《消元解二元一次方程组的灵活应用》学习任务单
【学习目标】
1．能灵活选择消元方法解决二元一次方程组的相关问题；
2．体会消元思想在解决二元一次方程组问题中的应用..
【课上任务】
典型例题
已知，求的值.
练习1：判断方程组的解的个数.
练习2：若求的值.
已知方程组的解为，求方程组的解.
练习1：解方程组
练习2：若则求式子的值.
关于的方程组有无数组解，求的值.
练习1：若对任意有理数，关于的二元一次方程有一组公共解，求出这组公共解.
练习2：若关于的方程组无解，求的值.
拓展思考
拓展1：已知中每一个数值只能取中的一个，且满足求的值.
拓展2：将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是则第个数是多少？
【课后作业及参考答案】
已知是二元一次方程组的解，求的值.
解方程组：
3.若满足下列方程组
求的值.
参考答案：
1.把代入得：，得：
2.(1)解：设则原方程组化为：，解得，所以，解得
(2)解：设，则原方程组化为，解得，所以，解得
3.解：将各方程相加得：
所以教
案
教学基本信息
课题
消元解二元一次方程组的灵活运用
学科
数学
学段：
初中
年级
初一
教材
书名：《义务教育教科书数学》
出版社：
人民教育出版社
出版日期：2012年
10
月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
实施者
指导者
课件制作者
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
对于解未知数系数较大、系数有规律的二元一次方程，除去常用的代入、加减消元法，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法.通过本节课的教学内容，使学生善于观察方程组的系数特点，加强对方程组整体特征的把握，通过观察和分析选择最优解决问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和推理能力.
教学重点：对方程组整体特征的分析，选择最优解决方法；
教学难点：消元法解二元一次方程组的灵活应用.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们，前面几节课我们学习了利用代入消元法和加减消元法来求解二元一次方程组，今天我们继续学习利用消元思想来解决二元一次方程组的相关问题，但今天的题目可能和同学们之前遇到的会有所不同，希望同学们认真观察分析，开动脑筋，找到解决问题的最佳路径.
突出本节课的学习目标
新课
一、典型例题
首先，我们来看这样一个问题：
已知，求的值.
分析：
思路1：这是一个关于的二元一次方程组，可以应用之前所学的加减或代入消元法，解出的值，即可求出的值.
思路2：观察此二元一次方程组的系数特征，可以将，得，所以；
比较两种不同的思路，你觉得哪种方法更简单呢？
很明显，思路2种没有求出的值，而是用两个方程直接相加，求出这个整体的值，所以同学们会觉得更简单，那是所有的方程组都可以用这种整体求值的方法吗？同学们思考一下，这个问题中为什么可以？
其实是取决于这个方程组中未知数系数特点和所求式子的特点共同决定的，所以观察已知和所求的关系和特征是非常重要的。
练习1：判断方程组的解的个数.
分析：在这个关于的二元一次方程组中，含有未知数的绝对值，你打算如何解决这个问题呢？
思路1：根据绝对值的定义，分情况讨论去掉绝对值符号，转化为不含绝对值得二元一次方程组，需要讨论四次才可以考虑全所有情况，再判断解的情况，这种方法直接但是比较繁琐；
思路2：可以观察次方程组的特点，将得到：
，根据绝对值的意义，可知不可能同为负数，因为若都为负数，则方程的左边为0，与方程右边18矛盾；得:
,同理可分析出不可能都为负数，否则依然会出现的矛盾；因此，只可能为一正一负，若为正数，为负数，则由可得：，这与矛盾，所以只有一种情况就是为负数，为正数.
练习2：若求的值.
分析：这个题目中出现了不等号，出现了平方，出现了三个未知数，如何找到解决问题的切入点呢？
根据平方的非负性，可得，
两式相加得：，所以，所以原式=
小结：这是一道考查学生综合运用知识能力的题目，既要注意前后知识的关联，也要关注对式子结构特征的分析.
已知方程组的解为
求方程组的解.
分析：
思路1：学生直接把关于的方程组化简后得到
，根据之前学的加减消元法，可以出；
那如果采用这个方法，虽然解决了问题，但好像已知条件没有用，那有没有其他的方法吗？
思路2：观察关于和的这两个方程组，如果把分别看成一个整体，则关于的方程组就可以写成，根据已知条件可得，所以；
在思路2的方法里面，把分别看成一个整体，这种方法称为“换元法”，这种方法在很多时候可以使问题简化.
练习1：解方程组
分析：观察方程组的结构特征，不妨设，则原方程组化为，解得，还原回去得到，根据倒数的定义得，解得
小结：利用换元法，求出了一个未知数出现在分母位置的方程组的解,体现了换元法的作用.
练习2：
若则求式子的值.
分析：已知条件中给了两个方程，但却含有三个字母，不是同学们之前熟悉的二元一次方程组，如何解决这个问题呢？
把字母
用字母来表示，利用换元法解决这个问题.
解：整理已知条件得:,解得，代入原式得
在这个化简过程中，要注意到的条件，保证了分母不为0，在解题过程中，要注意严谨性.
同学们可以独立尝试用其他字母来表示另外两个字母来解决:
若用来表示，可得，代入原式得
若用来表示，可得，代入原式得
例3.
关于的方程组有无数组解，求的值.
分析：这是一个含字母系数的关于的二元一次方程组，根据已知，存在无数组，使得这个方程组成立，那应该如何解决这个问题呢？
我们根据之前的学习经验，不妨通过消元法，将方程组解的讨论转化为一元一次方程解的讨论，根据方程组的系数特点，消去比较简单，把得：，依题意得，所以
练习1：若对任意有理数，关于的二元一次方程有一组公共解，求出这组公共解
分析：分析：在这个问题中，是唯一的，与取值无关，根据前面的例题分析，你有什么思路吗？
我们不妨把原方程转化为关于的二元一次方程，得到：，依题意得：，解得：
练习2：若关于的方程组无解，求的值.
分析：可以通过消元转化为一元一次方程来求解，整理得：
，依题意得：
拓展思考
拓展1：已知中每一个数值只能取中的一个，且满足求的值.
分析：分析：这又是一个关于多元的问题，读完题目，思考一下不管是已知还是所求的这些式子的值究竟取决于什么呢？
取决于中有几个取数值，哪些取数值
解：设有个取，有个取，依题意得：，解得，则原式=
小结：本题巧借二元一次方程组解决了一个多元的问题
.
拓展2：将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是则第个数是多少？
分析：这是一个找规律的问题，发现从第二个数开始与前一个数的差依次是，如果按这个规律数下去，求第50个数是多少或者更大的数是多少时显然不是一个好办法，你有其他方法吗？是否可以用方程解决这个问题呢？
解：设已知的数依次是
依题意得：
将这些式子左、右两边分别相加，得
小结：这是一个多元方程组，未知数的个数可不断增加，但是解方程组的策略依然是消元与转化.
体会整体加减在解决二元一次方程组相关问题中的作用
学生体会换元法在解决问题中的作用，体会通过换元法，达到消元的目的.
通过例3及相关练习的学习，体会转化的数学思想在解决问题中的作用.
拓展题目的设置，让学生体会把多元问题转化为熟悉的二元一次方程组，再次体会转化的数学思想.
总结
对于二元的问题我们往往通过消元的思想转化为一元的问题，可以是解二元一次方程组，也可以是一些求值问题等等，之前我们已经很熟悉加减消元法和代入消元法，经过今天的讲解，我们又学习了整体加减消元，换元法，在解决问题的过程中，体会了换元法和转化的思想，这些方法往往可以帮助我们更为便捷的解决问题，或者把一些看似很难解决或不会解决的问题简化或者转化为我们熟悉的内容，希望今天的讲解能为同学们今后的学习提供一些帮助，启发大家对数学学习方法的一些思考.
作业
已知是二元一次方程组的解，求的值.
解方程组：
3.若满足下列方程组
求的值.
作业的设置，加强了对本节课学习内容的巩固.
