新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册同步课件：6.1 平面向量的概念（54张PPT）

第六章　平面向量及其应用
6.1　平面向量的概念
必备知识·自主学习
导思
1.什么是向量?如何表示向量?
2.有哪些特殊向量?
3.什么是相等向量、平行向量?
1.向量与数量的概念
(1)既有大小又有_____的量叫做向量.
(2)只有大小没有_____的量叫做数量.
2.有向线段
(1)定义:具有_____的线段叫做有向线段.
(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
(3)长度:线段AB的长度也叫做有向线段 的长度,记作_____.
(4)三个要素:_____、方向、长度.
方向
方向
方向
起点
【思考】
向量与有向线段的联系和区别是什么?
提示:(1)有向线段是表示向量的一种图形.
(2)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量.
(3)有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也是不同的有向线段.
3.向量的表示方法
(1)用有向线段表示:用有向线段 表示的向量记作____.有向线段的长度
| |表示向量的_____,有向线段的方向表示向量的_____.
(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,
可写成带箭头的小写字母 ….
大小
方向
4.向量的模及两个特殊向量
(1)向量的模:向量 的大小称为向量 的长度(或称模),记作______.
(2)零向量:长度为___的向量叫做零向量,记作__.
(3)单位向量:长度等于__个单位长度的向量,叫做单位向量.
零
0
1
【思考】
0与0相同吗?0是不是没有方向?
提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.
5.相等向量
(1)定义:长度_____且方向_____的向量叫做相等向量.
(2)表示方法:向量a与b相等,记作____.
相等
相同
a=b
6.平行向量(或共线向量)
(1)定义和表示方法
定义
方向_____或_____的非零向量叫做平行向量.规定:_______
与任意向量平行.任一组平行向量都可以平移到同一条
直线上,因此,平行向量也叫做_____向量.
表示方法
向量a与b平行,记作_____
对于任意向量a,都有0∥a.
相同
相反
零向量
共线
a∥b
(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.
(3)应用:
①证明直线与直线平行;②证明三点共线.
【思考】
“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?
提示:向量平行与几何中的直线平行不同,向量平行包括所在直线重合的情况,故也称向量共线.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个向量能比较大小. (　　)
(2)任意两个单位向量都相等. (　　)
(3)向量 与向量 是相等向量. (　　)
(4)若 则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点. (　　)
提示:(1)×.两个向量不能比较大小.
(2)×.任意两个单位向量只是长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.
(3)×.向量 与向量 方向相反,不是相等向量.
(4)×.若 则A,B,C,D也可能落在同一条直线上.
2.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有 (　　)　 　　　　　　
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,没有方向,不是向量.
3.(教材二次开发:例题改编)如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.

(1)写出与 相等的向量:　　　　;?
(2)写出与 共线的向量:　　　　.?
答案:(1)
关键能力·合作学习
类型一　向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象)
【题组训练】
1.下列说法中正确的是 (　　)
A.0与0表示的含义相同
B.长度为0的向量都是零向量
C.单位向量的模等于1 cm
D.单位向量的方向都相同
2.判断下列说法是否正确.
(1)有向线段 与 表示同一向量;
(2)若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反;
(3)若向量 是单位向量,则 也是单位向量;
(4)以坐标平面上的定点A为起点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆.
【解析】1.选B.0与0表示的含义是不同的.0表示数量,但0表示零向量,其中|0|=0.因此A错误;由零向量的定义知B正确;单位向量的模等于1个单位长度,而不是具体的1 cm,因此C错误;单位向量的方向要因具体情况而定,因此D错误.
2.(1)错误.有向线段 与 的方向相反,不表示同一向量,因此说法(1)错误;
(2)错误.由单位向量的定义知,凡长度为1的向量均称为单位向量,但是对方向
没有任何要求,因此说法(2)错误;
(3)正确.因为| |=| |,所以当 是单位向量时, 也是单位向量.因此
说法(3)正确.
(4)正确.由于向量| |=1,所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点.
【解题策略】
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.
【补偿训练】
　　给出下列说法:
①零向量是没有方向的;
②零向量的长度为0;
③零向量的方向是任意的;
④单位向量的模都相等.
其中正确的是　　　　(填序号).?
【解析】由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确.
答案:②③④
类型二　相等向量与共线向量(数学抽象)
角度1　概念辨析?
【典例】有下列说法:
①若a≠b,则a一定不与b共线;
②在?ABCD中,一定有
③若a=b,b=c,则a=c;
④共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是　　　　.(填序号)?
【思路导引】依据相等向量和共线向量的定义逐个判断.要特别注意向量共线与平面几何中多点共线的区别.
【解析】对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,
所以a与b有共线的可能,故①不正确;对于②,在?ABCD中,
平行且方向相同,所以 ,故②正确;对于③,a=b,则|a|=|b|,
且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相
等,故a=c,故③正确;对于④,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是
所在直线互相平行的向量,故④不正确.
答案:②③
【变式探究】
将本例③改为若a∥b,b∥c,则a∥c.判断此说法是否正确.
【解析】因为当b=0时,a,c可以是任意向量,故a,c不一定平行;只有当b≠0时,才有a∥b,b∥c,则a∥c.
角度2　写出相等向量或平行向量?
【典例】如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,
四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:
(1)分别写出与 , 相等的向量;
(2)写出与 共线的向量.
【思路导引】(1)找与 (或 )长度相等且方向相同的向量;
(2)找与 方向相同或相反的向量.
【解析】(1)因为 的方向相同,
所以与 相等的向量是
同理,与 相等的向量是
(2)因为AO∥DE∥BF,A,O,C三点共线,
所以与 共线的向量是
【解题策略】
1.相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.
2.共线向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.
3.共线向量与相等向量的关系
相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.
【题组训练】
1.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;
⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是　　　　.(填序号)?
【解析】相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定
是共线向量,③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④成立.
答案:①③④
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.

(1)找出与 相等的向量.
(2)找出与 共线的向量.
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形知,
与 的长度相等且方向相同,所以与 相等的向量为 .
(2)由题干图可知, 与 方向相同,
与 方向相反,所以与 共线的向量有
【补偿训练】
1.下列说法中,正确的序号是　　　　.?
①零向量都相等;
②任一向量与它的平行向量不相等;
③若
④共线的向量,若始点不同,则终点一定不同.
【解析】因为零向量的长度都为零,且其方向任意,所以零向量相等,所以①正
确;因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等,所以任一向量与它的平行
向量可能相等,所以②错误;由 方向相同,模相等,可推出 方向相
同,模相等,即 ,所以③正确;由共线向量的定义可知:共线的向量,始点
不同,终点可能相同,所以④不正确.
答案:①③
2.如图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中:

(1)写出与 相等的向量;
(2)写出与 模相等的向量.
【解析】(1)与 相等的向量为 相等的向量为 .
(2)与 模相等的向量为
类型三　向量的表示与应用(直观想象)
【典例】1.若 则四边形ABCD的形状为　　　　.?
2.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量
(2)求| |.
【思路导引】1.判断直线AB与直线CD的位置关系、线段AB与线段CD的长度关系,
即可判断四边形ABCD的形状.
2.(1)根据题意作出向量即可.(2)先证四边形ABCD为平行四边形,再求| |.
【解析】1.由题意知四边形ABCD的一组对边BA∥CD,BA≠CD,故四边形为梯形.
答案:梯形
2.(1)向量 如图所示:

(2)由题意,易知 方向相反,故 共线,
又
所以在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
所以四边形ABCD为平行四边形.
所以
【解题策略】
1.准确画出向量的方法和注意事项
(1)方法
①确定向量的起点.
②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点.
(2)注意事项
用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.向量的常见应用
(1)相等向量的应用
利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
(2)平行向量的应用
用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
【跟踪训练】
如图所示,在四边形ABCD中, ,N,M分别是AD,BC上的点,且
求证:
【证明】因为 且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.
所以 且DA∥CB.
又因为 的方向相同,所以
同理可证四边形CNAM是平行四边形,所以
因为
所以 ,DN∥MB,即 的模相等且方向相同,所以
【补偿训练】
　　如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有
定点A,点C为小正方形的顶点,且 画出所有的向量 .
【解析】画出所有的向量 ,如图:
平面向量的概念
1.向量及向量的有关概念、表示方法.
2 .零向量：长度为0的向量。单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
3.平行向量（共线向量）和相等向量 .
1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的
向量，再确定哪些是同向共线的向量．
2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线
的线段，再构造同向与反向的向量．
1.与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.
2.判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素.
3.向量与向量之间不能比较大小.
4.零向量与任何向量都平行.
1.数学抽象：平面向量的概念.
2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量.
3.直观想象：向量的几何表示.
核心知识
方法总结
核心素养
易错提醒
课堂检测·素养达标
1.下列说法中正确的是 (　　)
A.若a≠b,则|a|≠|b|
B.模为0的向量的方向是不确定的
C.向量就是有向线段
D.任意两个单位向量的方向相同
【解析】选B.a与b方向不同但模相等时,a≠b,故A错误;模为0的向量为零向量,零向量的方向是不确定的,B正确;有向线段是向量的几何表示,是个图形,而向量是带方向的量,不是有向线段,C错误;任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,D错误.
2.如图,在圆O中,向量 是 (　　)

　　　　　　 　　　
　　　 　　　　　　
A.有相同起点的向量 B.共线向量
C.模相等的向量 D.相等的向量
【解析】选C.由题图可知,三向量方向不同,但长度相等.即这三个向量的模相等.
3.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,
则下列结论正确的是 (　　)
【解析】选A.因为点D,E分别是AB和AC边的中点,
所以DE∥BC,所以 共线;选项B,C,D中的向量不共线.
4.给出下列几种说法:
①若A,B,C三点共线,则
②任一非零向量都可以平行移动;
③长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.其中说法正确的是　　　　.(填序号)?
【解析】①正确.由A,B,C三点共线可知, 方向相同或相反,
所以
②正确.方向相同且长度相等的两个向量是相等向量,这说明任一非零向量
都可以平行移动;
③错误.方向相反的两个向量是共线向量.
答案:①②
5.(教材二次开发:习题改编)在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,
用直尺和圆规画出下列向量.
(1)| |=3,点A在点O正西方向;
(2)| |=3 ,点B在点O北偏西45°方向;
(3)| |=2,点C在点O南偏东60°方向.
【解析】如图所示: