2020-2021学年高中人教A版数学必修3学案 第3章 概率 章末综合提升 Word版含解析

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[提升层·题型探究]
用频率估计概率
【例1】　为了为奥运会做准备，某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下表：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
[解]　(1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9.
(2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．
概率是一个常数，但除了特殊几类概型，概率并不易知，故可以用频率来估计.
1．对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率





(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
[解]　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
互斥事件与对立事件的概率
【例2】　某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖的概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
[解]　由题意事件A、B、C为互斥事件．
(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋
＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.]
求复杂事件的概率通常有两种方法
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解.
2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[解]　记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.
(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
古典概型
【例3】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
[解]　(1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有6个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则A包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．因为A中的基本事件的个数为4，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，则所有的基本事件共有9个，分别是(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则B包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．
因为B中的基本事件的个数为4，所以P(B)＝.
古典概型求解需注意的问题
解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．
3．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲先抽，乙后抽，各抽一张，抽到的牌不放回．
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
[解]　(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，红桃2、红桃3、红桃4分别用2,3,4表示)为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种情况．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙抽到的牌的牌面数字大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，所以甲胜的概率为p1＝，乙胜的概率为p2＝1－p1＝.因为<，所以此游戏不公平．
几何概型
【例4】　在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
思路点拨：密切注意题目条件，搞清几何概型的“测度”类型．
[解]　在圆上随机地取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取另一点，如图所示，△BCD为单位圆O的内接等边三角形，在圆O上可取定点B，当另一点E取在劣弧CD上时，BE>BC.
记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，劣弧CD的弧长是圆周长的，所以由几何概型的概率计算公式得P(A)＝.
1．过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于该直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．
[解]　记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过圆内接等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时等于边长，弦长大于CD的条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝＝，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.
2.以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．
[解]　记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作圆内接等边三角形BCD的内切圆，当以内切圆(小圆)上任一点为中点作弦时，弦长等于圆(大圆)内接等边三角形BCD的边长，所以弦长超过圆(大圆)内接等边三角形的边长时，弦的中点在小圆内，易得小圆半径为，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝,π×12)＝，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.
几何概型问题的解题方法
(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.
(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题.