1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理3-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3课件(共24张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理3-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3课件(共24张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 639.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-15 09:47:30 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
1.1
分类加法计数原理
与分步乘法计数原理
六、两个计数原理的综合应用：
应用两个计数原理应注意的问题
(1)分类要做到“__________”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“__________”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
不重不漏
步骤完整
分配问题
(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
变式：用0,1,…,9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数；
(2)无重复数字的三位整数；
(3)小于500的无重复数字的三位数？
组数问题
1、8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
解析：先排放百位从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6=294(个)不同的三位数．
涂色问题
1、用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？
解析：按地图A、B、C、D四个区域依次
涂色，分四步完成：
第一步，涂A区域，有5种选择；
第二步，涂B区域，有4种选择；
第三步，涂C区域，由于它与A、B区域不同，有3种选择；
第四步，涂D区域，由于它与B、C区域不同，有3种选择.
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共有5×4×3×3＝180(种)．
2、用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
解析：给各区域标记号A、B、C、D、E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种.
因此应先分类后分步．
第一类，当B、D涂同色时，有4×3×2×1×2＝48种，
第二类，当B、D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
3、有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?
(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n
①
②
③
④
④
②
③
①
(1)
(2)
3×2
×1
×1
＝6
练习：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解:
按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,
m1
=
3
种,
第二步,
m2
=
2
种,
第三步,
m3
=
1
种,
第四步,
m4
=
1
种,
所以根据乘法原理,
得到不同的涂色方案种数共有
N
=
3
×
2
×1×1
=
6
种。
4×3×2×2
=
48
若用4色,结果又怎样呢？
如图,要给A、B、C、D、E五个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
A
B
C
D
E
4×3×2×1×1
＝24
（1）B、D同色：
（2）B、D不同色：
+
72
＝
×1×2
＝48
4×3×2
种植问题
1、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．
方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6种．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24种，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种，故共有不同种植方法24－6＝18种．
2、如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有( )
A．400种 B．460种
C．480种
D．496种
解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A种相同作物1种，D、A不同作物3种，
∴不同种法有6×5×4×(1＋3)＝480种．
故选C.
3、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如右图)现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.(以数字作答)
(1)②与④同色，则③⑤也同色或③⑥也同色，所以共有 N1=4×3×2×1×(1×1+1×1)=48种；
所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
(2)②与⑤同色，则⑥③或⑥④同色，所以共有 N2=4×3×2×1×(1×1+1×1)=48种；
(3)③⑤且④⑥同色，则共N3=4×3×2×1×1×1=24种
解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求
小结
简单的选择问题
1、某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？
(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？
解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15(种)选法.
(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120(种)选法.
(3)分三类：
高一、高二各一人，共有5×6＝30(种)选法；
高一、高三各一人，共有5×4＝20(种)选法；
高二、高三各一人，共有6×4＝24(种)选法；
由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74(种)选法.
[题后感悟] 使用两个原理解题的本质
1、有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
练习
【错解】 第一步，种植A试验田有4种方法；
第二步，种植B试验田有3种方法；
第三步，种植C试验田有3种方法；
第四步，种植D试验田有2种方法；
由分步乘法计数原理知，共有N＝4×3×3×2＝72种种植方法．
【错因】 若按A、B、C、D的顺序依次种植作物，会导致D试验田的种植数受C试验田的影响，情况复杂．实际上种植C、D两块试验田再作为一步，用分类加法计数原理求解．
【正解】方法一：第一步，种植A试验田有4种方法；
第二步，种植B试验田有3种方法；
第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．
若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．
由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种方法．
第四步，由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．
方法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．
(2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．
综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法.
2、由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数是( )
A．11 B．12
C．30
D．36
解析： 个位数字有6种选法，十位数字有5种选法，由分步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数．
答案： C
3、如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(
)
A．96
B．84
C．60
D．48
解析：方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，
若C地与A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；
若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，
即不同种法总数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84种．
方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4×3＝12种．
共有N＝24＋48＋12＝84种．
答案： B
4、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:由于
75600=24×33×52×7
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
(1)75600的每个约数都可以写成2i×3j×5k×7l的形式，其中0≤i≤4，0≤j≤3，0≤k≤2，0≤l≤1
(2)奇约数中不含有2的因数，因此75600的每个级约数都可以写成3j×5k×7l的形式，
所以奇约数的个数为4×3×2=24个
1.1
分类加法计数原理
与分步乘法计数原理
六、两个计数原理的综合应用：
应用两个计数原理应注意的问题
(1)分类要做到“__________”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“__________”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
不重不漏
步骤完整
分配问题
(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
变式：用0,1,…,9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数；
(2)无重复数字的三位整数；
(3)小于500的无重复数字的三位数？
组数问题
1、8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
解析：先排放百位从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6=294(个)不同的三位数．
涂色问题
1、用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？
解析：按地图A、B、C、D四个区域依次
涂色，分四步完成：
第一步，涂A区域，有5种选择；
第二步，涂B区域，有4种选择；
第三步，涂C区域，由于它与A、B区域不同，有3种选择；
第四步，涂D区域，由于它与B、C区域不同，有3种选择.
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共有5×4×3×3＝180(种)．
2、用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
解析：给各区域标记号A、B、C、D、E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种.
因此应先分类后分步．
第一类，当B、D涂同色时，有4×3×2×1×2＝48种，
第二类，当B、D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
3、有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?
(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n
①
②
③
④
④
②
③
①
(1)
(2)
3×2
×1
×1
＝6
练习：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解:
按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,
m1
=
3
种,
第二步,
m2
=
2
种,
第三步,
m3
=
1
种,
第四步,
m4
=
1
种,
所以根据乘法原理,
得到不同的涂色方案种数共有
N
=
3
×
2
×1×1
=
6
种。
4×3×2×2
=
48
若用4色,结果又怎样呢？
如图,要给A、B、C、D、E五个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
A
B
C
D
E
4×3×2×1×1
＝24
（1）B、D同色：
（2）B、D不同色：
+
72
＝
×1×2
＝48
4×3×2
种植问题
1、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．
方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6种．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24种，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种，故共有不同种植方法24－6＝18种．
2、如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有( )
A．400种 B．460种
C．480种
D．496种
解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A种相同作物1种，D、A不同作物3种，
∴不同种法有6×5×4×(1＋3)＝480种．
故选C.
3、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如右图)现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.(以数字作答)
(1)②与④同色，则③⑤也同色或③⑥也同色，所以共有 N1=4×3×2×1×(1×1+1×1)=48种；
所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
(2)②与⑤同色，则⑥③或⑥④同色，所以共有 N2=4×3×2×1×(1×1+1×1)=48种；
(3)③⑤且④⑥同色，则共N3=4×3×2×1×1×1=24种
解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求
小结
简单的选择问题
1、某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？
(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？
解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15(种)选法.
(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120(种)选法.
(3)分三类：
高一、高二各一人，共有5×6＝30(种)选法；
高一、高三各一人，共有5×4＝20(种)选法；
高二、高三各一人，共有6×4＝24(种)选法；
由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74(种)选法.
[题后感悟] 使用两个原理解题的本质
1、有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
练习
【错解】 第一步，种植A试验田有4种方法；
第二步，种植B试验田有3种方法；
第三步，种植C试验田有3种方法；
第四步，种植D试验田有2种方法；
由分步乘法计数原理知，共有N＝4×3×3×2＝72种种植方法．
【错因】 若按A、B、C、D的顺序依次种植作物，会导致D试验田的种植数受C试验田的影响，情况复杂．实际上种植C、D两块试验田再作为一步，用分类加法计数原理求解．
【正解】方法一：第一步，种植A试验田有4种方法；
第二步，种植B试验田有3种方法；
第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．
若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．
由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种方法．
第四步，由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．
方法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．
(2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．
综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法.
2、由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数是( )
A．11 B．12
C．30
D．36
解析： 个位数字有6种选法，十位数字有5种选法，由分步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数．
答案： C
3、如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(
)
A．96
B．84
C．60
D．48
解析：方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，
若C地与A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；
若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，
即不同种法总数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84种．
方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4×3＝12种．
共有N＝24＋48＋12＝84种．
答案： B
4、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:由于
75600=24×33×52×7
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
(1)75600的每个约数都可以写成2i×3j×5k×7l的形式，其中0≤i≤4，0≤j≤3，0≤k≤2，0≤l≤1
(2)奇约数中不含有2的因数，因此75600的每个级约数都可以写成3j×5k×7l的形式，
所以奇约数的个数为4×3×2=24个