北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明复习讲义（无答案）

教学目标
要求熟悉并掌握第一章三角形及线段、角平分线的性质，并会灵活应用
教学重点
的直角三角形，等腰、等边三角形的性质、线段垂直平分线、角平分线的性质
教学难点
三角形性质与角平分线、垂直平分线的综合应用
教学准备
讲义
教学过程
课前回顾
等腰三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定线段垂直平分线的性质和判定角平分线的性质和判定线段垂直平分线的画图方法、角平分线的画图方法
错题重现
2、(2013初二上期中人民大学附属中学)如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为第一象限内一点，线段OA与x轴正半轴的夹角为30度，点B在坐标轴上，且使得△AOB为等腰三角形，则这样的点B有(
)A．4个
B．5个
C．6个
D．7个4、（2012初一下期中人大附中）在等腰中，，一腰中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为__________
知识详解
一、主要知识点证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。等腰三角形的有关知识点。等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）等边三角形的有关知识点。判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形；
有两个叫是60°的三角形是等边三角形。性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。
4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出
与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法二、重点例题分析例1:
如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=M
A.
例2
如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.例3：
如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,
求证:
①
AC＝AD；
②CF＝DF。
例4
如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90?，（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由（4分）（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？
例5
如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。
例6
证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.2．直角三角形一、主要知识点
1、直角三角形的有关知识。直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.二、典型例题分析
例1
：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等例2：如图，中，，求的长。例3
：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。例4：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？例5
：如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．
3.线段的垂直平分线
4.角平分线一、主要知识点线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。角平分线。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。逆命题、互逆命题的概念，及反证法如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。二、重点例题分析例1：（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝，求∠NMB的大小（2）如果将（1）中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小　（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。
例3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。
例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。
例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF
例7、如图所示，AB>AC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，，求证：BE=CF。
相应练习如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE=
CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。求证：BP=2PQ如图，△ABC中，AB=
AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。
求证：点Q在PR的垂直平分线上。如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。求证：∠B=∠CAF已知：如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E求证：点M为EF的中点
随堂检测
1．（7分）如图18，在中，，CD是AB边上的高，
.
求证：AB=
4BD.2．（7分）如图19，在中，，AC=BC，AD平分交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm.
你能否求出的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点.
现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是
和
，命题的结论是
和
(均填序号).(2)证明你写出的命题.已知：求证：证明：4．（8分）如图21，在中，，AB=AC，的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.求证：.5．（8分）如图22，在中，.（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.6．（8分）如图23，，OM平分，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
A
B
C
N
M
A
B
C
N
M
A
B
C
N
M
A
O
F
E
C
B
M
N
P
Q
E
D
C
B
A
Q
R
P
B
C
A
E
D
F
C
B
A
E
C
M
A
D
F
B
图21
图23
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