2020-2021学年 人教版八年级数学下册 第18章平行四边形 期中复习优生辅导训练（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年 人教版八年级数学下册 第18章平行四边形 期中复习优生辅导训练（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 313.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-14 20:48:03 | ||
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文档简介
2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》期中复习优生辅导训练（附答案）
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．8cm和6cm
B．8cm和8cm
C．8cm和12cm
D．8cm和16cm
3．如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120°
B．100°
C．110°
D．90°
4．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24
B．24
C．12
D．12
5．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．2
8．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
9．已知坐标系中有O、A、B、C四个点，其中点O（0，0），A（3，0），B（1，1），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则C的坐标是
．
10．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是
cm2．
11．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是
．
12．?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为
cm．
13．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝3，则GE＝
．
14．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为
．
15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是
．
16．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝7，则EF的长为
．
17．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝
．
18．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝2：1，则∠BDE＝
．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4，则BC＝
．
20．矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，在CE上取一点F，且∠FAC＝∠ECB，∠DCA＝∠DAF，若AE＝3，CF＝4，则AB长为
．
21．如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F分别为垂足，BE＝DF，AF∥CE．
（1）试判断四边形AECF、四边形ABCD形状，并说明理由；
（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC．
22．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）求证：BE⊥AF；
（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．
23．在正方形ABCD中，点P为射线BA上的一个动点（与点B不重合）．当DP的垂直平分线交线段AC于点E时，猜想：∠PDE的度数是多少？当点P运动时，∠PDE的度数是否发生改变？
请你按①如图①，点P在AB上，②如图②，点P在BA延长线上，两种情况进行探究．
（1）完成图形，写出你的猜想；
（2）选择其中的一种情况给出证明．
24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积．
25．如图，在矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，且AF＝CE．
（1）证明：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若DE⊥AC，∠ADE＝30°，AD＝2，求平行四边形DEBF的面积．
26．图，点E、F分别在?ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．
27．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，
（1）求∠BMN的度数；
（2）求BN的长．
28．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
参考答案
1．解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
2．解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠1＝20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
5．解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，
∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，
∴OE＝OA＝OC＝AC，
∵BE⊥DE，
∴OE＝OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，
故选：A．
6．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
7．解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故选：D．
8．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
9．解：如图所示：
分三种情况：①AB为对角线时，点C的坐标为（4，1）；
②OB为对角线时，点C的坐标为（﹣2，1）；
③OA为对角线时，点C的坐标为（2，﹣1）；
综上所述，点C的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1）．
10．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，
∴OB＝＝＝8（cm），
∴BD＝2OB＝16cm，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×12×16＝96（cm2）．
故答案为：96．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，
∴，
两个方程相加，得AB＝19（cm）．
故答案为：19．
13．解：取BE的中点H，连接FH、CH，如图：
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，FH＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E是CD的中点，
∴EC＝CD，
∴FH∥EC，FH＝EC，
∴四边形FHCE是平行四边形，
∴GE＝GH＝EH．
∵BE＝3，H是BE的中点，
∴EH＝，
∴GE＝．
故答案为：．
14．解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠BDH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠BDH+∠CDO＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠BDH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故答案为：20°．
16．解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3.5，
在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5．
17．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OD＝OB，
∴OE＝BD＝×8＝4，
故答案为：4．
18．解：因为在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∵∠ADE：∠EDC＝2：1，
∴3∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∴∠BDE＝30°．
故答案为：30°．
19．解：方法一：如图，将△AOC绕O逆时针旋转90°，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OBD+∠OBC＝180°，
∴C，B，D在同一条直线上，
由旋转可知：
BD＝AC＝3，OD＝OC＝4，∠AOD＝90°，
∴CD＝＝8，
∴BC＝CD﹣BD＝8﹣3＝5．
方法二：如图，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3），
作EQ⊥x轴于点Q，OM⊥x轴于点M，
设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，
∴∠BAC＝∠EBQ，
在△ABC和△BEQ中，
，
∴△ACB≌△BQE（AAS），
∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ，
设BC＝EQ＝x，
∴O为AE中点，
∴OM为梯形ACQE的中位线，
∴OM＝，
又∵CM＝CQ＝，
∴O点坐标为（，），
根据题意得：OC＝4，
根据勾股定理，得
（4）2＝2（）2
解得x＝5，
则BC＝5．
故答案为：5．
20．解：延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠DAF，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠DAC，
∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∵AB⊥BC，BG＝BE，
∴CG＝CE，
∴∠ECB＝∠GCB，
∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，
∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，
∴AG＝CG，
又∵CE＝CG，
∴CE＝AG，
∴CF+EF＝AE+2EB，
∴CF＝2EB＝4，
∴EB＝2，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5；
故答案为：5．
21．解：（1）四边形AECF、四边形ABCD都是平行四边形，理由如下：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
∴OA＝OC，OE＝OF，
又∵BE＝DF，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
在Rt△AEF中，AE＝＝＝6，
∴CF＝6，
∵BE＝7，EF＝8，
∴BF＝BE+EF＝15，
在Rt△BCF中，BC＝＝＝3．
22．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∴BE⊥AF；
（3）∵BE⊥AF，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得
∴BF＝＝，
∴GH＝．
23．解（1）完成图形如图①②所示，EF是线段DP的垂直平分线，
猜想：当点P运动时，∠PDE的度数不变，∠PDE＝45°；
（2）证明：如图①中，过点E作MN∥BC分别交DC，AB于M，N，
则∠PNE＝∠EMD＝90°，
∵点E在线段DP的垂直平分线上，
∴ED＝EP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EN＝AN＝DM，
在Rt△PNE和Rt△EMD中，
，
∴Rt△PNE≌Rt△EMD（HL），
∴∠PEN＝∠EDM，
∵∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠PEN+∠DEM＝90°，
∴∠PED＝90°，
∵ED＝EP，
∴∠PDE＝45°．
24．（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC，
∴CD＝AB，且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO，
∵CE⊥AB，
∴AC＝2OE＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝＝＝1，
∴BD＝2OB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×2＝4．
25．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△BAF和△DCE中，，
∴△DCE≌△BAF（SAS），
∴DE＝BF，∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF为平行四边形；
（2）解：∵DE⊥AC，∠ADE＝30°，AD＝2，AF＝CE，
∴CF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝4，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4﹣1﹣1＝2，
∴平行四边形DEBF的面积＝2△DEF的面积＝DE×EF＝．
26．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF．
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分．
（2）四边形AECF是菱形．
证明：∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO．
∴∠CEO＝∠CFO．
∴CE＝CF．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
27．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，
∴BC＝CD＝＝2，
∴BD＝×2＝4．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，
∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，
∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．
∵MN⊥CM，
∴∠CMN＝90°，
∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠BMN的度数为22..5°．
（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，
∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，
又∵∠BMC＝67.5°，
∴∠BCM＝∠BMC，
∴BM＝BC＝CD＝2，
∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．
∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，
∴∠DCM＝∠BMN．
∴在△DCM和△BMN中，
，
∴△DCM≌△BMN（ASA），
∴BN＝DM＝4﹣2，
∴BN的长为4﹣2．
28．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．8cm和6cm
B．8cm和8cm
C．8cm和12cm
D．8cm和16cm
3．如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120°
B．100°
C．110°
D．90°
4．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24
B．24
C．12
D．12
5．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．2
8．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
9．已知坐标系中有O、A、B、C四个点，其中点O（0，0），A（3，0），B（1，1），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则C的坐标是
．
10．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是
cm2．
11．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是
．
12．?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为
cm．
13．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝3，则GE＝
．
14．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为
．
15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是
．
16．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝7，则EF的长为
．
17．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝
．
18．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝2：1，则∠BDE＝
．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4，则BC＝
．
20．矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，在CE上取一点F，且∠FAC＝∠ECB，∠DCA＝∠DAF，若AE＝3，CF＝4，则AB长为
．
21．如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F分别为垂足，BE＝DF，AF∥CE．
（1）试判断四边形AECF、四边形ABCD形状，并说明理由；
（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC．
22．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）求证：BE⊥AF；
（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．
23．在正方形ABCD中，点P为射线BA上的一个动点（与点B不重合）．当DP的垂直平分线交线段AC于点E时，猜想：∠PDE的度数是多少？当点P运动时，∠PDE的度数是否发生改变？
请你按①如图①，点P在AB上，②如图②，点P在BA延长线上，两种情况进行探究．
（1）完成图形，写出你的猜想；
（2）选择其中的一种情况给出证明．
24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积．
25．如图，在矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，且AF＝CE．
（1）证明：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若DE⊥AC，∠ADE＝30°，AD＝2，求平行四边形DEBF的面积．
26．图，点E、F分别在?ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．
27．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，
（1）求∠BMN的度数；
（2）求BN的长．
28．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
参考答案
1．解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
2．解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠1＝20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
5．解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，
∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，
∴OE＝OA＝OC＝AC，
∵BE⊥DE，
∴OE＝OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，
故选：A．
6．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
7．解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故选：D．
8．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
9．解：如图所示：
分三种情况：①AB为对角线时，点C的坐标为（4，1）；
②OB为对角线时，点C的坐标为（﹣2，1）；
③OA为对角线时，点C的坐标为（2，﹣1）；
综上所述，点C的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1）．
10．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，
∴OB＝＝＝8（cm），
∴BD＝2OB＝16cm，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×12×16＝96（cm2）．
故答案为：96．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，
∴，
两个方程相加，得AB＝19（cm）．
故答案为：19．
13．解：取BE的中点H，连接FH、CH，如图：
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，FH＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E是CD的中点，
∴EC＝CD，
∴FH∥EC，FH＝EC，
∴四边形FHCE是平行四边形，
∴GE＝GH＝EH．
∵BE＝3，H是BE的中点，
∴EH＝，
∴GE＝．
故答案为：．
14．解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠BDH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠BDH+∠CDO＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠BDH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故答案为：20°．
16．解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3.5，
在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5．
17．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OD＝OB，
∴OE＝BD＝×8＝4，
故答案为：4．
18．解：因为在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∵∠ADE：∠EDC＝2：1，
∴3∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∴∠BDE＝30°．
故答案为：30°．
19．解：方法一：如图，将△AOC绕O逆时针旋转90°，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OBD+∠OBC＝180°，
∴C，B，D在同一条直线上，
由旋转可知：
BD＝AC＝3，OD＝OC＝4，∠AOD＝90°，
∴CD＝＝8，
∴BC＝CD﹣BD＝8﹣3＝5．
方法二：如图，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3），
作EQ⊥x轴于点Q，OM⊥x轴于点M，
设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，
∴∠BAC＝∠EBQ，
在△ABC和△BEQ中，
，
∴△ACB≌△BQE（AAS），
∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ，
设BC＝EQ＝x，
∴O为AE中点，
∴OM为梯形ACQE的中位线，
∴OM＝，
又∵CM＝CQ＝，
∴O点坐标为（，），
根据题意得：OC＝4，
根据勾股定理，得
（4）2＝2（）2
解得x＝5，
则BC＝5．
故答案为：5．
20．解：延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠DAF，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠DAC，
∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∵AB⊥BC，BG＝BE，
∴CG＝CE，
∴∠ECB＝∠GCB，
∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，
∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，
∴AG＝CG，
又∵CE＝CG，
∴CE＝AG，
∴CF+EF＝AE+2EB，
∴CF＝2EB＝4，
∴EB＝2，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5；
故答案为：5．
21．解：（1）四边形AECF、四边形ABCD都是平行四边形，理由如下：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
∴OA＝OC，OE＝OF，
又∵BE＝DF，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
在Rt△AEF中，AE＝＝＝6，
∴CF＝6，
∵BE＝7，EF＝8，
∴BF＝BE+EF＝15，
在Rt△BCF中，BC＝＝＝3．
22．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∴BE⊥AF；
（3）∵BE⊥AF，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得
∴BF＝＝，
∴GH＝．
23．解（1）完成图形如图①②所示，EF是线段DP的垂直平分线，
猜想：当点P运动时，∠PDE的度数不变，∠PDE＝45°；
（2）证明：如图①中，过点E作MN∥BC分别交DC，AB于M，N，
则∠PNE＝∠EMD＝90°，
∵点E在线段DP的垂直平分线上，
∴ED＝EP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EN＝AN＝DM，
在Rt△PNE和Rt△EMD中，
，
∴Rt△PNE≌Rt△EMD（HL），
∴∠PEN＝∠EDM，
∵∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠PEN+∠DEM＝90°，
∴∠PED＝90°，
∵ED＝EP，
∴∠PDE＝45°．
24．（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC，
∴CD＝AB，且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO，
∵CE⊥AB，
∴AC＝2OE＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝＝＝1，
∴BD＝2OB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×2＝4．
25．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△BAF和△DCE中，，
∴△DCE≌△BAF（SAS），
∴DE＝BF，∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF为平行四边形；
（2）解：∵DE⊥AC，∠ADE＝30°，AD＝2，AF＝CE，
∴CF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝4，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4﹣1﹣1＝2，
∴平行四边形DEBF的面积＝2△DEF的面积＝DE×EF＝．
26．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF．
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分．
（2）四边形AECF是菱形．
证明：∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO．
∴∠CEO＝∠CFO．
∴CE＝CF．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
27．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，
∴BC＝CD＝＝2，
∴BD＝×2＝4．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，
∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，
∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．
∵MN⊥CM，
∴∠CMN＝90°，
∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠BMN的度数为22..5°．
（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，
∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，
又∵∠BMC＝67.5°，
∴∠BCM＝∠BMC，
∴BM＝BC＝CD＝2，
∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．
∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，
∴∠DCM＝∠BMN．
∴在△DCM和△BMN中，
，
∴△DCM≌△BMN（ASA），
∴BN＝DM＝4﹣2，
∴BN的长为4﹣2．
28．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．