概率与统计复习
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概率与统计
典型例题
例2．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是 ( )
(A) 14和0.14 (B) 0.14和14 (C) 和0.14 (D) 和
例3．公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取__________，__________，___________辆。
【变式训练】一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .
答案：10
例5.为了解小学生的体能情况,抽取了某小学同年级
部分的学生进行跳绳测试,将所得数据画出频率分
布直方图,已知第一小组的频数为5,
(1)求各小组的频率;(2)问参加测试的人数是多少
(3)被测试的学生跳绳次数的平均数是多少
1．要从已编号（1----50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若用系统抽样方法，确定所选取的5枚导弹的编号可能是（ ）
(A) 5、10、15、20、25 (B) 3、13、23、33、43
(C) 1、2、3、4、5 (D) 2、4、8、16、22
2. 在频率分布直方图中共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积之和的1/4，且样本容量为160，则中间这一组的频数为（ ）
(A)32 (B) 0.2 (C) 40 (D) 0.25
4．某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为101，行政人员有24人，现采取分层抽样容量为50的样本，那么行政人员应抽取的人数为( )
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8
8．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 。
8、解：因为一天平均每人的课外阅读时间应为
一天的总阅读时间与学生人数的比,即是
小时.
9.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n= .
1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
分层抽样法，系统抽样法； （B）分层抽样法，简单随机抽样法；
（C） 系统抽样法，分层抽样法； （D）简单随机抽样法，分层抽样法.
2. 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在的汽车大约有(说明：右图中每组的左边分界点属于该组，右边分界点属于下一组) （ ）
(A)辆 (B) 辆 (B)辆 (D)80辆
4．线性回归方程表示的直线必定经过的一个定点是 ( )
(A) (B) (C) (D)
4、D 回归方程一定经过样本中心点
5．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，是其中一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图小矩形的高为h，则=（ ）
(A)hm (B)m/h (C)h/m (D) h+m
5、B 为组距，根据直方图的画法，h=m
6.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
6、C 4000*150/300000=20
7．考虑一元二次方程，其中m,n的取值分别等于将一枚股子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率是 。
7、总的基本事件有6*6=36种，满足的有19种，所以概率为19/36。
8.（06高考题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿25＿人。
8.的频率为
故在该段应抽出的人数为
9.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= .
9、解:192.因为,所以n=192.
10. 已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy= .
10、解:96.
11、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
11．解：（1）总体平均数为
（2）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．
事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．所以所求的概率为．
12、一样本频率分布直方图如图所示，已知在内频数为8。
（1）求样本容量。
（2）若在内小矩形面积为0.06，求内的频数；
（3）求样本在内的频率。
o 12 15 18 21 24 27 30 33
样本数据12．解：（1）的频率为，样本容量=
（2）的频数为
（3）的频率=1-0.06-0.16=0.78
综合测试题
1.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
A． B． C． D．
1．解：B
2．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．解： D从中有放回地取2次，所取号码共有8*8=64种，其中和不小于15的有3种，分别是（7，8），（8，7），（8，8），故所求概率为
3.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析
出和分别为 （ ）
A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45
3．解：A从频率分布直方图上可以看出，.
4.设有一个线性回归方程，则当变量增加一个单位时（ ）
A． B．
C． D．
4．解：C 回归系数，自变量和因变量负相关，当变量x增加一个单位时，y平均减少1.5个单位。
5.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．
5.解： 落入E 中的概率==
6.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是______________________．
6.解: 63.因为m＝6,k=7,所以m+k=13个位数字是3.
7．为了了解某地区高三学生的身体发
育情况，抽查了该地区100名年龄为
17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得
到频率分布直方图如下：根据上图可得
这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕
的学生人数是 .
7、解：〔56.5,64.5〕的频率为故所求学生人数为
8．（1）在线段上任取三个不同的点，求位于与之间的概率；
（2）在长为10cm的线段AB上取一点G,并以AG为半径作一个圆,求圆的面积介于36到64的概率。
8．（1）解：排列的基本事件有：；；；；；共6种.
设“位于与之间”为事件A，事件A包含的基本事件有；两种，∴.
（2）解：因为事件满足几何概型，事件发生的总区域为线段AB的长度10cm，
设“圆的面积介于36到64”为事件B，事件B包含的区域长度为，∴.
9．从全校参加数学竞赛的学生的试卷中，抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图如图所示，图中从左向右各小组的小长方形的高之比为1：3：6：4：2，最左边的一组的频数是3，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：（1）样本的容量是多少？（2）列出频率分布表；（3）成绩落在哪个范围内的人数最多？并指出该小组的频数，频率频率/组距
0 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
9．解：（1）最左边一组的频率=
（2）
分组 累计频数 频数 频率
3 3 0.0625
12 9 0.1875
30 18 0.3750
42 12 0.2500
48 6 0.1250
（3）的人数最多，该小组的频率为0.375，频数为18。
0.004
0.012
0.016
49.5
74.5
99.5
124.5
149.5
频率
次数
组距
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0
1.0
1.5
2.0
15
0
13
14
15
16
17
18
19
秒
频率/组距
0.36
0.34
0.18
0.06
0.04
0.02
典型例题
例2．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是 ( )
(A) 14和0.14 (B) 0.14和14 (C) 和0.14 (D) 和
例3．公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取__________，__________，___________辆。
【变式训练】一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .
答案：10
例5.为了解小学生的体能情况,抽取了某小学同年级
部分的学生进行跳绳测试,将所得数据画出频率分
布直方图,已知第一小组的频数为5,
(1)求各小组的频率;(2)问参加测试的人数是多少
(3)被测试的学生跳绳次数的平均数是多少
1．要从已编号（1----50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若用系统抽样方法，确定所选取的5枚导弹的编号可能是（ ）
(A) 5、10、15、20、25 (B) 3、13、23、33、43
(C) 1、2、3、4、5 (D) 2、4、8、16、22
2. 在频率分布直方图中共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积之和的1/4，且样本容量为160，则中间这一组的频数为（ ）
(A)32 (B) 0.2 (C) 40 (D) 0.25
4．某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为101，行政人员有24人，现采取分层抽样容量为50的样本，那么行政人员应抽取的人数为( )
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8
8．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 。
8、解：因为一天平均每人的课外阅读时间应为
一天的总阅读时间与学生人数的比,即是
小时.
9.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n= .
1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
分层抽样法，系统抽样法； （B）分层抽样法，简单随机抽样法；
（C） 系统抽样法，分层抽样法； （D）简单随机抽样法，分层抽样法.
2. 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在的汽车大约有(说明：右图中每组的左边分界点属于该组，右边分界点属于下一组) （ ）
(A)辆 (B) 辆 (B)辆 (D)80辆
4．线性回归方程表示的直线必定经过的一个定点是 ( )
(A) (B) (C) (D)
4、D 回归方程一定经过样本中心点
5．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，是其中一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图小矩形的高为h，则=（ ）
(A)hm (B)m/h (C)h/m (D) h+m
5、B 为组距，根据直方图的画法，h=m
6.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
6、C 4000*150/300000=20
7．考虑一元二次方程，其中m,n的取值分别等于将一枚股子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率是 。
7、总的基本事件有6*6=36种，满足的有19种，所以概率为19/36。
8.（06高考题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿25＿人。
8.的频率为
故在该段应抽出的人数为
9.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= .
9、解:192.因为,所以n=192.
10. 已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy= .
10、解:96.
11、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
11．解：（1）总体平均数为
（2）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．
事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．所以所求的概率为．
12、一样本频率分布直方图如图所示，已知在内频数为8。
（1）求样本容量。
（2）若在内小矩形面积为0.06，求内的频数；
（3）求样本在内的频率。
o 12 15 18 21 24 27 30 33
样本数据12．解：（1）的频率为，样本容量=
（2）的频数为
（3）的频率=1-0.06-0.16=0.78
综合测试题
1.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
A． B． C． D．
1．解：B
2．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．解： D从中有放回地取2次，所取号码共有8*8=64种，其中和不小于15的有3种，分别是（7，8），（8，7），（8，8），故所求概率为
3.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析
出和分别为 （ ）
A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45
3．解：A从频率分布直方图上可以看出，.
4.设有一个线性回归方程，则当变量增加一个单位时（ ）
A． B．
C． D．
4．解：C 回归系数，自变量和因变量负相关，当变量x增加一个单位时，y平均减少1.5个单位。
5.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．
5.解： 落入E 中的概率==
6.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是______________________．
6.解: 63.因为m＝6,k=7,所以m+k=13个位数字是3.
7．为了了解某地区高三学生的身体发
育情况，抽查了该地区100名年龄为
17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得
到频率分布直方图如下：根据上图可得
这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕
的学生人数是 .
7、解：〔56.5,64.5〕的频率为故所求学生人数为
8．（1）在线段上任取三个不同的点，求位于与之间的概率；
（2）在长为10cm的线段AB上取一点G,并以AG为半径作一个圆,求圆的面积介于36到64的概率。
8．（1）解：排列的基本事件有：；；；；；共6种.
设“位于与之间”为事件A，事件A包含的基本事件有；两种，∴.
（2）解：因为事件满足几何概型，事件发生的总区域为线段AB的长度10cm，
设“圆的面积介于36到64”为事件B，事件B包含的区域长度为，∴.
9．从全校参加数学竞赛的学生的试卷中，抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图如图所示，图中从左向右各小组的小长方形的高之比为1：3：6：4：2，最左边的一组的频数是3，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：（1）样本的容量是多少？（2）列出频率分布表；（3）成绩落在哪个范围内的人数最多？并指出该小组的频数，频率频率/组距
0 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
9．解：（1）最左边一组的频率=
（2）
分组 累计频数 频数 频率
3 3 0.0625
12 9 0.1875
30 18 0.3750
42 12 0.2500
48 6 0.1250
（3）的人数最多，该小组的频率为0.375，频数为18。
0.004
0.012
0.016
49.5
74.5
99.5
124.5
149.5
频率
次数
组距
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0
1.0
1.5
2.0
15
0
13
14
15
16
17
18
19
秒
频率/组距
0.36
0.34
0.18
0.06
0.04
0.02