2020-2021学年湖南省娄底市八年级（下）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年湖南省娄底市八年级（下）第一次月考数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 443.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-15 05:59:29 | ||
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文档简介
2020-2021学年湖南省娄底市八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．2或6 D．2或4
2．（3分）在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（ ）
A．2 B． C． D．8
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE＝3，则AB等于（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
4．（3分）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
5．（3分）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA
6．（3分）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25
7．（3分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A＝∠2 B．∠1＝∠2
C．BC＝DE D．∠A与∠D互为余角
8．（3分）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（ ）
A．360° B．290° C．270° D．250°
9．（3分）如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）
A．DE＝DC B．AD＝DB C．AD＝BC D．BC＝AE
11．（3分）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．5
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②；③AB+CD＝AD；④M到AD的距离等于BC的；⑤M为BC的中点；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若一个多边形的每一个内角都等于156°，则这个多边形是 边形．
14．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是 三角形．
15．（3分）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为 ．
16．（3分）在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，则四边形ABCD的周长为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，直线m垂直平分AC，点P为直线m上的动点，则PB+PC的最小值是 ．
18．（3分）如图，△A1OM是腰长为1的等腰直角三角形，以A1M为一边，作A1A2⊥A1M，且A1A2＝1，连接A2M，再以A2M为一边，作A2A3⊥A2M，且A2A3＝1，则A1M＝ ，照此规律操作下去…则AnM＝ ．
三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数．
20．（6分）如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，将△ABC沿AE折叠使点C恰好落在AB边上的点F处．求BE的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
24．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
六、综合题（每小题10分，每小题10分，共20分）
25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D．BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交（交点不是AB中点）时，画出相应的图形，探求线段DE，AD与BE之间的等量关系，并写出其关系式．
26．（10分）在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
2020-2021学年湖南省娄底市八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．2或6 D．2或4
【分析】分∠C为直角、∠B为直角两种情况，根据直角三角形的概念列式计算即可．
【解答】解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、mx、4x，
当∠C为直角时，2x+mx＝4x，
解得，m＝2，
当∠B为直角时，2x+4x＝mx，
解得，m＝6，
故选：C．
2．（3分）在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（ ）
A．2 B． C． D．8
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可．
【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝2AB＝8．
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE＝3，则AB等于（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝AC＝3，
∴AB＝AC＝6，
故选：D．
4．（3分）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
5．（3分）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，
A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
B、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
D、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．（3分）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、52+122＝132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、82+62＝102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、72+242＝252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
7．（3分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A＝∠2 B．∠1＝∠2
C．BC＝DE D．∠A与∠D互为余角
【分析】利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°，
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，故B错误；
∴∠A＝∠2，故A正确；
∴∠A+∠D＝90°，故D正确；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝DE，
故C正确，
故选：B．
8．（3分）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（ ）
A．360° B．290° C．270° D．250°
【分析】根据∠A＝110°，所以∠A的外角为180°﹣110°＝70°，用五边形的外角和减去70°即可解答．
【解答】解：∵∠A＝110°，
∴∠A的外角为180°﹣110°＝70°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣70°＝290°，
故选：B．
9．（3分）如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质求出AF＝BF，求出∠CAF＝30°，则可得出AF＝DF＝4．
【解答】解：连接AF，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠D+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
∵E为AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∴∠B＝∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝，
又∵∠D＝30°，
∴CF＝DF，
∴DF＝AF＝4．
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）
A．DE＝DC B．AD＝DB C．AD＝BC D．BC＝AE
【分析】根据题意和图形可以分别推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，
∴AB＝2BC，AD＝DB＞AE，
∴AD＝DB，故选项B正确，
AD＞BC，故选项C错误，
BC＝AE，故选项D正确，
∵∠DEB＝∠DCB＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DBC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DBC（HL），
∴DE＝DC，故选项A正确，
故选：C．
11．（3分）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．5
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
【解答】解：S阴影＝AC2+BC2+AB2＝（AB2+AC2+BC2），
∵AB2＝AC2+BC2＝5，
∴AB2+AC2+BC2＝10，
∴S阴影＝×10＝5．
故选：D．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②；③AB+CD＝AD；④M到AD的距离等于BC的；⑤M为BC的中点；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】过M作ME⊥AD于E，得出∠MDE＝∠CDA，∠MAD＝∠BAD，求出∠MDA+∠MAD＝（∠CDA+∠BAD）＝90°，根据三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；根据角平分线性质求出MC＝ME，ME＝MB，即可判断④和⑤；由勾股定理求出DC＝DE，AB＝AE，即可判断③；根据SSS证△DEM≌△DCM，推出S三角形DEM＝S三角形DCM，同理得出S三角形AEM＝S三角形ABM，即可判断②．
【解答】解：过M作ME⊥AD于E，
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE＝∠CDA，∠MAD＝∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠MDA+∠MAD＝（∠CDA+∠BAD）＝×180°＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；
∵DM平分∠CDE，∠C＝90°（MC⊥DC），ME⊥DA，
∴MC＝ME，
同理ME＝MB，
∴MC＝MB＝ME＝BC，故⑤正确；
∴M到AD的距离等于BC的一半，故④错误；
∵由勾股定理得：DC2＝MD2﹣MC2，DE2＝MD2﹣ME2，
又∵ME＝MC，MD＝MD，
∴DC＝DE，
同理AB＝AE，
∴AD＝AE+DE＝AB+DC，故③正确；
∵在△DEM和△DCM中，
∴△DEM≌△DCM（SSS），
∴S三角形DEM＝S三角形DCM
同理S三角形AEM＝S三角形ABM，
∴S三角形AMD＝S梯形ABCD，故②正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若一个多边形的每一个内角都等于156°，则这个多边形是 十五 边形．
【分析】先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于156°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣156°＝24°，
∴边数n＝360°÷24°＝15．
故答案为：十五．
14．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是 等腰直角 三角形．
【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠C＝90°，从而得解．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠C+∠C+∠C＝180°，
解得∠C＝90°，
所以，△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
15．（3分）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为 135° ．
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠2＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠3＝45°，进而可得答案．
【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠2，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AE＝DE，∠AED＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故答案为：135°
16．（3分）在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，则四边形ABCD的周长为 2+10 ．
【分析】根据等边三角形的性质得∠DBC＝60°，从而得∠ABD＝30°，再由含30°的直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC＝60°，DB＝BC＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∵在Rt△ABC中，∠ABD＝30°，AD＝2
∴DB＝4，
∴CD＝BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝2，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝2+4+4+2＝2+10，
故答案为：2+10．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，直线m垂直平分AC，点P为直线m上的动点，则PB+PC的最小值是 2 ．
【分析】根据直线m垂直平分AC，得到点A与C关于直线m对称，设直线m与AB的交点为D，当点P与D重合时，PB+PC的值最小，且最小值是AB的长度，根据直角三角形的性质健康得到结论．
【解答】解：∵直线m垂直平分AC，
∴点A与C关于直线m对称，
设直线m与AB的交点为D，
当点P与D重合时，PB+PC的值最小，且最小值是AB的长度，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∴PB+PC的最小值是2，
故答案为：2．
18．（3分）如图，△A1OM是腰长为1的等腰直角三角形，以A1M为一边，作A1A2⊥A1M，且A1A2＝1，连接A2M，再以A2M为一边，作A2A3⊥A2M，且A2A3＝1，则A1M＝ ，照此规律操作下去…则AnM＝ ．
【分析】根据勾股定理，探究规律，利用规律即可解决问题．
【解答】解：根据勾股定理可得：A1M＝＝，
A2M＝＝，
A3M＝＝，
A4M＝＝，
…，
AnM＝
故答案为；
三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，由题意得，
（n﹣2）×180°+360°＝1260°，
解得：n＝7．
答：多边形的边数为7．
20．（6分）如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由．
【分析】在△ABC中，已知了边AC、BC、AB的值，利用勾股定理逆定理判断即可．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，AB＝3.2米；
∴AC2＝30.25，BC2＝20.25，AB2＝10.24；
∵30.25≠20.25+10.24，
∴不能做帐篷的支撑竿．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积．
【分析】在直角△ACD中，已知AD，CD，根据勾股定理可以求得AC，根据AC，BC，AB的关系可以判定△ABC为直角三角形，根据直角三角形面积计算公式即可计算四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC为斜边，
已知AD＝4，CD＝3，
则AC＝＝5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝AC?CB﹣AD?DC＝24，
答：该四边形面积为24．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，将△ABC沿AE折叠使点C恰好落在AB边上的点F处．求BE的长．
【分析】利用勾股定理求出BA＝10，设BE＝x，则EF＝8﹣x，在Rt△BEF中，利用勾股定理解出x的值即可．
【解答】解：∵将△ABC沿AE折叠 使点C恰好落在AB边上的点F，
∴AC＝AF＝6，EF⊥AB，CE＝EF，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，
设BE＝x，则EF＝8﹣x，
∴x2＝（x﹣8）2+42，
解方程得：x＝5．
即BE＝5．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
24．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
六、综合题（每小题10分，每小题10分，共20分）
25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D．BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交（交点不是AB中点）时，画出相应的图形，探求线段DE，AD与BE之间的等量关系，并写出其关系式．
【分析】（1）如图1，证明△ACD≌△CBE得到AD＝CE，CD＝BE，从而得到DE＝AD+BE；
（2）如图2，利用同样的方法证明△ACD≌△CBE，从而得到DE＝AD﹣BE或DE＝BE﹣AD．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD⊥MN于点D．BE⊥MN于点E，
∴∠ADC＝90°，∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）如图2，DE＝AD﹣BE；
如图3，DE＝BE﹣AD．
26．（10分）在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM＝DN，再根据∠AED+∠AFD＝180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN＝180°，可以推出∠DFN＝∠AED，然后利用角角边定理证明△DME与△DNF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）不一定成立，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧，则成立，若是同侧则不成立．
【解答】解：（1）DE＝DF．
理由如下：
过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，
∴∠DFN＝∠AED，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE＝DF；
（2）不一定成立．
如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，
经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，
所以不一定成立．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．2或6 D．2或4
2．（3分）在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（ ）
A．2 B． C． D．8
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE＝3，则AB等于（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
4．（3分）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
5．（3分）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA
6．（3分）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25
7．（3分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A＝∠2 B．∠1＝∠2
C．BC＝DE D．∠A与∠D互为余角
8．（3分）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（ ）
A．360° B．290° C．270° D．250°
9．（3分）如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）
A．DE＝DC B．AD＝DB C．AD＝BC D．BC＝AE
11．（3分）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．5
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②；③AB+CD＝AD；④M到AD的距离等于BC的；⑤M为BC的中点；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若一个多边形的每一个内角都等于156°，则这个多边形是 边形．
14．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是 三角形．
15．（3分）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为 ．
16．（3分）在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，则四边形ABCD的周长为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，直线m垂直平分AC，点P为直线m上的动点，则PB+PC的最小值是 ．
18．（3分）如图，△A1OM是腰长为1的等腰直角三角形，以A1M为一边，作A1A2⊥A1M，且A1A2＝1，连接A2M，再以A2M为一边，作A2A3⊥A2M，且A2A3＝1，则A1M＝ ，照此规律操作下去…则AnM＝ ．
三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数．
20．（6分）如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，将△ABC沿AE折叠使点C恰好落在AB边上的点F处．求BE的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
24．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
六、综合题（每小题10分，每小题10分，共20分）
25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D．BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交（交点不是AB中点）时，画出相应的图形，探求线段DE，AD与BE之间的等量关系，并写出其关系式．
26．（10分）在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
2020-2021学年湖南省娄底市八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．2或6 D．2或4
【分析】分∠C为直角、∠B为直角两种情况，根据直角三角形的概念列式计算即可．
【解答】解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、mx、4x，
当∠C为直角时，2x+mx＝4x，
解得，m＝2，
当∠B为直角时，2x+4x＝mx，
解得，m＝6，
故选：C．
2．（3分）在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（ ）
A．2 B． C． D．8
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可．
【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝2AB＝8．
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE＝3，则AB等于（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝AC＝3，
∴AB＝AC＝6，
故选：D．
4．（3分）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
5．（3分）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，
A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
B、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
D、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．（3分）在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、52+122＝132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、82+62＝102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、72+242＝252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
7．（3分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A＝∠2 B．∠1＝∠2
C．BC＝DE D．∠A与∠D互为余角
【分析】利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°，
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，故B错误；
∴∠A＝∠2，故A正确；
∴∠A+∠D＝90°，故D正确；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝DE，
故C正确，
故选：B．
8．（3分）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（ ）
A．360° B．290° C．270° D．250°
【分析】根据∠A＝110°，所以∠A的外角为180°﹣110°＝70°，用五边形的外角和减去70°即可解答．
【解答】解：∵∠A＝110°，
∴∠A的外角为180°﹣110°＝70°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣70°＝290°，
故选：B．
9．（3分）如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质求出AF＝BF，求出∠CAF＝30°，则可得出AF＝DF＝4．
【解答】解：连接AF，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠D+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
∵E为AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∴∠B＝∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝，
又∵∠D＝30°，
∴CF＝DF，
∴DF＝AF＝4．
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）
A．DE＝DC B．AD＝DB C．AD＝BC D．BC＝AE
【分析】根据题意和图形可以分别推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，
∴AB＝2BC，AD＝DB＞AE，
∴AD＝DB，故选项B正确，
AD＞BC，故选项C错误，
BC＝AE，故选项D正确，
∵∠DEB＝∠DCB＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DBC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DBC（HL），
∴DE＝DC，故选项A正确，
故选：C．
11．（3分）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．5
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
【解答】解：S阴影＝AC2+BC2+AB2＝（AB2+AC2+BC2），
∵AB2＝AC2+BC2＝5，
∴AB2+AC2+BC2＝10，
∴S阴影＝×10＝5．
故选：D．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②；③AB+CD＝AD；④M到AD的距离等于BC的；⑤M为BC的中点；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】过M作ME⊥AD于E，得出∠MDE＝∠CDA，∠MAD＝∠BAD，求出∠MDA+∠MAD＝（∠CDA+∠BAD）＝90°，根据三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；根据角平分线性质求出MC＝ME，ME＝MB，即可判断④和⑤；由勾股定理求出DC＝DE，AB＝AE，即可判断③；根据SSS证△DEM≌△DCM，推出S三角形DEM＝S三角形DCM，同理得出S三角形AEM＝S三角形ABM，即可判断②．
【解答】解：过M作ME⊥AD于E，
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE＝∠CDA，∠MAD＝∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠MDA+∠MAD＝（∠CDA+∠BAD）＝×180°＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；
∵DM平分∠CDE，∠C＝90°（MC⊥DC），ME⊥DA，
∴MC＝ME，
同理ME＝MB，
∴MC＝MB＝ME＝BC，故⑤正确；
∴M到AD的距离等于BC的一半，故④错误；
∵由勾股定理得：DC2＝MD2﹣MC2，DE2＝MD2﹣ME2，
又∵ME＝MC，MD＝MD，
∴DC＝DE，
同理AB＝AE，
∴AD＝AE+DE＝AB+DC，故③正确；
∵在△DEM和△DCM中，
∴△DEM≌△DCM（SSS），
∴S三角形DEM＝S三角形DCM
同理S三角形AEM＝S三角形ABM，
∴S三角形AMD＝S梯形ABCD，故②正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若一个多边形的每一个内角都等于156°，则这个多边形是 十五 边形．
【分析】先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于156°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣156°＝24°，
∴边数n＝360°÷24°＝15．
故答案为：十五．
14．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是 等腰直角 三角形．
【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠C＝90°，从而得解．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠C+∠C+∠C＝180°，
解得∠C＝90°，
所以，△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
15．（3分）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为 135° ．
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠2＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠3＝45°，进而可得答案．
【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠2，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AE＝DE，∠AED＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故答案为：135°
16．（3分）在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，则四边形ABCD的周长为 2+10 ．
【分析】根据等边三角形的性质得∠DBC＝60°，从而得∠ABD＝30°，再由含30°的直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC＝60°，DB＝BC＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∵在Rt△ABC中，∠ABD＝30°，AD＝2
∴DB＝4，
∴CD＝BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝2，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝2+4+4+2＝2+10，
故答案为：2+10．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，直线m垂直平分AC，点P为直线m上的动点，则PB+PC的最小值是 2 ．
【分析】根据直线m垂直平分AC，得到点A与C关于直线m对称，设直线m与AB的交点为D，当点P与D重合时，PB+PC的值最小，且最小值是AB的长度，根据直角三角形的性质健康得到结论．
【解答】解：∵直线m垂直平分AC，
∴点A与C关于直线m对称，
设直线m与AB的交点为D，
当点P与D重合时，PB+PC的值最小，且最小值是AB的长度，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∴PB+PC的最小值是2，
故答案为：2．
18．（3分）如图，△A1OM是腰长为1的等腰直角三角形，以A1M为一边，作A1A2⊥A1M，且A1A2＝1，连接A2M，再以A2M为一边，作A2A3⊥A2M，且A2A3＝1，则A1M＝ ，照此规律操作下去…则AnM＝ ．
【分析】根据勾股定理，探究规律，利用规律即可解决问题．
【解答】解：根据勾股定理可得：A1M＝＝，
A2M＝＝，
A3M＝＝，
A4M＝＝，
…，
AnM＝
故答案为；
三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，由题意得，
（n﹣2）×180°+360°＝1260°，
解得：n＝7．
答：多边形的边数为7．
20．（6分）如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由．
【分析】在△ABC中，已知了边AC、BC、AB的值，利用勾股定理逆定理判断即可．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，AB＝3.2米；
∴AC2＝30.25，BC2＝20.25，AB2＝10.24；
∵30.25≠20.25+10.24，
∴不能做帐篷的支撑竿．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积．
【分析】在直角△ACD中，已知AD，CD，根据勾股定理可以求得AC，根据AC，BC，AB的关系可以判定△ABC为直角三角形，根据直角三角形面积计算公式即可计算四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC为斜边，
已知AD＝4，CD＝3，
则AC＝＝5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝AC?CB﹣AD?DC＝24，
答：该四边形面积为24．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，将△ABC沿AE折叠使点C恰好落在AB边上的点F处．求BE的长．
【分析】利用勾股定理求出BA＝10，设BE＝x，则EF＝8﹣x，在Rt△BEF中，利用勾股定理解出x的值即可．
【解答】解：∵将△ABC沿AE折叠 使点C恰好落在AB边上的点F，
∴AC＝AF＝6，EF⊥AB，CE＝EF，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，
设BE＝x，则EF＝8﹣x，
∴x2＝（x﹣8）2+42，
解方程得：x＝5．
即BE＝5．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
24．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
六、综合题（每小题10分，每小题10分，共20分）
25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D．BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交（交点不是AB中点）时，画出相应的图形，探求线段DE，AD与BE之间的等量关系，并写出其关系式．
【分析】（1）如图1，证明△ACD≌△CBE得到AD＝CE，CD＝BE，从而得到DE＝AD+BE；
（2）如图2，利用同样的方法证明△ACD≌△CBE，从而得到DE＝AD﹣BE或DE＝BE﹣AD．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD⊥MN于点D．BE⊥MN于点E，
∴∠ADC＝90°，∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）如图2，DE＝AD﹣BE；
如图3，DE＝BE﹣AD．
26．（10分）在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM＝DN，再根据∠AED+∠AFD＝180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN＝180°，可以推出∠DFN＝∠AED，然后利用角角边定理证明△DME与△DNF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）不一定成立，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧，则成立，若是同侧则不成立．
【解答】解：（1）DE＝DF．
理由如下：
过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，
∴∠DFN＝∠AED，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE＝DF；
（2）不一定成立．
如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，
经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，
所以不一定成立．
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