2.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．
答案：D
2．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
答案：D
3．下列命题中，正确的是( )
A．|a|＝|b|?a＝b B．|a|>|b|?a>b
C．a＝b?a∥b
D．|a|＝0?a＝0
解析：由零向量的定义，可知D选项是正确的，故选D.
答案：D
4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由平面几何知识知，与方向不同，
故≠；与方向不同，故≠；
与的模相等而方向相反，故≠.
与的模相等且方向相同，∴＝.
答案：D
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
解析：由＝，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7.
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与平行的向量为，，，，其中方向相反的向量为，.
答案：，
8．给出下列命题：
①若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②在?ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中所有正确命题的序号为________．
解析：＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确；对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．
答案：②③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
10．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解析：(1)如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，
故与共线，即AB∥CD.
又||＝||，
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以||＝||＝200(千米)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A.＝
B.∥
C．||＝||
D.＝
解析：由题图可知，||＝||，但、不共线，故≠，故选D.
答案：D
12．给出下列三个条件：①|a|＝|b|；②a与b方向相反；③|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________．
解析：由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即①不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即②能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是②③.
答案：②③
13．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1
400
km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1
400
km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
解析：
如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则||＝1
400
km.
表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则||＝1
400
km.
所以为飞机从A地到C地的位移．
在△ABC中，AB＝BC＝1
400
km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，
故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1
400
km.
所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1
400
km.
14．如图，在△ABC中，已知向量＝，＝，求证：＝.
证明：由＝，可得DF＝EC且DF∥EC，
故四边形CEDF是平行四边形，从而DE∥FC.
∵＝，∴D为AB的中点．
∴＝，∴＝.
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-
4
-2．2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
向量加法的定义及其几何意义
b
b
向量加法的交换律与结合律
b
b
相反向量的概念
a
a
向量减法的定义及其几何意义
b
b
知识导图
学法指导
1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合成、力的合成两个物理模型为背景引入．而向量的减法运算是通过类比实数的减法运算引入的．
2．由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题．
第1课时 向量加法运算及其几何意义
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫作向量的加法．
2．向量加法的运算法则
(1)三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.
(2)平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
3．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示：
＝＋(平行四边形法则)，
又∵
＝，∴
＝
＋(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
2．向量＋与非零向量，的模及方向的联系
(1)当向量与不共线时，向量＋的方向与，都不相同，且|＋|<||＋||，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量与同向时，向量＋与(或)方向相同，且|＋|＝||＋||.
(3)当向量与反向时，且||≤||时，＋与方向相同(与方向相反)，且|＋|＝||－||.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＋0＝a.( )
(2)a＋b＝b＋a.( )
(3)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.( )
(4)＋＝2.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：＋＝.
答案：D
3．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝
B.＋＝
C.＝＋
D.＋＝0
解析：因为＝＋≠＋，故C错误．
答案：C
4．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．
答案：A
类型一 已知向量作和向量
例1 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【解析】 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
① ②
方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即即为所求.
利用三角形法则或,平行四边形法则
→先作出两个向量,的和向量
→再作出三个向量的和向量
方法归纳
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点．
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
解析：方法一 如图(1)，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.
方法二 如图(2)，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；
再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.
本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则．
类型二 向量的加法运算
例2 化简：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
【解析】 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝＋＝.
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解．
方法归纳
向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．
跟踪训练2 化简：
(1)＋＋；
(2)(＋)＋＋.
解析：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝0.
(2)方法一 (＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二 (＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
方法三 (＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝.
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行.
如
(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)；＋＋＋＋＝[＋(＋)]＋(＋)．
类型三 向量加法的实际应用
例3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．现有一艘船从长江南岸A点出发，以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2
km/h.
(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示，精确到度)．
【解析】 (1)如图所示，表示船速，表示水速，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则表示船实际航行的速度．
(2)在Rt△ABC中，||＝2，||＝5，所以||＝＝≈5.4.
因为tan∠CAB＝2.5，由计算器得∠CAB≈68°，
所以船实际航行速度的大小约为5.4
km/h，方向与水速间的夹角约为68°.
表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，表示水流速度，以AD，AB为邻边作?ABCD，则就是船的实际航行速度．
跟踪训练3 本例中若该船从A点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4
km/h，求水速大小．
解析：由题意，||2＋||2＝||2，故||2＋(2)2＝42，解得||＝2，故水速大小为2
km/h.
结合例题中的图形，由勾股定理得||.
2.2.1-2.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B.
C.
D.
解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.
答案：A
2．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a
B.＋＋＝0
C.＋＝0
D.＋＝＋＋
解析：＋＋＝＋＝2≠0，故B错．
答案：B
3．设a表示“向东走5
km”，b表示“向南走5
km”，则a＋b表示( )
A．向东走10
km
B．向南走10
km
C．向东南走10
km
D．向东南走5
km
解析：
如图所示，＝a＋b，||＝5，||＝5，且AB⊥BC，则||＝5，∠BAC＝45°.
答案：D
4．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同
B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同
D．不确定
解析：如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
答案：A
5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝＋，由a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________.
解析：由向量加法的三角形法则，得＋＝，即a＋b＋c＝＋＋＝0.
答案：0
7．化简(＋)＋(＋)＋＝________.
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
8．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，
又∵||＝1，∴||＝1，|＋|＝||＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
解析：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)；
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)；
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)．
10.
如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
解析：(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，所以＋＝＋＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．设a＝(＋C)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的有( )
①a∥b
②a＋b＝a
③a＋b＝b
④|a＋b|<|a|＋|b|
⑤|a＋b|＝|a|＋|b|
⑥|a＋b|>|a|＋|b|
A．①②⑥
B．①③⑥
C．①③⑤
D．③④⑤⑥
解析：a＝＋＋＋＝0
又b为非零向量，故①③⑤正确．
答案：C
12.
如图，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，则A和B处所受力的大小为________(绳子的重量忽略不计)．
解析：如图，设，分别表示A，B所受的力，10
N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
所以||＝||cos
30°＝10×＝5.
||＝|CG|cos
60°＝10×＝5.
所以A处所受的力的大小为5
N，B处所受的力的大小为5
N.
答案：5
N,5
N
13．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解析：如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
14．如图，在重300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
解析：如图，作?OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且||＝300
N.
所以||＝||cos
30°＝150(N)，
||＝||cos
60°＝150
(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
PAGE
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6
-第2课时 向量减法运算及其几何意义
1.相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.
(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝0.
(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
2．向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
1.准确理解向量减法的几何意义
(1)向量减法是向量加法的逆运算．
设＋＝，则＝－，
如图，设
＝，
＝.
由向量加法的三角形法则可知
＝
＋，
∴
＝
－
＝－.
(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．
(3)以向量＝，＝为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝＋，
＝－，
＝－.
2．若，是不共线向量，|＋|与|－|的几何意义比较，如图所示，设＝，＝.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝＋，＝－.因为四边形OACB是平行四边形，所以|＋|＝||，|－|＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( )
(2)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量．( )
(3)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n|
D．方向相反
解析：零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.
答案：A
3．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
解析：＝－＝－－＝－a－b.
答案：D
4.－＝________.
解析：－＝.
答案：
类型一 已知向量作差向量
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解析】 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则＝b－c，所以＝＋＝a＋b－c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，则＝a＋b－c.
方法三 如图③，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
方法归纳
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解析：如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c.则向量即为所求作的向量a－b－c.
先作－，再作－－.
类型二 向量的减法运算
例2 化简(－)－(－)．
【解析】 方法一(统一成加法) (－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
方法二(利用－＝) (－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
方法三(利用＝－) 设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
方法归纳
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
跟踪训练2 在四边形ABCD中，－－＝________.
解析：－－＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案：
结合图形利用减法运算法则求．
类型三 利用已知向量表示未知向量
例3 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【解析】 因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，故＝＋＝b－a＋c.
由平行四边形的性质可知
＝
＝，由向量的减法可知：
＝
－，由向量的加法可知
＝
＋.
方法归纳
利用已知向量表示其他向量的思路
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－(M，N均是同一平面内的任意点)．
跟踪训练3 本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解析：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c.
第一步：观察各向量的位置．
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形．
第三步：运用法则找关系．
第四步：化简结果．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列运算中正确的是( )
A.－＝
B.－＝
C.－＝
D.－＝0
解析：根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－应该等于0，而不是0.
答案：C
2．下列四式中不能化简为的是( )
A.＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C.－＋
D.＋－
解析：D中，＋－＝－＝＋不能化简为，其余选项皆可．
答案：D
3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
答案：C
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：＝＋＋＝a－b＋c.
答案：A
5．给出下列各式：
①＋＋；
②－＋－；
③－－；
④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：①＋＋＝＋＝0；
②－＋－＝＋－(＋)＝－＝0；
③－－＝＋＋＝＋＝0；
④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.＋－＝________.
解析：＋－＝＋＝.
答案：
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线同向，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|，平行四边形ABCD为矩形，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解析：在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量a－b＝，再作向量＝c，则向量＝a－b－c.
10．化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
解析：(1)方法一 原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二 原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
(2)方法一 原式＝－＝.
方法二 原式＝－(＋)＝－＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
因为|m|＝|n|，
所以||＝||.
所以四边形ABCD是矩形，
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
答案：C
12．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中正确命题的序号为________．
解析：①因为＋＝，
所以＝－，正确；
②－＝，所以＋＝，正确；
③因为＝－，所以－＝，正确；
④－＝－－，所以＝＋，正确．
答案：①②③④
13.
如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝a＋d＋e.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
14．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
解析：设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
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-
3
-2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
向量的数乘运算
c
c
向量数乘运算的几何意义
b
b
知识导图
学法指导
1.与实数乘法的运算律类似，向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量数乘的运算律时，要注重其几何意义．
2．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础．
3．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行，注意区别向量平行与直线平行．
4．学习了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.
1.向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
(3)当λ＝0时，λa＝0.
理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．
2．数乘向量的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉.
若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝0，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量．( )
(2)对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反．( )
(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )
(4)若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( )
A．a与b方向相同
B．a与b方向相反
C．|a|＝|3b|
D．|a|＝|b|
解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B.
答案：B
3．化简：＝( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，选B.
答案：B
4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )
A．4e2 B．4e1
C．3e1＋6e2
D．8e2
解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
类型一 向量的线性运算
例1 (1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)．
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
【解析】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j.
(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 化简：
(1)－2；
(2).
解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝＝4－a＋－3＋＋b＝＝a－b.
先由运算律去括号，再进行数乘运算．
类型二 向量共线条件的应用
例2 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
【解析】 (1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
所以，共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，
只能有所以k＝±1.
(1)欲证三点A，B，D共线，即证存在实数λ，使＝λ，只要由已知条件求出λ即可．
(2)由两向量共线，列出关于1、2的等式，再由1与2不共线知，若λ1＝μ2，则λ＝μ＝0.
方法归纳
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9
B．－4
C．4
D．9
(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10
B．－10
C．2
D．－2
解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
由于e1，e2不共线，所以所以λ＝－4.
(2)因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.
答案：(1)B (2)C
(1)由，共线，得＝m，建立等式求λ.
(2)A、B、D三点共线，设＝λ，建立等式求k
.
类型三 用已知向量表示其他向量
例3 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________.
【解析】 因为∥，||＝2||，所以
＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
【答案】 (1)e2＋e1 (2)e1－e2
结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练3 在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.
解析：因为＝＋＋，＝＋＋，所以2＝(＋)＋＋＋(＋)．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以＋＝0，＋＝0.
所以2＝＋，所以＝(－－)＝－e2－e1.
结合图形，在梯形ABCD中，＝＋＋，再用1,
2表示.
2.2.3
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b
D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A．－2
B.
C．－
D．2
解析：如图，＝3，所以＝2.
答案：D
3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3
B.
C．－1或4
D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
4.
如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：D
5．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：＝－＝－＝3e2－2e1，
＝＝e2－e1.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
解析：由于|a|＝4，b＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.
答案：2
7．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
答案： －
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，
∴|λ|＝，即λ＝±.
答案：±
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算
(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解析：(1)原式＝a＋b
＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解析：如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线，
所以＝＝a.
在△ABD中，FP是中位线，所以＝＝－＝－b.
在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
解析：＝＋＝＋＋＝＋＝＋(－)＝－＋，故选A.
答案：A
12．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________.
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，
那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
13．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e、f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
14．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．
证明：由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)．
因为A，D，E三点共线，所以可设＝μ，
则＝(＋)．令λ＝，可得＝λ(＋)．
所以，存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．
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2
-2.3.1 平面向量基本定理
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
平面向量基本定理
b
b
平面内所有向量的一组基底
a
a
向量夹角的概念
b
b
知识导图
学法指导
1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．
2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来．
3．在△ABC中，明确与的夹角与与的夹角互补.
1.平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
平面向量基本定理的理解
(1)1，2是同一平面内的两个不共线的向量，1，2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．
(2)平面内的任一向量都可以沿基底进行分解．
(3)基底1，2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
2．关于两向量的夹角
(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．
②当θ＝0°时，a与b同向．
③当θ＝180°时，a与b反向．
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )
(3)
若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④
D．③④
解析：①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
答案：B
3．在△ABC中，向量，的夹角是指( )
A．∠CAB
B．∠ABC
C．∠BCA
D．以上都不是
解析：由两向量夹角的定义知，与的夹角应是∠ABC的补角，故选D.
答案：D
4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
解析：由图可知，＝4e1＋3e2.
答案：＝4e1＋3e2
类型一 平面向量基本定理的理解
例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；
②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1；
④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
【解析】 ①设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，
即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．
【答案】 ③
由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．
方法归纳
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
跟踪训练1 下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A.①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确．
答案：B
平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．
类型二 用基底表示平面向量
例2 如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
【解析】 ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b.
＝＋＋
＝－＋＋＝b－a.
解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．
方法归纳
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a，b表示；
(2)若本例中的基向量“，”换为“，”即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
解析：(1)由平面几何知识知BG＝BF，故＝＋＝＋＝a＋＝a＋b－a＝a＋b.
(2)＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a.
＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b.
用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．
类型三 向量的夹角
例3 已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角及a－b与a的夹角．
【解析】 如图，作＝a，＝b，∠AOB＝120°，以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形．
所以与的夹角∠AOC＝60°，
与的夹角即为与的夹角∠ABC＝30°.
所以a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.
作图，由图中找到－与的夹角，利用三角形、四边形的知识求角．
方法归纳
两个向量夹角的实质及求解的关键
(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．
(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．
跟踪训练3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．
解析：如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作?OACB，
则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形．
所以∠OAB＝60°＝∠ABC.
即a－b与a的夹角为60°.
因为|a|＝|b|，所以?OACB为菱形．
所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°.
即a＋b与a的夹角为30°.
作出向量，，＋，－，利用平面几何知识求解．
2.3.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
解析：∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
答案：B
2．当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角θ为( )
A．0°
B．90°
C．180°
D．0°或180°
解析：当向量a与b共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°.
答案：D
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝( )
A.(a－b)
B．2b－a
C.(b－a)
D．2b＋a
解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.
答案：B
4．在正方形ABCD中，与的夹角等于( )
A．45°
B．90°
C．120°
D．135°
解析：如图所示，
将平移到，则与的夹角即为与的夹角，夹角为135°.
答案：D
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________.
解析：＝－，＝－，∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0，∴＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且＝a，＝b，则＝________.
解析：＝＋＝－＝b－a.
答案：b－a
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.
10．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
解析：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
解析：设向量a，b的夹角为θ，
作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(图略)，
a，b的夹角为180°－∠C.
∵|a|＝|b|＝|c|，∴∠C＝60°，∴θ＝120°.
答案：B
12.
如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，又M为AH的中点，BC＝3，所以＝＝(＋)＝(＋)＝＋，所以λ＋μ＝.
答案：
13．如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
解析：根据平面向量基本定理可设＝ma＋nb(m，n∈R)，
则＝－＝(m－1)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵A、M、D三点共线，∴＝λ(λ为实数)，∴＝－λa＋b，
∴消去λ得m＋2n＝1.
而＝－＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵C、M、B三点共线，∴＝μ(μ为实数)，
∴＝－a＋μb，
∴消去μ得4m＋n＝1.
由解得∴＝a＋b.
14．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：
(1)与夹角的大小；
(2)与夹角的大小．
解析：
(1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，
所以AB2＋BC2＝()2＋1＝22＝AC2，
所以△ABC为直角三角形．
因为tanA＝＝＝，
所以A＝30°.
又因为D为AC的中点，所以∠ABD＝∠A＝30°，
＝.
在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°，所以与的夹角为120°.
(2)因为＝，所以与的夹角也为120°.
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2
-2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
正交分解的概念
a
a
向量的坐标表示
b
b
平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示
b
b
平面向量共线的坐标表示
b
b
知识导图
学法指导
1.学习了本节后，可以知道向量有三种表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法．
2．向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算.
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量的直角坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序数对a＝(x，y)叫作向量a的坐标．
(2)向量的坐标表示
在向量a的直角坐标中，x叫作a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，(x，y)叫作向量的坐标表示．
(3)在向量的直角坐标中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设＝x＋y(O为坐标原点)，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．
3．平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)当向量的终点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
解析：因为a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，所以a＋b＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0.所以a＝－b.
答案：C
3．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是( )
A．(2，－1)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(1，－2)
解析：＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．
答案：B
4．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝________.
解析：＝＋＝－＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
答案：(－2，－4)
类型一 求向量的坐标
例1 在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
【解析】 设点A(x，y)，B(x0，y0)，
∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，
∴x＝2cos
45°＝，且y＝2sin
45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，
∴x0＝3cos
120°＝－，y0＝3sin
120°＝.故a＝＝(，)，b＝＝.
由于向量，的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．
方法归纳
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练1 如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.
解析：由题意知，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，同理＝(－1,1)．
答案：(1，－1) (1,1) (－1,1)
结合图形可知＝－，由正方形的对称性可知B，D点坐标.
类型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A.(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a,2a＋3b的坐标．
【解析】 (1)方法一 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二 ＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A.
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
【答案】 (1)A (2)见解析
方法一先求C点坐标，再求.
方法二先求，再求.
方法归纳
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
跟踪训练2 (1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0,6)、(－8,10)，则＋2＝____________，－＝____________；
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，则c＝____________.
解析：(1)∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，
∴＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋2＝(－18,18)，－＝(－3，－3)．
(2)设c＝xa＋yb，则(x,2x)＋(－2y,3y)＝(x－2y,2x＋3y)＝(4,1)．
故解得所以c＝2a－b.
答案：(1)(－18,18) (－3，－3) (2)2a－b
(1)先求，，坐标，再计算＋2，－的值．
(2)设＝x＋y，建立方程组，求出x，y.
类型三 向量坐标运算的应用
例3 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解析】 (1)＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在第二象限，则所以－＜t＜－.
(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
(1)＝(1＋3t,2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．
(2)若四边形OABP为平行四边形，则有＝.
方法归纳
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
跟踪训练3 若保持本例条件不变，B为线段AP的中点，则t＝______.
解析：由＝＋t，得＝t.所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点．
答案：2
由B是AP的中点，得＝2，求出t的值．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2)
B．(7,6)
C．(5,0)
D．(11,8)
解析：因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．
答案：D
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是( )
A．(－4,2)
B．(－4，－2)
C．(4,2)
D．(4，－2)
解析：3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2)
B．(1,2)
C．(5,6)
D．(2,0)
解析：b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
答案：A
4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：A
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C．(3,2)
D．(1,3)
解析：设点D(m，n)，则由题意知，(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故解得
即点D，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在平面直角坐标系内，已知i、j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示a＝________.
解析：由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
7．如右图所示，已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝||·cos60°＝4cos
60°＝2，
y＝||·sin
60°＝4sin
60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6)．
答案：(2，6)
8．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.
解析：易得＝(2,0)，
由a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等得解得x＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．
解析：由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．
10．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.
(1)求p的坐标
；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
所以
所以所以p＝－a－15b.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B.
C.
D.
解析：方法一 设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
又＝＋λ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
于是由＝＋λ可得，
(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以即
因为点P在第三象限，所以解得λ＜－1.
故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．
方法二 ＝＋＝＋＋λ
＝＋λ＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，
所以P(5＋5λ，4＋7λ)，
因为点P在第三象限，所以所以λ＜－1.
答案：A
12．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________．(只填序号)
①＝2i＋3j；
②＝3i＋4j；
③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
解析：i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．
答案：①③④
13．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，
∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解析：(1)设点A(x，y)，则x＝||cos
60°＝4cos
60°＝2，y＝||sin
60°＝4sin
60°＝6，
即A(2，6)，
所以＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
14．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解析：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以
所以
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
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-2.3.4 平面向量共线的坐标表示
两向量平行的条件
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0，则a∥b?＝.
用语言可以表述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例．
已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠0时，＝λ.
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于＝.( )
(2)向量(1,2)与向量(4,8)共线．( )
(3)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．下列各组向量相互平行的是( )
A．a＝(－1,2)，b＝(3,5)
B．a＝(1,2)，b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,4)
D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)
解析：D中，b＝－2a.
答案：D
3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9
B．9
C．3
D．－3
解析：因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
答案：B
4．已知A(1,2)，B(4,5)．若＝2，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x,5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，
即解得
答案：(3,4)
类型一 向量共线的判定
例1 (1)下列各对向量中，共线的是( )
A.a＝(2,3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
(2)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？
【解析】 (1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
＝(2－1,7－5)＝(1,2)，
因为2×2－1×4＝0，所以∥.
又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，
＝(2,4)，2×4－2×6≠0，
所以与不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
【答案】 (1)D (2)见解析
(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．
(2)判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．
方法归纳
向量共线的判定方法
跟踪训练1 下列各组向量中，共线的是( )
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．
答案：D
(x1，y1)，(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则，共线．
类型二 三点共线问题
例2 设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
【解析】 方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即
解得k＝－2或k＝11.
方法二 由题意知，共线．
∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
方法一由已知求、，利用＝λ，求k.
方法二与共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
方法归纳
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练2 已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证点A，B，C共线．
证明：由题意知＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，所以＝，即与共线．
又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线．
由已知求、，若＝λ，则A、B、C共线．
类型三 向量共线的应用
例3 如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解析】 ∵＝＝(0,5)＝，∴C(0，)．
∵＝＝(4,3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
∵∥，∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.
方法归纳
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
跟踪训练3 若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1,5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．
解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4,1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4,1)，得解得因此，D点的坐标为(5,6).
设D(x，y)，由已知得＝，求D.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1)
B．(－6，－3)
C．(－1,2)
D．(－4，－8)
解析：＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
答案：D
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4)
B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
D．(－5，－10)
解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案：C
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A.
B.
C．1
D．2
解析：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝，故选A.
答案：A
4．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9,1)
B．(9，－1)
C．(9,1)
D．(－9，－1)
解析：设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.
答案：C
5．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为( )
A.
B．－
C．3
D．－3
解析：向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
∴＝(3,1)，
∵＝(2m，m＋1)，∥，
∴3m＋3＝2m，解得m＝－3，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
解析：①因为＝(－2,1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0,2)＝，所以③正确；④因为＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．
答案：①③④
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1，λ)，c＝(3,4)．若a＋b与c共线，则实数λ＝________.
解析：因为a＋b＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a＋b与c共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.
解析：∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b.
∴x2－4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，a与b共线且方向相同；
当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，a与b共线且方向相反．
∴x＝2.
10．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴＝，
∵＝，∴＝.
∵＝(x1＋1，y1)＝，∴E，
∵＝(x2－3，y2＋1)＝，∴F，
∴＝.
又∵4×－×(－1)＝0，∴∥.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝( )
A．0
B．2
C．0或2
D．0或－2
解析：方法一 ∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即∴故选C.
方法二 由a＋λb＝0，知a＝－λb，故a∥b，所以2m＝m2，解得m＝0或2.
答案：C
12．已知向量a＝(1,2)，写出一个与a共线的非零向量的坐标________．
解析：向量a＝(1,2)，与a共线的非零向量的纵坐标为横坐标的2倍，例如(2,4)．
答案：(2,4)(答案不唯一)
13．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
解析：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．易知＝(－2,6)，
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．
14．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
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1
-2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导
1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用．
2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.
向量的数量积
定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos
θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0.
几何意义
|a|cos
θ(|b|cos
θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
性质
(1)a⊥b?a·b＝0；
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(4)cos
θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|
运算律
交换律：a·b＝b·a
结合律：(λa)·b
＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律：(a＋b)·c
＝a·c＋b·c
关于向量数量积应注意的问题
(1)若向量与的夹角为θ，θ＝0时，与同向；θ＝π时，与反向；θ＝时，⊥.
(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．
(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．
(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( )
(2)两个向量的数量积是向量．( )
(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos
θ＞0?a·b＞0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝( )
A.
B.
C．1
D．－
解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos
θ＝1×1×＝.
答案：A
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A.
B.
C.
D．4
解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos
60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝.
答案：C
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，
cos
θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
类型一 向量数量积的计算及其几何意义
例1 (1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A.－
B.
C.
D.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．
【解析】 (1)设＝a，＝b，则a·b＝，|a|＝|b|＝1.＝＝(b－a)，＝＝(b－a)，＝＋＝－a＋(b－a)＝－a＋b，·＝－a·b＋b2＝－＋＝.
(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cos
θ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos
θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos
θ＝＝＝－4.
【答案】 (1)B (2)－ －4
(1)先求，再利用向量的数量积定义计算．
(2)向量在向量方向上的投影为||·cosθ＝，向量在向量方向上的投影为||·cosθ＝.
方法归纳
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
跟踪训练1 本例1中，若DE的中点为G，求·.
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，
所以·＝·＋2＝×1×1×cos120°＋×12＝－.
由已知先求，再利用公式求
·.
类型二 向量模的有关计算
例2 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A.
B．2
C．4
D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 (1)|a＋2b|＝＝＝
＝＝2.
(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.
【答案】 (1)B (2)B
求向量的模，先平方，利用公式求，再开方．
方法归纳
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
跟踪训练2 (1)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________；
(2)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
解析：(1)因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．
因为(a－b)⊥c，所以c·(a－b)＝0，所以－(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|b|＝|a|＝1.
(2)因为α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，又|α|＝1，所以α·β＝，所以|2α＋β|＝＝＝.
答案：(1)1 (2)
将所给向量式两边平方，然后利用向量数量积的运算律及向量数量积的定义求解．
类型三 向量的夹角与垂直
例3 (1)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．
【解析】 (1)设a，b的夹角为θ，因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，所以2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos
θ＝0.
因为|b|＝4|a|，所以2|a|2＋4|a|2cos
θ＝0，所以cos
θ＝－，所以θ＝π.
(2)①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
②因为cos
θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
【答案】 (1)C (2)见解析
(1)利用⊥(2＋)?·(2＋)＝0，化简求解．
(2)利用(－)(＋)＝化简，求||，再利用数量积变形公式求角．
方法归纳
求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤：
(2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos
θ的值．
跟踪训练3 (1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________；
(2)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，
①求向量a与b夹角的大小．
②求|a－2b|的值．
解析：(1)设a与b的夹角为θ，依题意有：
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos
θ＝－6，所以cos
θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.
(2)①设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos
θ－8＝0，
所以cos
θ＝，又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
②因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13，
所以|a－2b|＝.
答案：(1) (2)见解析
(1)将等式(＋2)·(－)＝－6化简，求得夹角．(2)利用向量垂直的性质：⊥?·＝0求解．
2.4.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12
B．12
C．－12
D．－12
解析：m·n＝|m||n|cos
θ＝4×6×cos
45°＝24×＝12.
答案：B
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12
B．3
C．6
D．3
解析：a·b＝|a||b|cos
135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.
答案：C
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为|a|＝2，a·(b－a)＝－1，
所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，
所以a·b＝3.又因为|b|＝3，设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：C
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( )
A．2
B．4
C．6
D．12
解析：(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos
60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．
答案：C
5．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为a·b＞0，所以cos
θ＞0，所以θ∈.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
解析：方法一 ·＝||||cos(180°－∠B)＝－||||cos∠B＝－||||·＝－||＝－1.
方法二 ||＝1，即为单位向量，·＝－·＝－||||cos∠B，而||·cos∠B＝||，所以·＝－||＝－1.
答案：－1
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，cos
θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
8．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为________．
解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝3×cos＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a2－b2；
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
解析：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos
120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60.
10．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；
(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；
(3)如图，已知在?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
解析：(1)a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，
∴|a＋b|＝＝
＝
＝5，
|a－b|＝＝＝＝5，
|3a＋b|＝＝＝＝5.
(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.
(3)设＝a，＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝.
∴a·b＝|a||b|cos
θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，BD＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是( )
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
解析：设BC的中点为M，则化简(－)·(＋－2)＝0，得到·(＋)＝·(2)＝2·＝0，则·＝0，∴⊥，∴AM是△ABC的边BC上的中线，也是高，故△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
答案：B
12．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中为正确命题的是________(填序号)．
解析：(a·b)c表示与向量c共线的向量，(c·a)b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；[(b·c)a－(c·a)b]·c＝0，即(b·c)a－(c·a)b与c垂直，故②错误；显然③正确．
答案：③
13．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．
解析：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.
∵|p|＝|a＋b|＝＝＝，
|q|＝|a－b|＝＝＝1，
∴cos
θ＝＝＝.
14．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝－1，
∴cos
θ＝－，∴θ＝.
(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
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1
-2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
数量积的坐标表示
c
c
两个向量夹角的坐标运算
b
b
平面向量模的坐标运算
b
b
知识导图
学法指导
1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．
2．通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
对数量积的坐标表示的理解
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；
(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；
(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．
2．三个重要公式
向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝
两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝
向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝
对向量模长公式的理解
(1)模长公式是数量积的坐标表示·＝x1x2＋y1y2的一种特例，当＝时，则可得||2＝x＋y；
(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.( )
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( )
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7
C．－23
D．－7
解析：由数量积的计算公式得，a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7.
答案：D
3．已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
答案：A
4．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
解析：因为a＋b＝(－1,
)，所以|a＋b|＝＝2.
答案：2
类型一 数量积的坐标运算
例1 (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12)
B．0
C．－3
D．－11
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 (1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
(2)因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－.
【答案】 (1)C (2)D
(1)先求出＋2，然后利用平面向量的数量积求出(＋2)·.
(2)利用平面向量的数量积运算求出·，由·＝－1得出关于x的方程求解．
方法归纳
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
跟踪训练1 已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
解析：设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以解得所以c＝.
答案：
设＝(x，y)，利用平面向量的数量积运算，列出关于x，y的方程求解．
类型二 平面向量的模
例2 (1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝( )
A.
B.
C．2
D．5
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【解析】 (1)因为a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝－.
所以a＋b＝＋(1，－2)＝，|a＋b|＝＝.
(2)由题意，知a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，所以|a＋b|＝＝2，|a－b|＝4.
【答案】 (1)B (2)2 4
(1)两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.
(2)已知＝(x，y)，则||＝
.
方法归纳
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
跟踪训练2 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a·b＝10，则a的坐标为______．
【解析】 (1)因为a∥b，所以1·y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.
(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得
即解得或所以a＝(10,0)或a＝(－6,8)．
【答案】 (1)A (2)(10,0)或(－6,8)
(1)由∥求y，再求3＋的坐标，利用公式求模．
(2)设(x，y)，由已知列方程组，求x，y.
类型三 平面向量的夹角(垂直)
例3 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A.30°
B．60°
C．120°
D．150°
(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ等于________．
【解析】 (1)由a·b＝－10，得
(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，∴c·a＝－.
设a与c的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
(2)方法一 λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)．
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，
∴λ＝－1.
方法二 ∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，即λa2＝2a·b，
∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即2λ＝－2，∴λ＝－1.
【答案】 (1)C (2)－1
(1)先求·，再由已知求·最后利用cosθ＝，求夹角．(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程，求解即可．
方法归纳
利用数量积求两向量夹角的步骤
数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
模:利用|a|＝计算出这两个向量的模.
余弦值:由公式cos
θ＝直接求出cos
θ的值.
角:在0≤θ≤π内，由cos
θ的值求角θ.
跟踪训练3 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解析：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12.
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3，所以b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m、n的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
即m，n的夹角为.
(1)由∥求x，由⊥求y.
(2)利用cosθ＝，求夹角．
2.4.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－
B.
C．2
D．6
解析：依题意得6－m＝0，m＝6，选D.
答案：D
2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
答案：C
3．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，
∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝.
答案：C
4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，则k＝( )
A．－6
B．－1
C．1
D．6
解析：∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.
答案：C
5．设向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则a·b＝x－＝0，得x＝，∴a－b＝(，1)－(1，－)＝(0,4)，(a－b)·b＝0×1＋4×(－)＝－4，|a－b|＝4，|b|＝2，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－，∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.
解析：因为a＝(－4,3)，所以2|a|2＝2×()2＝50.
a·b＝－4×1＋3×2＝2.
所以2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.
答案：44
7．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.
解析：由题意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.
答案：－1
8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，
设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，
又因为cos
α＝，cos
θ＝，
由题意知＝，即＝.
解得m＝2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
10．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．
(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
解析：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得所以或
故c＝(－3,3)或c＝(3，－3)．
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，∴a·b＝1，
故cos
θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2
B．－
C．－
D．－1
解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.
·(＋)＝2·＝2(－1－x，－y)·＝2[(x＋1)·＋y·]＝2[2＋2－].
因此，当x＝－，y＝时，·(＋)取得最小值，为2×＝－，故选B.
答案：B
12．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t＝________.
解析：因为a＝(4，－3)，b＝(2,1)，
所以a＋tb＝(2t＋4，t－3)，
所以(a＋tb)·b＝5t＋5.
又|a＋tb|＝
＝，
|b|＝，(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos
45°，
所以5t＋5＝××，
整理得t2＋2t－3＝0，
解得t＝1或t＝－3，
经检验知t＝－3不成立，故t＝1.
答案：1
13．在△PQR中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△PQR的一个内角为直角，求k的值．
解析：(1)当∠P为直角时，PQ⊥PR，
∴·＝0，即2＋3k＝0，∴k＝－.
(2)当∠Q为直角时，QP⊥QR，
易知＝(－2，－3)，＝－＝(－1，k－3)．
由·＝0，得2－3(k－3)＝0，∴k＝.
(3)当∠R为直角时，RP⊥RQ，
易知＝(－1，－k)，＝－＝(1,3－k)．
由·＝0，得－1－k(3－k)＝0，∴k＝.
综上所述，k的值为－或或或.
14．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解析：(1)由a＝(1,2)，得|a|＝＝，
又|c|＝2，所以|c|＝2|a|.
又因为c∥a，所以c＝±2a，
所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)因为a＋2b与2a－b垂直，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，将|a|＝，|b|＝代入，
得a·b＝－.
所以cos
θ＝＝－1，
又由θ∈[0，π]，得θ＝π，
即a与b的夹角为π.
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7
-2.5 平面向量应用举例
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
平面向量在平面几何中的简单应用
b
b
平面向量在物理中的简单应用
a
a
知识导图
学法指导
1.本节的重点是用向量解决实际问题的两种方法(基底法和坐标法)和向量法解决几何问题的“三步曲”；难点是如何将实际问题转化为向量问题．
2．通过练习，体会平面几何中的向量方法与代数方法的区别：前者的思路是“形到向量→向量的运算→向量和数到形”，后者的思路是“形到数→数的运算→数到形”．
3．向量在物理中的应用，应注意两个方面：一是体会如何把物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用向量来解决这个数学模型.
1.物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．
2．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等：通过向量运算，证明
2＝
2，即可证明AB＝CD.
(2)证明线段平行：利用＝λ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD.
(3)证明线段垂直：利用·＝0，证明两线段垂直．
(4)证明三点共线：利用＝λ(λ∈R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为＝x＋y(x，y∈R，x＋y＝1)，其中O为空间任意一点．
(5)证明四点共面：利用＝λ＋μ(λ，μ∈R)可以证明点P，A，B，C四点共面．
(6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用||＝求长度．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( )
(2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.( )
(3)若向量∥，则AB∥CD.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B.⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
解析：因为＝(－2,0)，＝(2,4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．
答案：D
3．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0)
B．(－5,0)
C.
D．－
解析：F1＋F2＝＋＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝＝.
答案：C
4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．
解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
类型一 向量在几何中的应用
例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【证明】 方法一 设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二 建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式(基底法)，也可以考虑坐标的形式(坐标法)．
方法归纳
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A.平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
(2)若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的( )
A.内心
B．外心
C．垂心
D．重心
解析：(1)由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
(2)如图，取AB的中点E，连接OE，
则＋＝2.
又＋＋＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．
答案：(1)D (2)D
(1)由
＋＝可得∥，||＝||，·＝0可得⊥.
(2)作出图形，取AB的中点E，连接OE.
类型二 向量在物理中的应用
例2 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1
N)和方向(精确到分)．
【解析】 设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，
则a1＝300cos
30°＝150，a2＝300sin
30°＝150，b1＝－200cos
45°＝－100，b2＝200sin
45°＝100，
所以F1＝(150，150)，F2＝(－100，100)，
则F＝F1＋F2＝(150，150)＋(－100，100)＝(150－100，150＋100)，
|F|＝＝100≈314.6.
设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tan
θ＝≈2.461
6.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
故两个力的合力约是314.6
N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′.
利用，的大小和夹角→确定，的坐标→求出的坐标→进而得到的大小和方向
方法归纳
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
跟踪训练2 一艘船从A点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2
km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)．
解析：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝＝4，
∴tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°，
故船实际航行速度的大小为4
km/h，方向与水流速间的夹角为60°.
用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解．
2.5
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0
B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x－2y－4＝0
解析：设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则·a＝0，又＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即所求直线方程为2x＋y－7＝0.
答案：A
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．
答案：D
3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
解析：＝(3,3)，＝(－2，－2)，所以＝－，与共线，但||≠||，故此四边形为梯形．
答案：A
4．河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
解析：由题意知|v水|＝2
m/s，|v船|＝10
m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小
|v|＝＝＝2
(m/s)．
答案：B
5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为＝－＝－，
所以2＝2＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．
答案：50
7．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由＝3e，＝5e，得∥，
≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形
8．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析：因为＝(＋)＝(－1,2)，所以·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
解析：方法一 设正方形ABCD的边长为1，
AE＝a(0
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos
180°＋1×(1－a)×cos
90°＋a×a×cos
45°＋a×(1－a)×cos
45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
所以⊥，即DP⊥EF.
方法二 设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，
所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，
由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以⊥，即DP⊥EF.
10．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50
N，F拉着一个重80
N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20
m，问F及摩擦力f所做的功分别为多少？
解析：设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos
30°＝50×20×＝500(J)，
F在竖直方向上的分力大小为|F|sin
30°＝50×＝25(N)，
∴摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
∴f·s＝|f|·|s|cos
180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
∴F，f所做的功分别是500
J，－22
J.
[能力提升](20分钟，40分)
11．如果一架飞机先向东飞行200
km，再向南飞行300
km，设飞机飞行的路程为s
km，位移为a
km，则( )
A．s>|a|
B．s<|a|
C．s＝|a|
D．s与|a|不能比较大小
解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.
答案：A
12．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|＝，则·等于________．
解析：由已知得△ABC为正三角形，向量与的夹角为120°，所以·＝·cos
120°＝－.
答案：－
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
解析：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风是每小时a千米的西北风．
14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解析：
(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
A(0，m)，B(n,0)，
因为D为AB的中点，所以D，，
所以||＝，
||＝，
所以||＝||，即CD＝AB.
(2)因为E为CD的中点，所以E.
设F(x,0)，则＝，
＝(x，－m)．
因为A，E，F三点共线，所以＝λ.
即(x，－m)＝λ.
则
故λ＝，即x＝，所以F，
所以||＝，即AF＝.
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