6.1.1-6.1.2 向量的概念与几何表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

向量的概念与几何表示练习
一、选择题
在下列说法中正确的有(????)
①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量?
④平面上的数轴都是向量
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
下列结论中正确的为(? ? ? )
A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量AB与向量BA的长度相等
C. 对任意向量a，a|a|是一个单位向量
D. 零向量没有方向
有关向量a和向量b，下列四个说法中：
①若|a|=0，则a=0；
②若|a|=|b|，则a=b或a=?b；
③若a//b，则|a|=|b|；
④若a=0，则?a=0．
其中的正确有(? ? ? )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
下列结论一定正确的是(????)
A. a?b=a+?b
B. a+b≥a?b
C. 若a//b，则存在实数λ使得b=λa
D. a?b=a?b
设a，b为非零向量，且满足|a?b|=|a|+|b|，则a与b的关系是(????)
A. 既不共线也不垂直 B. 垂直
C. 同向 D. 反向
下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(????)
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设O是等边三角形ABC的中心，则向量AO，OB，OC是?(???)
A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量
C. 平行向量 D. 相等向量
下列说法正确的是(????)
A. 若a//b，b//c，则a//c
B. 在△ABC中，必有AB+BC+CA=0
C. 若AB+BC+CA=0，则A，B，C?定为一个三角形的三个顶点
D. 若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b|
设a→,b→为单位向量，且，则a→+2b→=(??? )
A. 3 B. 7 C. 3 D. 7
已知向量a=(t,1)，b=(2,1).若a⊥b，则|a|的值为(????)
A. 5 B. 2 C. 52 D. 22
已知向量a与b的夹角为π3，且|a|=1，|2a+b|=7，则b等于(??? )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 32
已知线段上A，B，C三点满足BC=2AB，则这三点在线段上的位置关系是(????)
A. B.
C. D.
二、填空题
已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a?b|，则|a+b||a?b|=??????????．
已知向量a，b满足|a|=3，|b|=1，若存在不同的实数λ1，λ2(λ1λ2≠0)，使得ci=λia+3λib，且(ci?a)?(ci?b)=0(i=1,2)，则|c1?c2|的取值范围是_______．
已知|a|=6，b与a的方向相反，且|b|=3，a=mb，则实数m= ______ ．
已知两点A(3,?4)和B(?9,2)，在直线AB上存在一点P，使|AP|=13|AB|，那么点P的坐标为________．
在△ABC中，cosC=35，BC=1，AC=5，若D是AB的中点，则CD=??????????．
三、解答题
某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求AD的模．
如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|=5．
(1)画出所有满足条件的向量AC；
(2)求BC的最大值与最小值．
已知a≠0，b≠0，当|a+tb|(t∈R)取最小值时，
(1)求t的值；
(2)若a、b共线且同向，求证：b⊥(a+tb).
如图，在三角形ABC中，BD=2DC，E是AD的中点，设AB=a，AC=b。
(1)试用a→，b表示AD。
(2)若|a|=1，|b|=1，且a→与b的夹角为60°，求|BE|。
答案和解析
【答案】B
【解答】
解：既有大小，又有方向的量统称为向量，
结合向量的定义可知仅有②④错误，
结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，
2.【答案】B
【解答】解：A选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确;
B选项，向量AB与向量BA是相反向量，方向相反，长度相等，故B正确;
C选项，当a=0时，a|a|无意义，故C不正确;
D选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D不正确．
3.【答案】B
【解答】
解：①若|a|=0，则a=0，故①正确；
②若|a|=|b|，则a=b或a=?b是错误的，因为向量方向可任意，故②错误；
③若a//b，则向量的长度不一定相等，故③错误；
④若a=0，则?a=0，故④正确．
故正确的有①④，共2个．
4.【答案】A
【解答】
解：A，由向量的运算法则可知，正确；
B，当a,b反向时，|a+b|?|a?b|，错误；
C，当a是零向量，b是非零向量时，不存在实数λ使得b=λa，错误；
D，当a,b不共线时，|a?b|>|a|?|b|，错误．
5.【答案】D
【解答】解：设a，b的起点为O，终点分别为A，B，
则a?b=BA，
由|a?b|=|a|+|b|，
得O，A，B三点共线，且O在A，B之间．
所以OA与OB反向．
6.【答案】B
【解答】
解：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；
平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；
当a=?b时，也有|a|=|b|，③不正确；
只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．
综上可知只有①正确，
7.【答案】B
【解答】
解：因为O是等边三角形△ABC的中心，
所以O是等边三角形ABC外接圆的圆心，
所以|AO|=|OB|=|OC|=R(R为△ABC外接圆的半径)，
所以向量AO,OB,CO是模相等的向量，
8.【答案】B
【解答】
解：对于A，当a、b、c均为非零向量，若a//b，b//c，则a//c，故A错误；
对于B，△ABC中，AB+BC+CA=AC+CA=0，故B正确；
对于C，当AB→+BC→+CA→=0→时，A，B，C不一定是一个三角形的三个顶点，如A、B、C三点共线时，故C错误；
对于D，若a，b均为非零向量，则|?a?+?b?|?≤?|?a?|+|?b?|，故D错误．
9.【答案】B
【解答】
解：a,b为单位向量，且|a?b|=1，
可得a2?2a?b+b2=1，可得a?b=12，
|a+2b|=a2+4a?b+4b2=1+2+4=7．
10.【答案】C
【解析】解：向量a=(t,1)，b=(2,1)，
若a⊥b，则a?b=0，
即2t+1=0，解得t=?12；
所以a=(?12,1)，
所以|a|=(?12)2+12=52．
11.【答案】C
【解答】
解：因为向量a与b的夹角为π3，|a|=1，|2a+b|=7，
所以2a+b2=7，
即4a2+4a·b+b2=7，
所以4+4×1·b×12+b2=7，即b2+2b?3=0，
解得b=?3(舍去)或b=1，
12.【答案】A
【解答】
解：由题意可知BC和AB共线同向，且BC=2AB．
13.【答案】3
【解答】
解：如图，设OA=a，OB=b，
则OC=OA+OB=a+b，BA=OA?OB=a?b．
∵|a|=|b|=|a?b|，
∴BA=OA=OB．
∴△OAB为正三角形，设其边长为1，
则|a?b|=|BA|=1，|a+b|=2×32=3．
∴|a+b||a?b|=31=3．
14.【答案】[2,22)∪[22，23).
【解答】
解：(c?a)?(c?b)=[(λ?1)a+3λb]·[(3λ?1)b+λa]
=9λ(λ?1)+3λ(3λ?1)+[(λ?1)(3λ?1)+3λ2]?3cosθ
=(18λ2?12λ)+(18λ2?12λ+3)cosθ=0，
λ≠0?cosθ≠0∴Δ>0?cosθ≠?1，
λ1+λ2=12+12cosθ18+18cosθ=23，λ1λ2=3cosθ18+18cosθ=cosθ6+6cosθ
∴|c1?c2|2=(λ1?λ2)2(a+3b)2=(λ1?λ2)2(18+18cosθ)
=(49?2cosθ3+3cosθ)(18+18cosθ)=(8?4cosθ)∈[4,8)∪(8,12)
∴|c1?c2|∈[2,22)∪[22，23).
故答案为[2,22)∪[22，23).
15.【答案】?2
【解答】
解：∵|a||b|=63=2，∴|a|=2|b|，
又b与a的方向相反，
∴a=?2b，∴m=?2．
故答案为：?2．
16.【答案】(?1,?2)或(7,?6)
【解答】
设点p的坐标为(x,y)，由题知AP=13AB，分情况计算，
①AP=13AB，
(x?3,y+4)=13(?12,6)，
所以，x?3=?4，y+4=2，解得x=?1，y=?2，此时p(?1,?2)．
②AP=?13AB，
(x?3,y+4)=?13(?12,6)，
所以，x?3=4，y+4=?2，解得x=?1，y=?2，此时p(7,?6)．
综上所述，点p为(?1,?2)或(7,?6)
17.【答案】22
【解答】
解：在△ABC中，D是AB的中点，
所以CD=12(CA+CB)，
故|CD|2=14(CA+CB)2=14(CA2+2CA·CB+CB2)
=14×(5?+2×5×1×35+1?)
=14×32=8，
所以CD=22．
故答案为22．
18.【答案】解：(1)作出向量AB，BC，CD，
如图所示：．
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，
其中∠BDC=90°，BC=102米，CD=10米，
所以BD=10米．
△ABD是直角三角形，其中∠ABD=90°，AB=5米，BD=10米，
所以AD=52+102=55(米)．
所以|AD|=55米．
19.【答案】解：(1)画出所有的向量AC，即ACi(i=1,2,…,8)，如图所示．如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
当点C位于点C1或C2时，|BC|取得最小值12+22=5；
当点C位于点C5或C6时，|BC|取得最大值42+52=41．
∴|BC|的最大值为41，最小值为5．
20.【答案】解：(1)令m=|a+tb|，θ为a与b的夹角，则
m2=a2+2a·tb+t2?b2
? ? ? =t2b2+2tabcosθ+a2
? ? ? =b2t+abcosθ2+a2sinθ．
所以当t=?abcosθ时，|a+tb|有最小值．
(2)证明：因为a，b共线且同向，故cosθ=1.所以t=?ab，所以b·(a+tb)=a·b+t?b2=ab?ab=0，所以b?⊥(a+tb).
21.【答案】解：(1)AD=AB+23BC=AB+23AC?AB=13a+23b；
(2)BE=AE?AB=12AD?AB=12×13a+23b?a=?56a+13b，
∴BE=?16(5a?2b)，?
∵|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60?，
∴a·b=12，
∴|5a?2b|=(5a?2b)2=25a2?20a·b+4b2=19，
即|BE|=196．