4.2等差数列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册同步讲义（Word含答案）

高一数学人教版（2019）选择性必修第二册
【4.2等差数列】
【学习目标】熟练掌握等差数列的定理、性质及其应用
【知识详单】
1.等差数列的定义
(1)条件:①从第2项起.②每项与它的前一项的差都等于同一个常数.
(2)结论:这个数列是等差数列.
(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的公差，常用d表示
2.等差中项
(1)前提:三个数a, A, b成等差数列.
(2)结论: A叫做a, b的等差中项.
(3)满足的关系式:2A=a+b.
3.等差数列的性质及应用
1.等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系
false= false+(n-m)d (m, n∈N*).
(2)多项关系
若m+n=s+t (m, n, s, t∈N*),
则false+false=false.
特别地，若m+n=2p(m, n, p∈N*),则false+false=false.
【典例精析】
例1.已知单调递增数列 {an} 的前n项和 Sn 满足 2Sn=an(an+1)(n∈N?) ，且 Sn>0 ，记数列 {2n?an} 的前n项和为 Tn ，则使得 Tn>2020 成立的n的最小值为（??? ）
A.?7??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
【答案】 B
【解析】由题意， 2Sn=an(an+1)(n∈N?) ，
当 n≥2 时， 2Sn?1=an?1(an?1+1) ，
所以 2an=2Sn?2Sn?1=an(an+1)?an?1(an?1+1) ，
整理得 (an+an?1)(an?an?1?1)=0 ，
因为数列 {an} 单调递增且 Sn>0 ，所以 an+an?1≠0,an?an?1?1=0 ，即 an=an?1+1 ，
当 n=1 时， 2S1=a1(a1+1) ，所以 a1=1 ，
所以数列 {an} 是以 1 为首项，公差为1的等差数列，
所以 an=n ，
所以 Tn=1?21+2?22+3?23+???+n?2n ，
2Tn=1?22+2?23+3?24+???+(n?1)?2n+n?2n+1 ，
所以 ?Tn=2+22+23+24+???+2n?n?2n+1=2(1?2n)1?2?n?2n+1=(1?n)?2n+1?2 ，
所以 Tn=(n?1)?2n+1+2 ，
所以 T7=6×28+2=1538 ， T8=7×29+2=3586 ，
所以 Tn>2020 成立的n的最小值为8，
故答案为：B.
例2.在① 3a2+b2+b4=0 ，② a4=b4 ，③ S3=?27 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.设等差数列 {an} 的前n项和为 Sn ，数列 {bn} 的前n项和为 Tn ，? ▲? ， a5=b1 ， 4Tn=3bn?1 （ n∈N? ），是否存在实数 λ ，对任意 n∈N? 都有 λ≤Sn ？若存在，求实数 λ 的取值范围；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】 解：设等差数列 {an} 的公差为d，
当 n=1 时， 4T1=3b1?1 ，
得 b1=?1 ，
从而 a5=?1 ，
当 n≥2 时， 4bn=4Tn?4Tn?1=(3bn?1)?(3bn?1?1)=3bn?3bn?1 ，
得 bn=?3bn?1 ，
所以数列 {bn} 是首项为 ?1 ，公比为 ?3 的等比数列，
所以 bn=?(?3)n?1 ，
由对任意 n∈N? ，都有 λ≤Sn ，
可知等差数列 {an} 的前n项和 Sn 存在最小值，
假设 n=k 时， Sn 取最小值，所以 {Sk?1≥SkSk≤Sk+1?{ak≤0ak+1≥0 ；
⑴若补充条件是① 3a2+b2+b4=0 ，
因为 b2=3 ， b4=27 ，
从而 a2=?13(b2+b4)=?10 ，
由 a5=a2+3d 得 d=3 ，
所以 an=a1+(n?1)d=a2+(n?2)d=?10+3(n?2)=3n?16 ，
由等差数列 {an} 的前n项和 Sn 存在最小值，
又 k∈N? ，所以 k=5 ，所以 λ≤S5=?35 ，故实数 λ 的取值范围为 (?∞,?35] .
⑵若补充条件是② a4=b4 ，
由 b4=27 ，即 a4=27 ，又 a5=b1=?1 ，
所以 d=a5?a4=?1?27=?28 ；
所以 an=a1+(n?1)d=a5+(n?5)d=?1?28(n?5)=?28n+139 ，
由等差数列 {an} 的前n项和 Sn 存在最小值，
则 {?28k+139≤0?28(k+1)+139≥0 ，得 {k≥13928k≤11128 ，
所以 k∈? ，
所以不存在k，使得 Sn 取最小值，
故实数 λ 不存在.
⑶若补充条件是③ S3=?27 ，
由 S3=a1+a2+a3=3a2=?27 ，
得 a2=?9 ，
又 a5=b1=?1=a2+3d ，
所以 d=a5?a23=83 ，
所以 an=a1+(n?1)d=a2+(n?2)d=?9+83(n?2)=83n?433 ，
由等差数列 {an} 的前n项和 Sn 存在最小值，
则 {83k?433≤083(k+1)?433≥0 ，
得 358≤k≤438 ，
又 k∈N? ，所以 k=5 ，
所以存在 k=5 ，使得 Sn 取最小值，
所以 λ≤S5=?953 ，
故实数 λ 的取值范围为 (?∞,?953]

【拓展练习】
1.“嫦娥”奔月，举国欢庆．据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是(?? )
A.?10 min???????????????????????????????B.?13 min???????????????????????????????C.?15 min???????????????????????????????D.?20 min
2.在-20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为（ ??）
A.?200???????????????????????????????????????B.?100???????????????????????????????????????C.?90???????????????????????????????????????D.?70
3.如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 n(n≥2,n∈N?) 个点，相应的图案中点的总数记为 an ，则 a2+a3+a4+…+an 等于（??? ）
A.?3n22?????????????????????????????????B.?n(n+1)2?????????????????????????????????C.?3n(n?1)2?????????????????????????????????D.?n(n?1)2
4.若数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2n2?3n(n∈N?) ，则 a1+a7 等于（??? ）
A.?11?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?17?????????????????????????????????????????D.?22
5.已知数列 {an} 为等差数列且a5=2，则其前9项和S9=________.
6.如图甲是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽.它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形 OA1A2 是等腰三角形，且 OA1=A1A2=A2A3=A3A4=?=A7A8=1 ，它可以形成近似的等角螺线，记 OA1 、 OA2 、 OA3 、 ? 、 OA8 的长度组成数列 {an}(n∈N?,1≤n≤8) ，且 bn=1an+an+1 则 an= ________ (n∈N?,1≤n≤8) ，数列 {bn} 的前 7 项和为________.
【参考答案】
1.【答案】 C
【解析】根据题意分析可以知道，这是一个首项为2，公差为2的等差数列，即 n×2+n(n?1)2×2=240 ，解得 n=15 ，
故答案为：C.
2.【答案】 B
【解析】因为在-20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，所以根据等差数列前 n 项和公式，这10个数的和为 S10=10×(?20+40)2=100 ，
故答案为：B.
3.【答案】 C
【解析】由题图可知， a2=3 ， a3=6 ， a4=9 ， a5=12 ，依此类推， n 每增加 1 ，图案中的点数增加 3 ，所以相应图案中的点数构成首项为 a2=3 ，公差为 3 的等差数列，
∴an=3+(n?2)×3=3n?3(n≥2,n∈N?) ，
∴a2+a3+a4+???+an=(n?1)(3+3n?3)2=3n(n?1)2 。
故答案为：C．
4.【答案】 D
【解析】由 Sn=2n2?3n(n∈N?) 可知，数列 {an} 为等差数列，
所以 S7=7×(a1+a7)2=2×72?3×7 ，解得 a1+a7=22 ，
故答案为：D．
5.【答案】 18
【解析】因为数列 {an} 为等差数列，所以 S9=9(a1+a9)2=92×2a5=9a5=18 ，
故答案为：18
6.【答案】 n；22?1
【解析】 △OAnAn+1 是以 ∠OAnAn+1 为直角的直角三角形，由勾股定理可得 an+12=an2+1 ，
所以，数列 {an}(n∈N?,1≤n≤8) 为等差数列，且首项为 a12=1 ，公差为 d=1 ，
∴an2=1+(n?1)d=n ， ∵an>0 ，所以， an=n .
则 bn=1an+an+1=1n+n+1=n?n+1(n+n+1)(n?n+1)=?n+n+1 ，
因此，数列 {bn} 的前 7 项和为 S7=(?1+2)+(?2+3)+?+(?7+8)=22?1 .
故答案为： n ； 22?1 .