2020-2021学年苏科版八年级下册第九章中心对称图形—平行四边形期中复习解答题精选（1）（word版含答案）

2021年八年级下册平行四边形期中复习解答题精选（1）
一、解答题
1．（2020·江苏无锡市·八年级期中）按要求作图，不要求写做法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF=BE．
（2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺（不带刻度）作出菱形ABCD的边AB上的高DF．
2．（2020·江苏无锡市·八年级期中）在△ABC中，AB＝12，AC＝BC＝10，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD，BE．
（1）如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F．
①求证：△ABD是等边三角形；
②求证：BF⊥AD，AF＝DF；
③请直接写出BE的长．
在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．
3．（2020·江苏无锡市·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=5cm，E为对角线BD上一动点，连接AE、CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F，E点从B点出发，沿BD方向以每秒1cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
（1）点E在整个运动过程中，试说明总有：CE=EF；
（2）求y与x之间关系的表达式，并写出x的取值范围．
4．（2020·江苏无锡市·八年级期中）已知，如图在中，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，画出中边上的中线；(作图要求:保留痕迹，不写作法．)
（2）请只用无刻度的直尺，画出中边上的高，并说明理由．
5．（2020·江苏无锡市·八年级期中）已知:平行线与与与之间的距离分别为且，．我们把四个顶点分别在这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”
（1）如图1，正方形为“线上四边形”，于点的延长线交直线于点．求正方形的边长．
（2）如图2，菱形为“线上四边形”且是等边三角形，点在直线上，连接且的延长线分别交直线于点．求证:．
6．（2020·江苏无锡市·八年级期中）如图，在矩形中，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度向点方向运动，连接，把沿翻折，得到．设点的运动时间为．
（1）若，当三点在同一直线上时，求的值；
（2）若点到直线的距离等于，求的值；
（3）若的最小值为，直接写出的值．
7．（2020·江苏无锡市·八年级期中）只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，其中四边形AEBF是平行四边形，请你在图中画出∠AOB的平分线．
（2）如图2，已知E是菱形ABCD中AB边上的中点，请你在图中画出一个矩形EFGH，使得其面积等于菱形ABCD的一半．
8．（2020·江苏无锡市·八年级期中）（发现问题）爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E为BC中点，求AE的取值范围．
（解决问题）
（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．
（灵活运用）
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．
（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为
．
（迁移拓展）
（4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF=
．
9．（2020·南通市八一中学八年级期中）如图①，将正方形ABOD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），
（1）点B的坐标为
；
（2）若点P为对角线BD上的动点，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如图②，连接DE，则BP与DE的关系（位置与数量关系）是
，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，再作等边三角形APF，连接EF、FD，如图③，在
P点运动过程中当EF取最小值时，此时∠DFE＝
°；
（4）在（1）的条件下，点
M在
x
轴上，在平面内是否存在点N，使以
B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级期中）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE=∠E，PE交CD于点F．
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数.
11．（2020·无锡市东林中学八年级期中）已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.
（1）如图1，连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿着A→F→B→A匀速运动，Q点沿着C→D→E→C匀速运动，在运动过程中：
①
已知点P的速度为10cm/s，点Q的速度为8cm/s，运动时间为t秒，问当t为何值时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？
②
点P，Q的运动路程分别为a，b（单位：cm，ab≠0），问当a，b满足怎样的关系式时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？
12．（2020·江阴市利港中学八年级月考）如图1，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点A（0，3）、点C（－4，0）．
（1）若把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，求折痕DE的长；
（2）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若M为AC边上的一动点，在OA上取一点N（0，1），将矩形OABC绕点O顺时针旋转一周，在旋转的过程中，M的对应点为M1，请直接写出NM1的最大值和最小值．
13．（2020·湖北十堰市·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，直线l经过对角线AC的中点O(直线l不与线段AC重合)，与AB、CD交于点E、F．
(1)求证：BE
=
DF；
(2)当直线l⊥AC时，若AD
=
4，AB
=
6，求CF的长．
14．（2019·无锡市江南中学八年级期中）在平面直角坐标系，已知线段AB，且A(-4，0)、B(-3，-3)，如图①所示，平移线段AB到线段CD，使点A的对应点是点D，点B的对应点是点C．
(1)若点C的坐标为(1，1)，则点D的坐标为_____；
(2)若点C在第四象限，点D在y轴上，连接AC、BD交于点P，如图②所示，且S△PCD=3.5，求此时点C、点D的坐标．
(3)在(2)的条件下，点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标．
16．（2019·无锡市天一实验学校八年级期中）（认识概念）
点P、Q分别是两个图形G1、G2上的任意一点，当P、Q两点之间的距离最小时，我们把这个最小距离叫作图形G1、G2的亲密距离，记为d(G1，G2)．例如，如果点M、N分别是两条相交直线a、b上的任意一点，则d(a，b)＝0
（初步运用）
如图1，长方形四个顶点分别是点A、B、C、D，边AB＝CD＝5，AD＝BC＝3．那么d(AB，CD)＝___，d(AD，BC)＝_____，d(AD，AB)＝_____．
（深入探究）
(1)在图1中，如果将线段CD沿它所在直线平移(边AB不动)，且使d(CD，AB)不变，那么线段CD的中点偏离它原来位置的最大距离为______；
(2)如图2，线段AB∥直线CD，AB＝1，点A到CD的距离为3，将线段AB绕点A旋转90°后的对应线段为AB′，则d(AB′，CD)＝______．
（2019·无锡市天一实验学校八年级期中）
(1)方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE
(D、E分别是AB、AC的中点)到点F，使得EF＝DE，连接CF；
第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC，DE＝BC．
(2)问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．
(3)拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝4，DF＝，∠GEF＝90°，求GF的长．
18．（2019·江苏无锡市·八年级期中）如图，已知.
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作菱形，要求点、、分别在边，和上（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，，请利用备用图求菱形的边长.
19．（2019·江苏无锡市·八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，点，是边上的一个动点（不与、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接，延长交于点，过点作交的延长线于点，设.
（图1）
（图2）
（1）求证：；
（2）求点的坐标（用含有的代数式表示）；
（3）如图2，过点作交于点，试判断的长度是否随着点位置的变化而改变？如果不改变，请求出的长度；如果改变，请说明理由.
参考答案
1．解：（1）如图所示：①连接AC、BD交于O，②连接EO并延长交AD于F点，
（2）如图所示：①连接AC、BD交于点G；②连接DG并延长交AB于点F，由轴对称可知，DF⊥AB，
2．（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形；
②由①得△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
又∵AC=BC，
∴EA=ED，
∴点B、E在AD的线段垂直平分线上，
∴BE是AD的线段垂直平分线，
∵点F在BE的延长线上，
∴BF⊥AD，?AF=DF；
③由②知BF⊥AD，AF=DF，
∴AF=DF=6，
∵AE=AC=10，
∴EF=8，
∵在等边三角形ABD中，BF=，
∴BE=BF﹣EF=；
（2）如图所示，
∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，
又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，
∴∠BAE=∠ABC，
∵AC=BC=AE，
∴∠BAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC，
∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，
∵AC=BC，
∴AH=BH=AB=6，
∴CH=
则CE=2CH=16，BE=10，
∴BE+CE=10+16=26．
3．（1）证明：如图1，过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
∴∠AME=∠FNE=90°=∠NFE+∠FEN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠AEM=∠NFE，
∵∠DBC=45°，∠BNE=90°，
∴BN=EN=AM，
∴△AEM≌△EFN（AAS），
∴AE=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE=CE，
∴CE=EF；
如图2，同理可证明∠BAE=∠CFE,
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠CBE=45°
又AB=CB，BE=BE
∴△BEA≌△BEC
∴∠BAE=∠BCE
∴∠CFE=∠FCE
∴CE=FE
因此，点E在整个运动过程中，总有：CE=EF；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，
∴，
由题意得：BE=2x，
∴，
由（1）知：AE=EF=EC，
分两种情况：
①当时，如图3，
∵AB=MN=10，
∴ME=FN=10-x，
∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，
∴；
②当时，如图4，过E作EN⊥BC于N，
∴EN=BN=x，
∴FN=CN=10-x，
∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，
∴；
综上，y与x之间关系的函数表达式为：
y=
4．（1）根据题意作图如下：
（2）根据题意作图如下：
解：∵直尺是矩形
∴∠AHC=90°
∴AH为中边上的高．
5．解：（1）如图1，
∵BE⊥l，l∥k，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=2，
∵BE=d1+d2=2+3=5，
∴AB=，
∴正方形的边长是；
（2）如图，连接AC
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=AD
∵
∴△ACD是等边三角形
∴AD=AC，∠CAD=60°
∵是等边三角形
∴AE=AF，∠EAF=60°
∵∠FAD=∠CAD-∠CAF
=60°-∠CAF
∠EAC=∠EAF-∠CAF
=60°-∠CAF
∴∠FAD=∠EAC
∴在△ACE和△ADF中，
，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴．
6．（1）t=3
-；（2）t=
；（3）m=
．
7．解：（1）如图所示：AD即为∠AOB的角平分线；
（2）如图2所示：四边形EFMN即为菱形．
8．（1）解：
∵E
为
BC
中点，F为
AB
中点，
∴EF＝AC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴AF＝AB＝4，EF＝AC＝3，
在△AEF中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴4－3＜AE＜4＋3，
即，1＜AE＜7；
（2）解：连接BD，取BD
中点G，连接FG、EG，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴FG＝AB，EG＝DC，
∵AB＝8，CD＝6，
∴FG＝4，EG＝3，
在△GEF中，4－3＜EF＜4＋3，
即1＜EF＜7．
（3）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴，
∴在△DHE中，，
即EF的取值范围为，
故答案为：；
（4）在线段CF上取一点M，使得FM=AF，连接BM，取BM的中点N，连接FN，EN，
∴F为线段AM的中点，
∵E为BC中点，
∴FN∥AB，且，EN∥AC，且，BE=EC，
∵∠A＝60°，AB＝4，
∴FN=2，∠FNE=120°，
∵EF正好平分△ABC的周长，
∴，
∴，
∴CM=4，
∴NE=2，
∴△FNE为等腰三角形，且∠NFE=∠NEF=30°，
过点N作NO⊥EF于点O，
则FO=OE=，
∴，
故答案为：．
9．解（1）：过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
∵ABOD为正方形，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），
∴OB=OD，∠BE0=∠DFO，∠BOE=∠ODF，
∴△BEO≌△OFD，
∴OF=BE，OE=FD，
∴点B的坐标为（－3，2），
故答案为：（－3，2）；
（2）BP与DE的关系是：垂直且相等；
证明：如图，
∵正方形ABOD，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵∠PAE＝90°，
∴∠BAD－∠3＝∠PAE－∠3，
即∠1＝∠2，
∵AP＝AE，
∴△ABP≌△ADE(SAS)，
∴∠4＝∠5，
BP＝DE，
∵∠4＋∠6＝90°，
∴∠5＋∠6＝90°，
即∠BDE=90°，
∴BP⊥DE，
∴BP与DE垂直且相等，
故答案为：垂直且相等；
（3）∵△APF为等边三角形，△PAE为等腰直角三角形，且∠PAE=90°，
∴AF=AE，∠FAE=30°，
即△AFE为等腰三角形，且EF为底边，
∴当EF最小时，AF=AE应该取最小值，即AP应当取最小值，
∵四边形ABOD为矩形，BD为ABOD一条对角线，
∴当AP⊥BD时，EF有最小值，如下图所示，
∴AP=PD=AE，∠PAD=∠APD=90°，
∴∠EAF=∠DPF=30°，
又∵AF=PF，
∴△AFE≌△PFE，
∴∠PFD=∠AFE=75°，
∴∠EFD=360°-75°-75°-60°=150°，
即，当EF取最小值时，∠DFE=150°，
故答案为：150；
（4）∵D（2，3）,
∴OD＝，
∴BD＝，
①当BD为菱形的边时，
（Ⅰ）如图，作BQ⊥x轴于Q，
MB＝BD＝，在Rt△BQM中根据勾股定理，可得M1（－3，0）、M2（－－3，0），
∵B向右平移5个单位再向上平移1个单位得到D，
∴N1（＋2，1）、N2（－＋2，1）；
（Ⅱ）如图，作TP垂直x轴于P，
MD＝BD＝，在Rt△DPM中根据勾股定理，可得M3（＋2，0）、M4（－＋2，0），
∵D向左平移5个单位再向下平移1个单位得到B，
∴N3（－3，－1）、N4（－－3，－1）
②当BD为菱形的对角线时，M与O重合，此时N与A重合，
如图，作AJ∥x轴交y轴于R，过点D作JK⊥x轴垂足为K，交AJ于点J，
易证△ALD≌△DKO，
∴JK=5，
在Rt△ARO中使用勾股定理，即可求N5（－1，5），
综上所述，点N坐标为（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）．
10．（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADP=∠CDP=45°
在△ADP和△CDP中
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA=PC
∵∠PAE=∠E
∴PA=PE
∴PC=PE
（2）解：
在正方形ABCD中，∠ADC=90°
∴∠EDF=90°
由（1）知，△ADP≌△CDP
∴∠DAP=∠DCP
∵∠DAP=∠E
∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E
即∠CPE=∠EDF=90°
11．（1）四边形AFCE为菱形
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE
∵EF垂直平分AC
∴OA=OC
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE为菱形
（2）解：①当P点在AF上时，Q点在CD上，
此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒8cm，运动时间为t秒
∴PC=CF+FP=AF+FP=10t，QA=24﹣8t
∴10t=24﹣8t
∴t=s
②由题意得，四边形APCO是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：
（i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，
AP=CQ，即a=24﹣b，得a+b=24
（ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，
AQ=CP，即24﹣b=a，得a+b=24
（iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，
AP=CQ，即24﹣a=b，得a+b=24
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）
12．（1）；（2）当DE是菱形的对角线时，Q1（0，3），当DE是菱形的边时，Q2（，3），Q3（－，3），Q4（－，－3）；（3）最大值是5，最小值是．
13．(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD
∴∠EAO
=
∠FCO
又∵∠AOE
=∠COF，AO
=
CO
∴△AEO≌△CFO
∴EA
=
FC
∴BE=DF
(2)连接AF、CE
∵
EA
=
FC，EA
∥
FC
∴四边形AFCE为平行四边形
∵EF⊥AC，
∴□AFCE为菱形
∴设AF
=
CF
=
x
在矩形ABCD中，∠D=90°，x2=
42
+
(6-x)2
即
14．(1)(0，4)；(2)D(0，2)，C(1，-1)；(3).
16．【初步运用】d（AB，CD）＝3，d（AD，BC）＝5，d（AD，AB）＝0；【深入探究】（1）CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为：5；（2）d（AB′，CD）＝2或3，
17．问题解决：GF=5；拓展研究：GF=.
18．（1）作的平分线，交于点.
作的垂直平分线，分别交、于点、.
（2）设、相交于点.
∵四边形是菱形，
∴，又∵.
∴是等边三角形.
又∵，
∴，
∴，
∴.
∴在中，由勾股定理，求出.
∴，即菱形的边长为.
19.（1）连接.
∵点关于直线的对称点为点.
∴垂直平分，∴，.
∴.
∴，∴.
又∵在正方形中，有，,
∴
.
∴，∴.
（2）过点作，垂足为.
由（1）知：和.
∴，.
又∵，∴，∴.
又∵，可证.
∴，.
∴.
（3）随着点位置的变化，的长度始终保持不变.
连接.
∵.
∴，∴.
又∵是正方形的对角线.
∴.
∴.
∴.
又.
∴四边形是平行四边形.
∴.