3.2.复数代数形式的四则运算-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件 27张PPT

(共27张PPT)
3.2
复数代数形式的四则运算
1、虚数单位i的引入；
2、复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部
，虚部
.
复数相等
实数：
虚数：
纯虚数：
一、复习回顾
特别地，a+bi=0?
.
a=b=0
3、复数z=a+bi的几何意义
类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
(1)直角坐标系中的点Z(a,b)
问题引入：
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：
交换律：a+b=b+a
ab=ba
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc)
分配律：a(b+c)=ab+ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢?你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢?运算律仍成立吗?
注意到i2=-1，虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！
二、复数加、减法的运算法则：
已知两复数z1=a+bi,
z2=c+di
(a,b,c,d是实数)
即:两个复数相加(减)就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
二、复数加、减法的运算法则：
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
注:(1)复数的减法是加法的逆运算；
(2)易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
(3)复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
例1、计算(1－3i
)+(2+5i)
+(-4+9i)
解:原式=(1+2-4)+(-3+5+9)i
=-1+11i
变式：1、计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
解：
(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i
2、计算：(1)(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=___________
(2)(3-2i)-(2+i)-(________)=1+6i
-2+2i
-9i
我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则,
复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？
设z1=a+bi
z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i
x
O
y
Z1(a,b)
Z
Z2(c,d)
这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量，这就是复数加法的几何意义.
类似地,复数减法:
Z1(a,b)
Z2(c,d)
O
y
x
Z
OZ1-OZ2
这说明两个向量的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量，.这就是复数减法的几何意义.
思考：|z2-z1|表示什么?
表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离
(2)|z－1|
(3)|z+2i|
点A到点(1,0)的距离
点A到点(0,
-2)的距离
例2、已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
练习
1、已知复数z1=-2+i，z2=4-2i，试求z1+z2对应的点关于虚轴对称点的复数。
-2-i
4、如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是___________
1
2、已知x∈R，y为纯虚数，且(2x-1)+i=y-(3-y)i
则x=_______
y=___
4i
三、复数的乘法法则：
说明：(1)两个复数的积仍然是一个复数；
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把i2换成-1，然后实、虚部分别合并.
(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1
,
z2
,z3
∈C,有
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N
有:
zmzn=zm+n,
(zm)n=zmn,
(z1z2)n=z1nz2n.
例3.计算(－2－i
)(3－2i)(－1+3i)
练习：计算
注意
a+bi
与
a-bi
两复数的特点.
思考：设z=a+bi
(a,b∈R
),那么
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数
z=a+bi
的共轭复数记作
共轭复数的性质:
四、共轭复数
共轭复数的几何意义:
在复平面内,一对共轭复数对应的点关于实轴对称。
z=2+i
3.已知复数x2+x-2+(x2-3x+2)i(x∈R)是4-20i的共轭复数，求x的值．
解：因为4-20i的共轭复数是4+20i，根据复数相等的定义，可得
解得
所以
．
例4、已知复数
z=1+i
,求实数a,b
使
a=-2,b=-1;
a=-4,b=2;
定义:
把满足(c+di)(x+yi)
=a+bi
(c+di≠0)
的复数
x+yi
叫做复数
a+bi
除以复数
c+di
的商,
其中a,b,c,d,x,y都是实数,
记为
五、复数的除法法则
注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类比思考,我们可定义复数的除法:
分母实数化
先写成分式形式
化简成代数形式就得结果.
然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)
2.已知复数
且z2+az+b=1+i,求实数a,b.
解:
所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,
从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.
6.在复数集C内，你能将x2+y2分解因式吗？
1.计算:(1+2
i
)2
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i)
-20+15i
-2+2i
-3-i
(x+yi)(x-yi)
【探究】
i
的指数变化规律
你能发现规律吗？有怎样的规律？
例5、求值：
常用结论：