4.1数列的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册同步讲义（Word含答案）

高一数学人教版（2019）选择性必修第二册
【4.1数列的概念】
【学习目标】了解函数与数列、前几项和、相关性质的概念
【知识详单】
1.函数与数列的关系
数列{a.}是从正整数false (或它的有限子集{1, 2, .. n})到实数集R的函数，自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项a记为false=f(n).
2.数列的前n项和
数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{false}的前n项和.记作false即false=false+false+...+false。
3.数列及其相关概念
(1)定义:按确定的顺序排列的-列数叫做数列.
(2)项:数列中的每一个数_叫做这个数列的项.
(3)形式:false, ..,false.. .简记为{false},其中false,是数列的第n项,第1项也叫做首项.
【典例精析】
例1.已知 F(x)=f(x+12)?1 是 R 上的奇函数， an=f(0)+f(1n)+f(2n)+?+f(n?1n)+f(1)(n∈N?) ，则数列 {an} 的通项公式为（??? ）
A.?an=n??????????????????????????B.?an=2n??????????????????????????C.?an=n+1???????????????????????D.?an=n2?2n+3
【答案】 C
【解析】由题已知 F(x)=f(x+12)?1 是 R 上的奇函数，
故 F(?x)=?F(x) ，
代入得： f(12?x)+f(12+x)=2(x∈R) ，
∴函数 f(x) 关于点 (12，1) 对称，
令 t=12?x ，
则 12+x=1?t ，
得到 f(t)+f(1?t)=2 ，
∵ an=f(0)+f(1n)+?+f(n?1n)+f(1) ，
an=f(1)+f(n?1n)+?+f(1n)+f(0) ，
倒序相加可得 2an=2(n+1) ，
即 an=n+1 ，
故答案为：C．
例2.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足： Sn+2an=6?6×(23)n （ n∈N? ），则数列 {an} 中最大项等于________.
【答案】 89
【解析】因为 Sn+2an=6?6×(23)n ，
得 n?2 时， Sn?1+2an?1=6?6×(23)n?1 ，
两式相减得: 3an?2an?1=2×(23)n?1 ，即： (32)nan?(32)n?1an?1=1 ，
令 bn=(32)nan ，又∵ a1=23 ，
∴数列 {bn} 是首项 b1=32×23=1 ，公差为1的等差数列，
则 bn=n ，所以， an=n(23)n ，
∴an+1?an=(n+1)(23)n+1?n(23)n=2?n3(23)n ，
所以 a1a4>?>an ，
故数列 {an} 中 a2=a3=89 且最大，
故答案为: 89 .
【拓展练习】
1.已知数列 {an} 满足： a1=0 ， an+1=ln(ean+1)?an(n∈N?) ，前 n 项和为 Sn （参考数据： ln2≈0.693 ， ln3≈1.099 ，则下列选项错误的是（??? ）.
A.?{a2n?1} 是单调递增数列， {a2n} 是单调递减数列??B.?an+an+1≤ln3
C.?S2020<670???????????????????????????????????????????????????????D.?a2n?1≤a2n
2.已知数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1=an+n+1 （ n∈N? ），则 1a2+1a3+???+1a2020= （??? ）
A.?20191010??????????????????????????????????B.?10091010??????????????????????????????????C.?40402021??????????????????????????????????D.?20192021
3.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的 1,?3,?6,?10,?...?, 由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的 1,?4,?9,?16,?...?, 这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ??）
A.?189????????????????????????????????????B.?1024????????????????????????????????????C.?1225????????????????????????????????????D.?1378
4.已知数列 {an} 中，其前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn=2?an ，数列 {an2} 的前 n 项和为 Tn ，若 Sn2?λ(?1)nTn>0 对 n∈N? 恒成立，则实数 λ 的取值范围是（??? ）
A.?(3,+∞)??????????????????????????????B.?(?1,3)??????????????????????????????C.?(3,95)??????????????????????????????D.?(?1,95)
5.已知数列 {an} 的通项公式为 an=n?32n?17 ，前 n 项和为 Sn ，则 Sn 取得最小值时 n 的值为________.
6.已知数列 {an} 满足 a1=20 ， an+1?an=2n ，则通项 an= ________.
【参考答案】
1.【答案】 C
【解析】∵ an+1=ln(ean+1)?an(n∈N?) ， a1=0 ，
∴ a2=ln(e0+1)?0=ln2 ， a3=ln3?ln2=ln32 ， a4=ln52?ln32=ln53 ，
设 ean=bn ， bn>0 ， bn+1=ean+1=eln(bn+1)?an=bn+1ean=bn+1bn ，则 bn+2=bn+1+1bn+1=2bn+1bn+1 ，
令 g(x)=2x+1x+1 ，则 g′(x)=1(x+1)2>0 ，∴ g(x) 单调递增，
将 (bn?2,bn) ， (bn,bn+2) 看作是函数 y=g(x) 图象上两点，则 bn+2?bnbn?bn?2>0 ，
∴数列 {b2n?1} ， {b2n} 都是单调数列，
b1=ea1=1 ，同理 b2=2 ， b3=32 ， b4=53 ，即 b1b4 ，
∴ {b2n?1} 单调递增， {b2n} 单调递减，而数列 {an} 与 {bn} 的单调性一致，
∴ {a2n?1} 是单调递增数列， {a2n} 是单调递减数列，A符合题意；
由 ean=bn 得 an=lnbn ， bn+1=bn+1bn
要证 an+an+1=lnbn+lnbn+1=ln(bnbn+1)≤ln3 ，即证 bnbn+1≤3 ，即 bn+1≤3 ，即证 bn≤2 ，
也即要证 bn?1+1bn?1≤2 ，等价于 bn?1≥1 ，
显然 n=2 时， b1=1 ， n≥3 时， bn?1=bn?2+1bn?2>1 ，故 bn?1≥1 成立，
∴不等式 an+an+1≤ln3 成立．B符合题意；
欲证 an+an+1+an+2≥ln3 ，只需证 lnbn+lnbn+1+lnbn+2≥ln3 ，即 ln(bnbn+1bn+2)≥ln3
即 bnbn+1bn+2≥3 ?bn?bn+1bn?2bn+1bn+1=2bn+1≥3?bn≥1 ，显然成立，
故 an+an+1+an+2≥ln3 >1 ，所以 S2020>S1998>19983×1=666 ，
C选项错误；
欲证 a2n?1因为 b1=1<5+12 ，若 b2n?1<5+12 ，则 b2n+1=2b2n?1+1b2n?1+1=2?1b2n?1+1<2?15+12+1=5+12 ；
又因为 b2=2>5+12 ，若 b2n>5+12 ，则 b2n+2=2b2n+1b2n+1=2?1bn+1>2?15+12+1=5+12 ，
由数学归纳法有 b2n?1<5+12D选项正确。
故答案为：C
2.【答案】 D
【解析】解：数列 {an} 满足 a1=1 ， an+1=an+n+1 （ n∈N? ），
所以 an?an?1=n ， an?1?an?2=n?1 ，…， a2?a1=2 ，
所以利用叠加法： an?a1=2+3+???+n ，
解得 an=1+2+3+???+n=n(n+1)2 （首项符合通项），
所以 ，
故 1a1+1a2+1a3+???+1a2020=2(1?12+12?13+???+12020?12021)
=2×(1?12021)=40402021 ，
所以： 1a2+1a3+???+1a2020=40402021?1=20192021 .
故答案为：D.
3.【答案】 C
【解析】三角形数的通项公式是 an=(n+1)n2 ，正方形数的通项公式是 an=n2 ，所以两个通项都满足的是1225，三角形数是n=49，正方形数是n=35，
故答案为：C。
4.【答案】 D
【解析】当 n=1 时， S1=2?a1 ，得 a1=1 ；
当 n≥2 时， Sn=2?an ， Sn?1=2?an?1 ，两式相减得 anan?1=12 ，
所以数列 {an} 是以1为首项， 12 为公比的等比数列.因为 anan?1=12 ，所以 an2an?12=14 .
又 a12=1 ，所以 {an2} 是以1为首项， 14 为公比的等比数列，
所以 Sn=1?(12)n1?12=2[1?(12)n] ， Tn=1?(14)n1?14=43[1?(14)n] ，
由 Sn2?λ(?1)nTn>0 ，得 4[1?(12)n]2?λ(?1)n×43[1?(14)n]>0 ，
所以 3[1?(12)n]2?λ(?1)n[1?(12)2n]>0 ，
所以 3[1?(12)n]2?λ(?1)n[1?(12)n][1+(12)n]>0 .
又 n∈N? ，所以 1?(12)n>0 ，所以 3[1?(12)n]?λ(?1)n[1+(12)n]>0 ，
即 3(2n?1)?λ(?1)n(2n+1)>0 对 n∈N? 恒成立，
当 n 为偶数时， 3(2n?1)?λ(2n+1)>0 ，所以 λ<3(2n?1)2n+1=3(2n+1)?62n+1=3?62n+1 ，
令 bn=3?62n+1 ，则数列 {bn} 是递增数列，所以 λ当 n 为奇数时， 3(2n?1)+λ(2n+1)>0 ，所以 ?λ<3(2n?1)2n+1=3(2n+1)?62n+1=3?62n+1 ，
所以 ?λ?1 .
综上，实数 λ 的取值范围是 (?1,95) ，
故答案为：D.
5.【答案】 8
【解析】令 an=n?32n?17≥0 ，解得 n≤3 或 n≥172 ，
∴ 当 n≤3 时， an≥0 ， Sn 单调递增，
当 4≤n≤7 时， an<0 ， Sn 单调递减，
当 n≥8 时， an>0 ， Sn 单调递增，
所以 Sn 取得最小值时 n 的值为8.
故答案为：8.
6.【答案】 n2?n+20
【解析】由题意
an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+?+(an?an?1)=20+2×1+2×2+?+2(n?1)=20+(n?1)?(2+2n?2)2=n2?n+20 ．
故答案为： n2?n+20 ．