(共21张PPT)
第1课时 二维形式的柯西不等式
1．定理1：(二维形式的柯西不等式)设a，b，c，d均为实数，则：
(a2＋b2)(c2＋d2)≥________，
其中等号当且仅当________时成立．
(ac＋bd)2
ad＝bc
ad＝bc
ad＝bc
|ad|＝|bc|
|α|·|β|
β是零向量
存在实数k，使α＝kβ
【例1】 证明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2.
【解题探究】 虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再进行比较，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可简化计算．
【解析】根据柯西不等式，有(x2＋y4)(a4＋b2)≥(x·a2＋y2·b)2＝(a2x＋by2)2.(当且仅当xb＝y2a2时取等号)
利用柯西不等式证明不等式
联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算．所以，经典不等式是数学研究的有力工具．
利用柯西不等式求最值
(1)本例应用了柯西不等式的变形形式，困难在于弄清对应于柯西不等式中a，b，c，d的是哪4个数．
(2)解此类问题时，应先求出函数的定义域．
构造柯西不等式求最值
3．已知|x－2y|＝5，证明：x2＋y2≥5.
【证明】由柯西不等式有(x2＋y2)[12＋(－2)2]≥(x－2y)2，
即5(x2＋y2)≥|x－2y|2.
∵|x－2y|＝5，∴5(x2＋y2)≥25，即x2＋y2≥5.
1．柯西不等式主要用于证明不等式和求最值，常用到推论1和推论2，要注意公式应用的前提条件和等号成立的条件．
2．在柯西不等式的应用过程中，常常需要对式子的结构进行适当的拼凑或变形，构造与柯西不等式一致的形式，弄清问题中的哪些数对应于柯西不等式中的a，b，c，d很重要．
3．有些问题既可用柯西不等式，也可用基本不等式来解决，需要分清两种不等式的结构特点．(共24张PPT)
第2课时 一般形式的柯西不等式
(a1b1＋a2b2＋a3b3)2
bi＝0(i＝1,2,3)
存在一个数k，使得ai＝kbi
(i＝1,2,3)
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
bi＝0(i＝1,2，…，n)
存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，
…，n)
3．已知x，y，z∈R且x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值是______．
【例1】 已知x，y，z∈R且2x＋3y＋6z＝12，求x2＋y2＋z2的最小值．
【解题探究】 利用三维柯西不等式可解．
三维柯西不等式求最值
本题由2x＋3y＋6z＝12以及x2＋y2＋z2的形式，通过构造(22＋32＋62)作为一个因式，从而利用三维柯西不等式使问题得到解决．
1．若2x＋3y＋z＝7，求x2＋y2＋z2的最小值．
三维柯西不等式证明不等式
与二维柯西不等式的应用一样，巧用条件x＋y＋z＝1，构造与三维柯西不等式一致的形式解决问题．
一般形式的柯西不等式
应用柯西不等式解题时，首先应进行必要的变形或构造相应的式子，使条件符合柯西不等式的形式，然后解得．
1．对一般形式的柯西不等式的理解：
对于一般形式的柯西不等式，应该类比二维柯西不等式，通过几何意义来理解．
2．不等式的应用：
一般形式的柯西不等式有着广泛的应用，尤其是证明不等式和求最值方面．在应用过程中，常常需要进行适当的变形、拼凑，得到与不等式一致的形式．(共20张PPT)
第3课时 排序不等式
定理：(排序不等式，又称排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥______________________≥______________________，当且仅当________________或________________时，反序和等于顺序和．
a1c1＋a2c2＋…＋ancn
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1
a1＝a2＝…＝an
b1＝b2＝…＝bn
【解析】(1)由二维柯西不等式，得①成立；
(2)由排序不等式，得②成立；
(3)由三维柯西不等式，得③成立；
(4)缺条件a，b大于0，不成立．
【例1】 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，问最少要花多少钱？最多要花多少钱？
【解题探究】 这是一道应用问题，可用排序不等式解得．
【解析】由排序不等式知：顺序和≥乱序和≥反序和，
所以花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)，
花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．
利用排序原理求最值
利用排序原理证明不等式
1．对排序不等式的理解：
在排序不等式中，设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意排列．
顺序和为S1＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
乱序和为S2＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn，
反序和为S3＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，
则S1≥S2≥S3，即顺序和≥乱序和≥反序和．
2．排序不等式的应用：
排序不等式有着广泛的应用．在应用过程中，首先在于能根据需要确定两组数a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn，并排好顺序．
3．因为柯西不等式和排序不等式中，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn的形式，使得有些问题两种方法都可以解决，有些问题却不能．这就需要在对两种不等式有深入的理解的基础上，对问题的条件进行细致的分析，从而确定用哪种不等式解题．
