性质“高=边长×32”
可得N(m?12, 3(m+1)2),M(3+m2, 3(3?m)2),
∵P是MN的中点，由中点坐标公式可得P(m+12, 3),
当E与A重合时N与A重合，
M在射线AC上，且AM=AB=4，
∵AC=2，故P0与C重合，
当E运动到AB中点时，AE=BE=2，
此时等边△ANE与等边△BEM全等，
这是点E的运动终点，
此时PE⊥x轴，P1 (1, 3),
点P就在线段P0P1间运动，
即P点在y轴与抛物线对称轴间的垂直于C点的线段y=3上运动,
作点A关于直线y=3的对称点A`(-1,23)false
连接A`B交直线y=3于点P，
此时，AP+BP=A`B=2 7.

5.已知抛物线y=ax2?2ax?3a(a≠0)
请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示）
若a>0,且false与false是该抛物线上的两点，且false，求m的取值范围；
如图11，当a=1时，该抛物线 与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E，设点E的横坐标为n，记S=S?BDES?ABE，当n为何值时，S取最大值？并求出S的最大值.
【解析】
(1)对称轴是直线x=1；顶点坐标为（1，-4a）.
(2)∵a>0,∴当x≥1时，y随x的增大而增大.
①当点P位于对称轴的右侧，即当m>1时，
∵y1>y2,
∴m>5；
②当点P位于对称轴的左侧，即当m<1时，
作点P关于对称轴的对称点Q，
则Q(2-m, y1),
∵y1>y2,
∴2-m>5,
解得m<-3；
∴m的取值范围是m<-3或m>5.
(3)当a=1时抛物线的解析式为y=x2?2x?3.
当y=0时x2?2x?3=0，
解得x1=3，x2=?1，
∴A(-1,0),B(3,0)，
当x=0时y=-3，
∴C(0,-3)，
∴直线BC的解析式为：y=x-3.
过点A作AF//y轴交直线BC于点F，作HD//y轴交直线BC于点G，交x轴于点D，
则△DEG∽△AEF，
∴S=S?BDES?ABE=DEAE=DGAF，
∵A(-1,0),
∴F(-1,4),
∴AF=4,
设D(a，a2?2a?3)，
则G(a,a-3)，
∴DG=a-3-(a2?2a?3)=?a2+3a,
∴S=?a2+3a4=?14(a?32)2+916，
∵?14<0,
∴当a=32时，S有最大值，且最大值为916，
此时点D的坐标为（32，?154）.
∴直线AD的解析式为：y=-32x-32，
联立方程y=?32x?32y=x?3 ，
解得x=35y=?45，∴n=35.
∴当n=35时，S取最大值,最大值为916.
6.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A,B，与y轴交于点C(0,3)，连接BC，抛物线的对称轴为直线x=1，且与BC交于点D，与x轴交于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上；
(3)如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN,BN,当∠PNB=30°时，请直接写出直线PN的解析式.

【解析】
（1）由对称轴x=1可知?b2a=?1a=1，
则a=-1，
由C点坐标可得c=3，
∴抛物线解析式为y=?x2+2x+3
（2）由抛物线解析式可知，
当y=0时?x2+2x+3=0
,解得x1=?1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
由C(0,3),B(3,0)可得直线BC的解析式为y=-x+3，
则D(1,2),E(1,0),
则DE=2，
由旋转性质可得∠MDE=60°,MD=DE=2,
延长DM交x轴交于点G，作MH⊥x轴于点H，
则∠G=30°，
在Rt△GDE中由DE=2，
可得GD=4,DE=23，
则GM=2，
由MH//DE
可得GH:GE=MH:DE=GM:GD=2:4，
则可得MH=1,EH=3,
∴OH=3?1,
∴M(1-3,1)，
当x=1-3时?x2+2x+3=?1?32+21?3+3=1,
∴点M在抛物线上；
（3）如图5，过点M作QR⊥x轴，作DQ⊥QR于Q，作NR⊥QR于点R，
由题可知△DEB为等腰直角三角形，
则△MDN是等腰直角三角形，
则△DQM≌△MRN，
则MR=DQ=3,RN=MQ=1,
∴N(2?3, 1?3),
由题可知DB=DN，∠BDN=60°,
∴△DNB是等边三角形，
①当P点在B点上方时，
∵∠PNB=30°，
由等边三角形“三线合一”性质可知NP垂直平分线段DB，
则题可知△EDB是等腰直角三角形，
∴E点在线段BD的垂直平分线NP上，
由N、E的坐标可得直线NP的解析式为y=x-1；
②当P点在B点下方时，
∵∠PNB=30°，∠DNB=60°，
∴∠DNP=90°，
由D、N两点坐标可得直线DN的解析式为：y=2+3x?3，
∴设直线NP的解析式为y=?2+3x+b，
代入N点坐标可得b=8-53,
∴直线NP的解析式为y=?2+3x+8?53，
综上所述，直线PN的解析式为y=x-1或y=?2+3x+8?53
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求DEAE的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设抛物线为交点式，
即y=a(x+1)(x-4)，
代入C点坐标，
可得a=12，
∴抛物线解析式为y=12(x+1)(x-4)=12x2?32x?2
(2)构造相似典型图形“8字模型”，利用相似性质把DEAE用代数式表示出来，再利用二次函数配方法求最值。
作KA⊥x轴交直线BC于点K，作DG⊥x轴于点G,交直线BC于点F，
由B(4,0)、C(0,-2)可得直线BC的解析式为：y=12x-2，
则K（-1，-52），
则AK=52，
设D(a, 12a2?32a?2)，
则F(a, 12a-2),则DF=12a-2-(12a2?32a?2)=?12a2+2a,
∵DF//AK，
∴DEAE=DFAK=?12a2+2a52=?15a2+45a=?15a?22+45，
即当a=2时，DEAE有最大值为45.
(3)由题可知：AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∵AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°，
当△PQB∽△CAB时，
∠QPB=∠ACB=90°，BPQP=BCAC=205=2，
构造“一线三垂直模型”可求解点P的坐标；
又∵直线l∥BC，
∴直线l的表达式为y=12x.
①当P在Q点右侧时，如图，
过P作MN⊥x轴于N，作QM⊥MN于点M，
则△QMP∽△PNB，
∴BNMP=PNQM=BPQP=2
设P(2m，m)，
则BN=2m-4，PN=m，
∴QM=12m，MP=m-2，
∴Q点坐标为（32m，2m-2）,
将 Q点坐标代入抛物线解析式中得12×(32m)2?32×(32m)?2=2m?2，
解得m=349或m=0(舍去)，
∴P点坐标为（689，349）；
②当P在Q点左侧时，如图，
过P作MN⊥x轴于N，作QM⊥MN于点M，
则△QMP∽△PNB，
∴BNMP=PNQM=BPQP=2
设P(2m，m)，
则BN=4-2m，PN=m，
∴QM=12m，MP=2-m，
∴Q点坐标为（52m，2）,
将 Q点坐标代入抛物线解析式中得12×(52m)2?32×(52m)?2=2，
解得m=3+415或m=3?415 (舍去)，
∴P点坐标为（6+2415，3+415）；
综上所述，P的坐标为（689，349）或（6+2415，3+415）
8.如图1，直线yx2与x轴交于点B ，与y轴交于点C ，抛物线yax2 bx c(a 0)经过点A， B，C，点A的坐标为(1,0) ．
（1）求二次函数yax2 bxc(a0)的表达式；
（2）抛物线的图像上是否存在点P，使得PCB 15 ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线BC上有一动点D，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90 得到线段DE ，连接AE，BE．当AEBE取最小值时，若以A ，B ，E ，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点和F点的坐标．
【解析】
（1）∵直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（2，0），C(0,2) ．
∵抛物线交x轴于A，B两点，
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-2)．
代入点C(0,2)，
解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=?x+1x?2=?x2+x+2．
（2）分以下两种情况：
①当点P在BC的下方时，
设CP交x轴于点Q，
则∠OCQ=∠OCB-∠PCB=45?-15?=30?，
在Rt△OCQ中，tan∠OCQ=OQOC=OQ2=33，
∴OQ=233,Q(233,0)．
直线CQ的解析式为：y=?3x+2，
联立，得y=?3x+2 y=?x2+x+2，
解得P(3+1,- 3-1) ．
②当点P在BC的上方时，
设CP交false轴于点Q，
则∠OCQ=∠OCB+∠PCB=45?+15?=60?，
在Rt△OCQ中，tan∠OCQ=OQOC=OQ2=3，
∴OQ=23,Q(23,0)．
直线CQ的解析式为：y=?33x+2，
联立，得y=?33x+2 y=?x2+x+2，
解得P(3+33, ?3+53) ．
综上所述：P的坐标为(3+1,- 3-1)或(3+33, ?3+53)
(3)先用“三点特殊位置法”确定动点E的运动路线（注意利用∠CBA=45°），再利用“将军饮马问题”求出最小值时E点的坐标；
当D与B重合时，
则DE⊥AB，且DE=AB，
则E(3,3)，
当E与在直线直线上时，
则AE⊥AB，且AE=AB，
则E(-1,3)，
则可以确定点E在直线y=3上运动，
作点B关于直线y=3的对称点B`(2,6)，
连接AB`，交直线y=3于点E，
此时AE+BE有最小值，
则直线AB`的解析式为：y=2x+2,
当y=3时x=12,∴E(12，3)，
即当AE+BE最小时，E(12，3)，
∵A(-1,0)、B(2,0)、E(12，3)，
①以AB为对角线时，xF=?1+2?12=12yF=0+0?3=?3，∴F（12，-3)；
②以AE为对角线时，xF=?1+12?2=?52yF=0+3?0=3 ，∴F（?52，3)；
③以BE为对角线时，xF=2+12?(?1)=72yF=0+3?0=3 ，∴F（72，3)
综上所述，当AEBE取最小值时，若以A ，B ，E ，F为顶点的四边形是平行四边形，E(12，3)，F点的坐标为（12，-3)、（?52，3)或（72，3)
9.如图 1，抛物线y=mx2?3mx+n与x轴交于点( -1,0),与y轴交于点B(0,3 ) ,在线段OA上有一动点E （不与O 、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P.
（1）分别求出抛物线和直线 AB 的函数表达式；
（2）连接PA 、PB ，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图 2，点 E(2,0)，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E`A 、E`B，求E`A+23E`B的最小值
【解析】：
（1）∵抛物线y=mx2?3mx+n与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点B(0,3),
则有n=3 m+3m+n=0,
解得m=?34n=3 ，
∴抛物线解析式为：y=?34x2+94x+3，
令y=0，则?34x2+94x+3=0，
解得x=4或x=-1,
∴A(4,0),B(0,3),
设直线AB的解析式为y=kx+b，则b=3 4k+b=0 ，
解得k=?34b=3 ，
∴直线AB的解析式为y=?34x+3
（2）如图1中，设P(x, ?34x2+94x+3)，
则N(x, ?34x+3) ,
则设△PAB的面积为S，
则S=S?PNA+S?PNB=12PN?OA=12×4×?34x2+94x+3+34x?3=?32x2+6x=?32x?22+6，
∵?32<0，S随x的增大而减小，
∴当x=2时，S有最大值，且最大值为6，
此时P点坐标为（2，92）
（3）点E在圆上运动，故是“阿氏圆”问题,构造“共角模型”的相似三角形关键在于：使半径成为比例中项；
如图2中，在y轴上取一点M′ ，
使得OM′ =43，
连接 AM′，
在AM′上取一点E′，使得OE`=OE．
∵OE′ = 2，OM`?OB=43×3=4,
∴OE`2=OM`?OB,
∴OE`OM`=OBOE`,
∵∠BOE`=∠E`OB,
∴△M`OE`∽△E`OB,
∴M`E`BE`=OE`OB=23,
∴M`E`=23BE`,
∴AE`+23BE`=AE`+E`M`=AM`,
此时AE` +23BE ′最小（两点间线段最短,A、M′、E′共线时），
最小值=AM`=42+(43)2=4103
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3).
（1）求二次函数的解析式；
（2）D是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标
【解析】
（1）设二次函数解析为交点式：y=a(x+3)(x-1)，
代入C点坐标，
可得a=1，
∴y=(x+3)(x-1)= x2+2x?3
（2）由于AC是固定长，
当D到直线AC的距离最大时，
此时△DAC的面积最大，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
代入A,C两点坐标可得k=-1,b=-3，
∴直线AC的解析式为y=-x-3,
作DG//y轴交AC于点G，
设D(a, a2+2a?3)，
则G(a,-a-3)，
∴DG=-a-3-(a2+2a?3)=? a2?3a,
则S?ACD=12OC?DG=12×3? a2?3a=?32(a+32)2+278，
当a=?32时S?ACD有最大值，
即D到直线AC的距离最大，
此时D点坐标为（?32，?154）.
(3)此题正确的方法是代数法
由题可知O(0,0),B(1,0),设M(-1,a)
①当OB为平行四边形对角线时，xN=xO+xB?xM=2 ,
把x=2代入二次函数解析式中，得y=-5,
∴N(2,-5)，；
②当OM为平行四边形对角线时，xN=xO+xM?xB=?2 ,
把x=-2代入二次函数解析式中，得y=-3,
∴N(-2,-3)，
③当BM为平行四边形对角线时，xN=xB+xM?xO=0 ,
把x=0代入二次函数解析式中，得y=-3,
∴N(0,-3)，
综上所述，N的坐标为（2，-5）、（-2，-3）或（2，5）
11．如图1，已知抛物线y＝－false(x＋3)(x－4false)与x轴交于A、B两点，与false轴交于点C．
（1）(3分)写出A、B、C三点的坐标．
（2）(4分)若点P为△OBC内一点，求OP＋BP＋CP的最小值．
（3）(3分)如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D(4，0)，直线DQ分别与y轴、
直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．
2324100142875504825133350




【解析】
(1)当－false(x＋3)(x－4false)=0，
解得x=-3或43，
∴A(-3,0),B(43,0),
当x=0时，y=?39×3×?43=4,
∴C(0,4).
（2）小题的解题过程：
由OB、OC的长可得∠OBC=30?,
则∠OBC`=90?，
由OC=4，OB=43，
可得BC`=BC=8,
由勾股定理可得最小值OC`=47，
（3）分三种情况一一论证，解题时，一定要利用好分类讨论题型的特征（一种情况简单、一种情况中等、一种情况较难），每一种先画出草图，再确定由易到难的顺序依次解答，至少要得到2分，
当CE=CF时，如图1；当CE=EF时，如图2；当EF=FC时，如图3；由于等腰三角形添辅助线首先会联想到“三线合一”，即作底边的垂线，而图3的垂线是往坐标轴作，故更符合平常解等腰三角形的图形习惯，故先解图3，其余按图3的添辅助线方法及解题思路过程解答，这样解题的速度会快很多。

①当EF=FC时，如图3,
作FM⊥EC于点M，
则EM=MC，
设EM=MC=a，
由MF//OA
可得MF:OA=CM:OC，
即MF:3=a:4,
可得MF=34a，
由MF//OD
可得MF:OD=EM:OE，
即34a：4=a：(4+2a),
解得a=23，
则CE=2a=43
②当CE=CF时，如图1；
作FM⊥EC于点M，
设CE=CF=m，
由OA=3,OC=4
可得CF=5，
由MF//OA
可得CM:OC=MF:OA=CF:CA，
即CM:4=MF:3=m:5,
可得CM=45m，MF=35m，
由MF//OD
可得MF:OD=ME:OE，
即ME:(4-m)=35m：4=320m,
∴ME=3m(4?m)20,
由OE+ME+CM=OC=4可列方程为：
4-m+3m(4?m)20+45m=4，
解得m=83，
则CE=83
③当CE=EF时，如图2,
作FM⊥EC于点M，但按上述思路解，计算量太大，放弃，思考代数方法。
作AG//DF交y轴于点G，如图4，
由△ECF是等腰，
易得△GAC也是等腰，
设OG=n，
则AG=CG=4-n，
在Rt△OAG中，由勾股定理可得：32+n2=(4?n)2，
解得n=78，
则G(0, 78),
由A、G坐标可得直线AG的解析式为y=724x+78,
由AG//DF可设直线DF的解析式为y=724x+b，
代入D点坐标可得址DF的解析式为724x?76，
∴E(0, ?76),
∴OE=76,
∴CE=316
综上所述，CE的长度为43、83或316.