《实际问题与二元一次方程组》（第二课时）
学习任务单
【学习目标】
本节课向学生呈现怎样借助文字、表格、线段图帮助梳理实际问题中的数量关系，使学生能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
本课重难点在于根据实际问题的描述，梳理数量关系，建立方程组模型。
【课上任务】
典例分析
例：
1号仓库与2号仓库共存粮450吨．现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果2号仓库所余粮食比1号仓库所余粮食多30吨．1号仓库与2号仓库各存粮多少吨？
问题1：这个问题中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？
问题2：把哪两个量设为未知数？利用哪两个等量关系列二元一次方程组？
问题3：请解出方程组的解，检验并答题。
例：
甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了10件.甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
问题1：这个问题中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？
问题2：把哪两个量设为未知数？利用哪两个等量关系列二元一次方程组？
问题3：请解出方程组的解，检验并答题。
例：
A、B
两地相距
3
千米．甲从
A
地出发步行到
B
地，乙从
B
地出发步行到
A
地．两人同时出发，20
分钟后相遇，又经过
10
分钟后，甲所余路程为乙所余路程的
2
倍．求两人的速度．
问题1：这个问题中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？
问题2：把哪两个量设为未知数？利用哪两个等量关系列二元一次方程组？
问题3：请解出方程组的解，检验并答题。
例：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以粗加工16吨或者精加工6吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
问题1：这个问题中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？
问题2：把哪两个量设为未知数？利用哪两个等量关系列二元一次方程组？
问题3：请解出方程组的解，检验并答题。
归纳小结：
根据本节课的内容，你有什么收获吗？请记录下来！
【课后作业】
1.一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98千米，且第一天比第二天少走2千米，第一天和第二天行军的平均速度是多少？
2.
打折前，买
60件
A商品和
30件
B商品用了1080元，买
50件
A商品和
10件
B商品用了
840元．打折后，买500件
A商品和
500件
B商品用了
9600元，比不打折少花了多少钱？
【课后作业参考答案】
1.解：设第一天行军的平均速度为x千米/小时，第二天行军的平均速度为y千米/小时.
由题意，得
解得
答：第一天行军的平均速度为12千米/小时，第二天行军的平均速度为10千米/小时.
2.
解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元.
由题意，得
解得
所以，打折前每件A商品16元，每件B商品4元.
如果不打折，买500件A商品和500件B商品需要费用为：
所以，10000-9600=400（元）
答：比不打折少花了400元.教
案
教学基本信息
课题
8.3实际问题与二元一次方程组（第二课时）
学科
数学
学段：
初中
年级
七年级
教材
书名：义务教育教科书七年级下数学
出版社：人民教育出版社
出版日期：2012
年10月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
实施者
指导者
课件制作者
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想。
教学重难点：
明确实际问题中各个量之间的关系，找出实际问题中的未知量，会设未知数，列方程组。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
回顾列二元一次方程模型解决实际问题的流程及建立二元一次方程组的几个关键过程。
通过回顾怎样梳理实际问题中的数量关系，为本节课深入理解和熟练二元一次方程组模型的建立方法做一个铺垫。
例题
例：1号仓库与2号仓库共存粮450吨．现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果2号仓库所余粮食比1号仓库所余粮食多30吨．1号仓库与2号仓库各存粮多少吨？
问题1：这个问题中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？
已知量是甲乙两个仓库存粮的总量，每个仓库调出粮食的百分比，
未知量为每个仓库的村粮量
问题2：把哪两个量设为未知数？利用哪两个等量关系列二元一次方程组？
设1号仓库与2号仓库分别存粮x吨、y吨．
1号仓库的存粮量＋2号仓库的存粮量＝存粮总量
30＋1号仓库剩余的存粮量＝2号仓库剩余的存粮量
问题3：请解出方程组的解，检验并答题。
解：设1号仓库与2号仓库分别存粮x吨、y吨．
由题得：
解得：
答：1号仓库与2号仓库存粮分别为240吨、210吨．
例：
甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了10件.甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
问题1：这个问题中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？
已知量为时间，工作总量，
未知量是工效
问题2：把哪两个量设为未知数？利用哪两个等量关系列二元一次方程组？
设甲、乙每小时加工零件分别为
x
件、y件．
甲加工总件数＋乙加工总件数＝工作总量（126）
甲4小时加工件数＝乙5小时加工件数＋10
问题3：请解出方程组的解，检验并答题。
解：设甲、乙每小时加工零件分别为
x
件、y件．
根据题意，得
解得
答：甲每小时加工零件20
件，乙每小时加工零件22
件．
例：A、B
两地相距
3
千米．甲从
A
地出发步行到
B
地，乙从
B
地出发步行到
A
地．两人同时出发，20
分钟后相遇，又经过
10
分钟后，甲所余路程为乙所余路程的
2
倍．求两人的速度．
问题1：这个问题中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？
已知量是时间和路程
未知量是速度
问题2：把哪两个量设为未知数？利用哪两个等量关系列二元一次方程组？
设甲、乙的速度分别为
x
米/分钟，y
米/分钟．
甲走路程＋乙走路程＝总路程
甲所余路程＝2倍乙所余路程
问题3：请解出方程组的解，检验并答题。
解：设甲、乙的速度分别为
x
米/分钟，y
米/分钟．
由题意得：
解得：
答：甲的速度为
米/分钟，
乙的速度为
米/分钟．
例：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以粗加工16吨或者精加工6吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
问题1：这个问题中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？
已知量有蔬菜总量，每天粗加工蔬菜量，每天精加工蔬菜量，天数
未知量有粗加工和精加工的天数
问题2：把哪两个量设为未知数？利用哪两个等量关系列二元一次方程组？
设安排粗加工
x
天，安排精加工
y
天．
蔬菜总量＝粗加工蔬菜量＋精加工蔬菜量
总时间＝粗加工时间＋精加工时间
问题3：请解出方程组的解，检验并答题。
解：设安排粗加工
x
天，安排精加工
y
天．
由题意得：
解得：
粗加工蔬菜的利润：
精加工蔬菜的利润：
总利润：
答：安排粗加工
5
天，安排精加工10
天，
加工后出售共可获利
200000
元．
在前一节课中，通过模拟学生的应答，将从实际问题中读出各个量，梳理各个量之间关系的方法呈现出来。直线标注，表格梳理，表格中信息圈注的方法，既是在演示梳理关系的方法，也在呈现分析问题的思维过程。
本节课的重点是让学生们通过梳理数量关系的过程，不断提升识别数量关系的敏感度，同时对不同类型的实际问题中的数量关系有所了解。
比如工程问题中的三量关系是什么，行程问题中的三量关系是什么。
在四个例题的解析过程中，用相同的过程分析问题，旨在使分析的角度和方法不断内化为学生自身的思考行为，同时让学生感受到万变归一的信息。
即：背景的变化没有改变分析的方法，量的含义在变，没有改变数量关系的存在都能抽象为方程的本质。
总结
同学们，这两节课里，我们分析了一些与两个主体研究对象相关的实际问题。
这里面有依据“工时乘以工效等于工作总量”
和工作量之间的数量关系建立方程组的问题。
有根据“牛的头数乘以每头牛用饲料量等于饲料总量”及饲料量之间的关系建立方程的问题。
也有根据“人数乘以人均产量等于产品总量”
及产量之间的关系建立方程组的问题。
还有以“时间乘以速度等于路程”及路程之间的关系建立方程组的问题。
你发现这些问题的共性了吗？
不同类量之间的关系，同类量之间的关系是建立方程和方程组的主要关系，这是解题时分析的关键。
将多个类型实际问题解析的相同性及数量关系的相类似性和抽象为数学模型的相同类型性的认识归纳出来，让建构二元一次方程组模型在同学们的脑海中变成一件简单的事情。
作业
1.
一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98千米，且第一天比第二天少走2千米，第一天和第二天行军的平均速度是多少？
2.
打折前，买
60件
A商品和
30件
B商品用了1080元，买
50件
A商品和
10件
B商品用了
840元．打折后，买500件
A商品和
500件
B商品用了
9600元，比不打折少花了多少钱？
通过成功完成作业的体验，检测学习效果，增加学习信心。
