教
案
教学基本信息
课题
8.4-1三元一次方程组概念及解法
学科
数学
学段：
初中
年级
初一
教材
书名：义务教育教科书数学七年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2012年10月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
实施者
指导者
课件制作者
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1、了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组。
2、理解用消元法解三元一次方程组时体现的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化归思想。
重点：应用消元法解三元一次方程组
难点：选择恰当的方法消元，解方程组
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.我们知道有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决.实际上，有不少问题含有更多未知数.
我们看下面的问题
近期，我们初一1班进行了《云端相聚》的线上班会。会上，小晨同学分享了自己的一日居家学习生活的时间安排表，如下
项目时间（小时）自主学习体育锻炼家务劳动…
她说表格中自主学习、体育锻炼和家务劳动的总时间为5小时，其中家务劳动比体育锻炼多安排1小时，2倍的自主学习时间与体育锻炼的时间的和恰好等于家务劳动时间加上三项的总时间，同学们根据这些信息你能知道表中各项时间的安排了吗？有的同学说现在有3个未知的量，那么就可以设表中她当天自主学习、体育锻炼和家务劳动的时间分别为x小时，y小时，z小时，
这就构成了方程组
实际生活中涉及多个未知数的问题是普遍存在的，因而求解多元方程组问题是我们继续讨论的课题，下面我们再来看一个问题
引例从学生生活入手，引出三元一次方程和三元一次方程组。
新课
问题2：甲地到乙地全程是3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡.如果保持上坡每小时走3千米,平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需51分钟,从乙地到甲地需53.4分钟，从甲地到乙地时,上坡、平路、下坡的路程各是多少？
设从甲地到乙地时,上坡、平路、下坡的路程分别设为x
km，y
km，z
km
由条件甲地到乙地全程是3.3千米，可以得到方程
甲地到乙地总时间为小时，进而列出方程
由从乙地到甲地需53.4min，可以得到方程
这个问题的解必须同时满足上述三个方程，因此我们把上述三个方程合在一起写。用大括号连接，表示xyz三个未知数同时满足三个方程，这就构成了方程组
把方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有3个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
那么怎样解三元一次方程组呢？我们就以第一个方程组为例，大家先自己试一试
有困难的同学可以思考，前面我们是如何解二元一次方程组的？
利用这样的解题思路和方法，我们是否会求解三元一次方程组呢？那么三元一次方程组与二元一次方程组的不同之处是什么？显然未知数多了一个，方程多了一个，更复杂了。解方程组就必须消元，那么怎么对三元一次方程组进行消元，消元后得到什么？我们来看看一些同学的做法
解法一：有的同学观察方程组的3个方程，发现方程①③均含有3个未知数，
而方程②比较简单只含有2个未知数，仿照前面学过的代入法，他将方程②变形得z=1+y，记为方程④，用只含y的代数式表示z，消去未知数z，
将④代入方程①中，得x+y+1+y=5
进而得到x+2y=4把它记为方程⑤
再将④代入方程③得，
2x+y=1+y+5,解的x=3记为方程⑥
方程⑤、⑥组成方程组
解这个方程组得
此时三元一次方程组解完了吗？对了，还有消去的未知数z未解呢
把代入方程②得，
所以这个三元一次方程组的解为
解法二：有的同学换了一个角度思考，他说方程②比较简单只含有2个未知数z，y，那么将方程①③中的未知数x消去，就可以得到关于z，y的二元一次方程组也可以解决问题。同学们自己试一试。
观察方程③中x的系数为2，方程①中x的系数为1，将方程①乘以2得2x+2y+2z=10,
记为方程④，④减③得y+3z=5,记为方程⑤，此时方程②和⑤就组成了关于z，y的二元一次方程组
解这个方程组得
把代入方程①得
所以这个三元一次方程组的解为
解法三：方程①、②中y的系数互为相反数，由①+②消去未知数y得，x+2z=6，
同样方程②③中y的系数也互为相反数由②+③消去未知数y得，x=3，
方程④、⑤组成关于x，z的二元一次方程组，解这个方程组得
将z=1.5代入②得，y=0.5
所以也可以求出这个三元一次方程组的解
从上面三元一次方程组的解法可以看出，解三元一次方程组的基本思路是通过“代入”或者“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路是一样的。
类比二元一次方程：类比方程组的形式和解法，按照“实际问题——建立模型“的模式展开，给出三元一次方程组的概念。
类比二元一次方程组的解法——代入消元法和加减消元法，学生尝试用这两种方法解三元一次方程组。
让学生自主进行探究、讨论，自己观察、分析，然后通过类比得出三元一次方程组的解法思路。
通过一题多解，学生灵活运用代入法或加减法消元，有助于我们迅速求解方程组的解。
例题
解三元一次方程组
（1）解：将③代入①得，y+5z=20
将③代入②得，y+12z=41
方程④、⑤组成方程组，解之得，y=5，z=3
将z=3
代入③比较简单，得x=14
此时就得到了这个三元一次方程组的解了x=14,y=5,z=3。我们可将三个未知数的值代入方程组检验一下，看看是否正确
解法二：②－①得，2x-z=25
方程③、④组成方程组x=4z+2,2x-z=25
解这个方程组的x=14，z=3
将x=14代入②得，y=5
此时也得到了这个三元一次方程组的解。
（2）解：将方程②×3得，记为方程④，由④+③消去未知数y得，记为方程⑤，方程①⑤组成关于x，z的二元一次方程组，解这个方程组得，得
把代入方程②得
所以
@@因此这个三元一次方程组的解为
练习安排学生自主板演，进行多种解法的展示过程。
总结
当三元一次方程组中某个方程缺少一个未知数时，由另两个方程消去与前述方程中所缺未知数相同的未知数，从而组成二元一次方程组求解，较为简单。
小结一下，本节课我们主要学习了三元一次方程组及其解法。相信同学们在“三元”化为“二元”的基本思想指导下，对通过代入法或加减法消元从而解方程组的基本思想有了进一步体会.
总结三元一次方程组的解法的基本思想
作业
1、解下列三元一次方程组
2、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的
等于丙数的
.求这三个数.
巩固方法，积累提升《8.4-1三元一次方程组概念及解法》学习任务单
【学习目标】
本节课主要了解三元一次方程组的概念及解法。在引入三元一次方程组时，类比二元一次方程组（形式和解法），按照“实际问题—建立模型（三元一次方程组）—解释、拓展与应用”的模式展开，进一步体会“模型”思想．通过典型例题的讲解，学生尝试用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”思想。
【课上任务】
项目
时间（小时）
自主学习
体育锻炼
家务劳动
…
1．近期，我们初一1班进行了《云端相聚》的线上班会。会上，小晨同学分享了自己的一日居家学习生活的时间安排表，如右图
。表格中自主学习、体育锻炼和家务劳动的总时间为5小时，其中家务劳动比体育锻炼多安排1小时，2倍的自主学习时间与体育锻炼的时间的和恰好等于家务劳动时间加上三项的总时间，同学们根据这些信息你能知道表中各项时间的安排了吗？
2．甲地到乙地全程是3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡.如果保持上坡每小时走3千米,平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需51分钟,从乙地到甲地需53.4分钟，从甲地到乙地时,上坡、平路、下坡的路程各是多少？
3．
我们列出的这两个方程组还是二元一次方程组吗？
4．
怎样解三元一次方程组呢？我们就以列出的第一个方程组为例，解三元一次方程组
5.
解三元一次方程组的基本思路是什么？
6.完成练习
解三元一次方程组
7.
小结一下，本节课我们主要学习了三元一次方程组及其解法
【学习疑问】
8．哪个环节没弄清楚？
9．
有什么困惑？
10．
您想向同伴提出什么问题？
11．
您想向老师提出什么问题？
【课后作业】
1、解下列三元一次方程组
2、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的
等于丙数的
.求这三个数.
【课后作业参考答案】
1、
2、
