数列
§1 数列
1．1 数列的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)
1．通过数列基本概念的学习培养数学抽象素养．2．通过数列通项公式的应用培养逻辑推理及数学运算素养．
1．数列的基本概念
阅读教材P3～P4，完成下列问题．
(1)数列的有关概念
数列
按一定次序排列的一列数叫作数列
项
数列中的每一个数叫作这个数列的项
首项
数列的第1项常称为首项
通项
数列中的第n项an叫数列的通项
(2)数列的表示
①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；
②字母表示：上面数列也可记为{an}．
③数列的分类
分类标准
名称
含义
举例
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3,4，…，n
无穷数列
项数无限的数列
1,4,9，…，n2，…
思考：(1)数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？
[提示] 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．
(2)数列的项和项数有何区别？
[提示] 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1．
2．通项公式
阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．
(1)如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．
(2)数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
思考：(1)若an＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？
[提示] 因为an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8．
(2)数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示] 数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
1．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的( )
A．第9项
B．第10项
C．第11项
D．第12项
C [由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11．故选C．]
2．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝n＋1
C．an＝n＋2
D．an＝2n
C [经检验可知，它的一个通项公式为an＝n＋2．]
3．若数列{an}的通项公式为an＝sin
，则a2＝________．
0 [a2＝sin
＝sin
π＝0．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．
1 －1 [当n＝8时，a8＝(－1)8＝1．
当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1．]
数列的概念
【例1】 (1)下列说法错误的是( )
A．数列0,1,2,3，…的首项是0
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项都不等于3
C．数列中的每一项都是数
D．如果已知数列的通项公式，那么可以写出该数列的任意一项
(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．
①8,8,8,8；
②－3，－1,1，x,5,7，y,11；
③当n取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．
(1)B [同一个数可以在一个数列中重复出现，故B错误．]
(2)[解] ①能构成数列，且构成的是有穷数列．
②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．
③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1,1，…．
数列及其分类的判定方法
?1?判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数．
?2?判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．
1．下列说法正确的是( )
A．1,2,3,4，…，n是无穷数列
B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列
C．同一个数在数列中不能重复出现
D．数列{2n＋1}的第6项是13
D [A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．
B错误，数列是有次序的．
C错误，数列中的数可以重复出现．
D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13．]
根据数列的前n项写出数列的通项公式
【例2】 根据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；(2)，2，，8，，…；
(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2
222，…．
[解] (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．
故an＝．
(2)将分母统一成2，则数列变为，，，，，…，其各项的分子为n2．
∴an＝．
(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，
故an＝(－1)n·n．
(4)通过观察分析可知所求通项公式为an＝(10n－1)．
由数列的前几项求通项公式的思路
(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．
(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．
(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．
(4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．
2．(1)数列1，，，，，…的一个通项公式an＝( )
A．
B．
C．
D．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①，，，，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，…．
(1)B [由已知得，数列可写成，，，，，…，故通项公式为．]
(2)[解] ①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
所以an＝．
②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，
所以an＝(－1)n(2n＋1－1)．
③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．所以an＝4＋(－1)n·2或an＝
通项公式的应用
[探究问题]
1．已知数列{an}的通项公式，如何求数列的某一项？
[提示]
把n的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值关于n的方程．
2．已知数列{an}的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？
[提示] 假定这个数是数列中的第n项，由通项公式可得关于n的方程，解方程求得n，若n是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n不是正整数，则该数不是数列中的项．
【例3】 数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
思路探究：(1)??
(2)???
[解] (1)若0是{an}中的第n项，则＝0，
因为n∈N＋，所以n＝21．所以0是{an}中的第21项．
若1是{an}中的第n项，则＝1，
所以n2－21n＝2，
即n2－21n－2＝0．
因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，
所以1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10．
所以数列{an}中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．
1．(变条件)在例3中，把“an＝”改为“an＝n2－3n”，解答(1)(2)两题．
[解] (1)若0是{an}中的第n项，则n2－3n＝0，因为n∈N＋，所以n＝3，故0是{an}中的第3项．
若1是{an}中的第n项，则n2－3n＝1，即n2－3n－1＝0，因为方程n2－3n－1＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，所以m2－3m＝(m＋1)2－3(m＋1)，解得m＝1．
所以数列{an}中存在连续的两项，第1项与第2项相等．
2．(变结论)例3的条件不变，求a3＋a4的值和a2n．
[解] a3＋a4＝＋＝－61，a2n＝＝2n2－21n．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
1．观察法写通项公式的注意事项
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
2．并非每一个数列均有通项公式，例如由的不足近似值构成的数列1,1．4,1．41,1．414，…，便无通项公式．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列中的项不能相等．
( )
(2)数列1,2,3,4，…，n－1，只有n－1项．
( )
(3)数列1,2,3,4，…，n2是无穷数列．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n2共n2项，是有穷数列，故(3)错．
2．在数列－1,0，，，…，，…中0．08是它的( )
A．第100项
B．第12项
C．第10项
D．第8项
C [由题意知，an＝．
令an＝0．08，即＝，
所以n＝10，n＝(舍去)，故选C．]
3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________．
3－4n [根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．
因为an＝3－2n，
所以a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝．
(1)写出数列的前三项；
(2)和是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？
[解] (1)数列的前三项：a1＝＝1，
a2＝＝＝，
a3＝＝＝．
(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，
注意到n∈N＋，故n＝－8舍去．
所以是数列{an}的第5项．
令＝，则4n2＋12n－27＝0，
解得n＝或n＝－，
注意到n∈N＋，所以不是数列{an}中的项．
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8
-1．2 数列的函数特性
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．2．掌握判断数列增减性的方法．(重点)3．利用数列的增减性求最大值、最小值．(难点、易混点)
1．通过数列的函数性质的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助数列单调性的研究培养学生的逻辑推理素养．
数列的单调性
阅读教材P6～P7“例3”以上部分，完成下列问题．
(1)数列的函数特性
数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法．
(2)数列的单调性
名称
定义
判断方法
递增数列
从第2项起，每一项都大于它前面的一项
an＋1＞an
递减数列
从第2项起，每一项都小于它前面的一项
an＋1＜an
常数列
各项都相等
an＋1＝an
思考：(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，那么数列an＝f(n)也单调递增吗，反之成立吗？
[提示] 若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数an＝f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)＝，数列an＝f(n)单调递增，但f(x)＝在[1，＋∞)上不是单调递增．
(2)如何判断数列的单调性？
[提示] 比较数列中相邻的两项an与an＋1的大小来确定其单调性．
1．数列an＝n＋1是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不能确定
A [an＋1－an＝[(n＋1)＋1]－(n＋1)＝1＞0，故an＋1＞an，所以an＝n＋1是递增数列．]
2．若数列{an}为递增数列，其通项公式为an＝kn－2，则实数k的取值范围是________．
(0，＋∞) [由题意知an＋1－an＝[k(n＋1)－2]－(kn－2)＝k＞0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)．]
3．下列数列：
①1,2,22,23，…； ②1,0．5,0．52,0．53，…；
③7,7,7,7，…； ④－2,2，－2,2，－2，…．
递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________．(填序号)
[答案] ① ② ④ ③
4．判断数列的单调性，并加以证明．
[解] 数列是递增数列，证明如下：
记an＝，则
＝＝>＝1，
又an>0，则an＋1>an．
所以，是递增数列．
数列的图像
【例1】 在数列{an}中，an＝n2－8n．
(1)画出{an}的图像；
(2)根据图像写出数列{an}的增减性．
[解] (1)列表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
an
－7
－12
－15
－16
－15
－12
－7
0
9
…
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…
图像如图所示．
(2)数列{an}在[1,4]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的．
画数列的图像的方法,数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以项数n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为?n，an?描点画图，就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N＋?或它的有限子集{1，2，3，…，n}?，所以其图像是一群孤立的点.
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图像，并判断增、减性．
[解] 图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．
数列的单调性
【例2】 判断数列的增减性．
[解] ∵an＝，
∴an＋1＝＝．
法一：(作差法)an＋1－an＝－
＝
＝，
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，
∴数列为递增数列．
法二：(作商法)∵n∈N＋，∴an>0．
∵＝＝＝＝1＋>1，
∴an＋1>an，∴数列为递增数列．
法三：(构造函数法)令?(x)＝(x≥1)，则
?(x)＝＝，
∴函数?(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴数列是递增数列．
数列单调性的判断方法
?1?利用图像是上升还是下降来判断数列的单调性；
?2?若已知数列的通项公式an＝f?n?，则可通过比较an＋1与an的大小来判断数列的单调性，在比较an＋1与an的大小时，常用作差比较法或作商比较法比较；
?3?通过考察函数y＝f?x??x≥1?的单调性来判断数列an＝f?n?的单调性.
2．(1)若数列{an}是递减数列，则其通项公式可能是( )
A．an＝2n
B．an＝n2
C．an＝
D．an＝log2n
(2)若an＝n2＋bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是________．
(1)C (2)(－3，＋∞) [(1)由于函数f(x)＝是减函数，故数列an＝是递减数列，选C．
(2)由题意知an＋1－an＝[(n＋1)2＋b(n＋1)]－(n2＋bn)＝2n＋1＋b＞0恒成立，即2n＋1＋b＞0，b＞－2n－1恒成立，而n∈N＋时，－2n－1的最大值为－3(n＝1时)，所以b＞－3，即b的取值范围为(－3，＋∞)．]
数列单调性的应用
[探究问题]
1．(1)数列{an}中，an＝1＋，试判断{an}的增减性．
(2)数列{an}中，an＝，试判断{an}的增减性．
[提示] (1)因为函数y＝1＋在(0，＋∞)上单调递减，所以数列an＝1＋是递减数列．
(2)由an＝＝1＋，由(1)可知，an＝是递减数列．
2．已知无穷数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还是有最小项？作出判断并求出来．
[提示] an＝＝1＋，当n≤9时，an＜1，当n≥10时，an＞1，且随n的递增an递减，故数列{an}有最大项，其最大项为a10＝．
【例3】 在数列{an}中，an＝(n＋1)
(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}先递增后递减；
(2)求数列{an}的最大值．
思路探究：法一：先考虑数列{an}的单调性，然后利用单调性求最值．
法二：利用不等式组寻求最大值．
[解] 法一(单调性法)：(1)令＞1(n≥2)，即eq
\f(?n＋1?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))),n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))))＞1，
整理得＞，解得n＜10．
令＞1，即eq
\f(?n＋1?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))),?n＋2?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))))＞1，
整理得＞，解得n＞9．
所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先增后减．
(2)由(1)知a9＝a10＝为最大值．
法二：(不等关系法)(1)假设数列{an}中存在最大项．
因为an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·，
当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，
故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减．
(2)由(1)知a9＝a10＝为最大值．
1．(变条件)将例题中的“an＝(n＋1)”换为“an＝－2n2＋9n＋3”如何求{an}中的最大项．
[解] 由an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋．
∵n为正整数，
∴当n＝2时，an取得最大值，
a2＝－2×22＋9×2＋3＝13．
即数列{an}的最大项为a2＝13．
2．(变结论)在例3中，若n的取值范围是n∈N＋，且n≤10，求数列{an}的最小项．
[解] 由例3知数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，所以a1最小，a1＝．
数列中最大项与最小项的两种求法
?1?若求最大项an，则an应满足若求最小项an，则an应满足但要与a1作比较.
?2?将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件.
1．判断一个数列的增减性，可利用数列图像变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．
2．有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决，也常转化为函数的最值问题．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列是递增数列．
( )
(2)数列的图像是一群孤立的点．
( )
(3)递减数列一定有最大项，递增数列一定有最小项．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
A [因为an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3>0，所以数列是递增数列．]
3．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1,2，－3,4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
C [由递增数列的知识，可知属于递增数列的是选项C、D；由无穷数列的知识，可知属于无穷数列的是选项A，B，C(用省略号)．故既是无穷数列又是递增数列的是选项C．]
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝．
(1)求a2，a3，a4；
(2)求证：an＋2＝an．
[解] (1)a2＝＝0；a3＝＝1；a4＝＝0．
(2)证明：an＋2＝＝＝＝an．
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1
-§2 等差数列
2．1 等差数列
第1课时 等差数列的概念及其通项公式
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习
目
标
核
心
素
养
1．理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点)3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点)
1．通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养．
1．等差数列的概念
阅读教材P10～P11例1以上部分，完成下列问题．
文字语言
从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d表示
符号语言
若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列
思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？
[提示] 不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列．
(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？
[提示] 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．
如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
思考：(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2，可以求其通项公式吗？
[提示] 可以，可利用a2－a1＝d求出d，即可求出通项公式．
(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？
[提示] 不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数．
3．等差数列通项公式的推导
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，根据等差数列的定义得到a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…
所以a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝a1＋d＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝a1＋2d＋d＝a1＋3d，
……
由此归纳出等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
1．等差数列{an}中a1＝2，公差d＝3，则an＝( )
A．2n＋1
B．3n＋1
C．2n－1
D．3n－1
D [an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1．]
2．在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则公差d＝( )
A．4
B．2
C．－4
D．－2
B [a3－a1＝4－0＝2d，故d＝2．]
3．等差数列，－，－，…的第10项为( )
A．－
B．－
C．
D．
B [由a1＝，d＝－－＝－2，得
an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋．
所以a10＝－2×10＋＝－．]
4．已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝_________．
10 [由a7＝a1＋6d＝8且d＝－代入解得a1＝8－6d＝8＋2＝10．]
等差数列的判定
【例1】 判断下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n．
[解] (1)因为an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，所以数列{an}是等差数列．
(2)因为an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所以数列{an}不是等差数列．
等差数列的判断方法——定义法
等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用an＋1－an＝d?常数?或an－an－1＝d?d为常数且n≥2?.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
1．若数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，求证：数列是等差数列．
[证明] 由an＋1＝得＝＝2＋，
即－＝2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．
等差数列的通项公式及应用
【例2】 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an．
[解] (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
故an＝8－3(n－1)＝11－3n，
则a20＝11－3×20＝－49．
(2)由题意可得
解得d＝2，a1＝2，
故an＝2n．
等差数列通项公式的四个应用
?1?已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量.
?2?由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
?3?根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求出待求项.
?4?若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列.
2．(1)等差数列{an}中，a2＝4，公差d＝3，an＝22，求n；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
[解] (1)由条件知解得a1＝1，n＝8．
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1．
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
等差数列的实际应用
[探究问题]
1．一种游戏软件的租金，第一天5元，以后每一天比前一天多1元，那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？
[提示] 每天的租金构成以5为首项，以1为公差的等差数列，an＝5＋(n－1)×1＝n＋4(n≥2)．
2．根据问题1的条件，试求第6天的租金．
[提示] a6＝6＋4＝10，即第6天的租金为10元．
【例3】 某市出租车的计价标准为1．2
元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
思路探究：某人需支付的车费构成等差数列，运用等差数列的知识去解决．
[解] 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1．2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11．2，表示4
km处的车费，公差d＝1．2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11．2＋(11－1)×1．2＝23．2(元)．即需要支付车费23．2元．
1．(变条件)在例3中，若某人乘坐该市的出租车去往18．5
km(不足1
km，按1
km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么，需支付多少车费？
[解] 由题意知，当出租车行至18．5
km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11．2＋(16－1)×1．2＝29．2(元)．
2．(变结论)在例3中，若某人乘坐该市的出租车去往n
km(n∈N＋)处的目的地，求其需支付的车费an．
[解] 当n∈{1,2,3}时，an＝10，
当n∈N＋，且n≥4时，an＝11．2＋(n－4)×1．2＝1．2n＋6．4．
所以an＝
应用等差数列解决实际问题的步骤
(1)审题，读懂题意，把握已知条件与求解问题．
(2)将实际问题抽象为等差数列模型．
(3)利用等差数列解决问题．
(4)验证答案是否符合实际问题的意义．
1．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，所以，首项a1与公差d是确定一个等差数列的两个基本量．
2．在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，利用通项公式an＝a1＋(n－1)d可以构建关于第四个量的方程，从而可以求出第四个量．
3．等差数列判断的关键是看an－an－1(n≥2)是否为一个与n无关的常数，但要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可，例如a2－a1≠a3－a2．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列是等差数列．
( )
(2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．
( )
(3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确，(2)不正确，数列－1，－2，－3，－4，－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确，公差d＝a8－a7．
2．下列数列是等差数列的是( )
A．，，，
B．1，，，
C．1，－1,1，－1
D．0,0,0,0
D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列，选D．]
3．在等差数列{an}中，a2＝4，a8＝a6＋3，则a1＝________．
[由已知得解得a1＝．]
4．在等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，求a20，an．
[解] 由a5＝10，a12＝31，
得7d＝a12－a5＝21，
所以d＝3，a1＝a5－4d＝10－4×3＝－2．
所以a20＝a1＋19d＝－2＋19×3＝55，
an＝a1＋(n－1)d＝－2＋3(n－1)＝3n－5(n∈N＋)．
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-第2课时 等差数列的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握等差中项的概念及其应用．2．掌握等差数列的项与序号的性质．(重点)3．理解等差数列的项的对称性．(重点)4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题．(难点)
1．通过对等差数列性质的研究与应用，培养逻辑推理与数学运算素养．2．通过学习等差中项的概念，提升数学抽象素养．
1．等差数列的单调性与图像
阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题
(1)等差数列的图像
由an＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．
(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d．
当d＞0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示．
当d＜0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示．
当d＝0时，{an}为常数列，如图(丙)所示．
甲 乙 丙
思考：(1)等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？
[提示] 因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列．
(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？
[提示] 等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．
2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．
思考：(1)若A是a与b的等差中项，如何用a和b表示A?
[提示] A＝．
(2)若数列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 是．因为an是an－1和an＋1的等差中项，所以an－1，an，an＋1成等差数列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差数列的定义知数列{an}是等差数列．
1．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为5d的等差数列
C．非等差数列
D．以上都不对
B [由等差数列的定义知an－an－1＝d，
所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d，故选B．]
2．等差数列{an}中，a2＝3，a7＝18，则公差为( )
A．3
B．
C．－3
D．－
A [a7－a2＝5d，即5d＝15，d＝3．]
3．＋1和－1的等差中项为________．
[＝．]
4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________．
3 [a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3．]
等差数列的性质
【例1】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8；
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
[解] (1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d．
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝．
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝．
法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6．
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝．
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105．
等差数列性质的应用,解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2ω，则am＋an＝ap＋aq＝2aω?m，n，p，q，ω都是正整数?；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.
1．在公差为d的等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d．
[解] 法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48．
∴4a13＝48．∴a13＝12．
(2)化成a1和d的方程组如下：
解得或
∴d＝3或－3．
法二：(1)由等差数列性质知a2＋a24＝a3＋a23，又a2＋a3＋a23＋a24＝48，
∴a3＋a23＝24＝2a13，∴a13＝12．
(2)由等差数列性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34，
∴a2＋a5＝17．又∵a2·a5＝52，
∴或
∴d＝＝3或d＝＝－3．
等差中项及其应用
【例2】 在－1与7之间依次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
[解] ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3．
又a是－1与b的等差中项，
∴a＝＝1．
又c是b与7的等差中项，
∴c＝＝5．
所以，该数列为－1,1,3,5,7．
在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1?n≥2，n∈N＋?，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起每一项都是它前一项与后一项的等差中项，反之，也成立.
2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
[解] 由m与2n的等差中项为4，得
＝4，
所以，m＋2n＝8，
①
由2m与n的等差中项为5，得
＝5，
所以，2m＋n＝10，
②
①与②两式相加，得
3(m＋n)＝18，
所以，＝3，即m与n的等差中项为3．
等差数列性质的综合应用
[探究问题]
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，am和an分别是数列的第m项和第n项，怎样用am，an表示公差d？在等差数列中，d的几何意义是什么？
[提示] d＝，d的几何意义是等差数列所在图像的斜率．
2．等差数列{an}中，若m＋n＝p，是否有am＋an＝ap成立？
[提示] am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＝a1＋(p－1)d＝a1＋(m＋n－1)d，
∴am＋an≠ap．
3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？
[提示] (λan＋1＋b)－(λan＋b)＝λ(an＋1－an)＝λd(与n无关的常数)，故{λan＋b}为等差数列，公差为λd．
【例3】 在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，求数列{an}的通项公式．
思路探究：法一：由条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，可得an；
法二：利用等差数列的性质求d，利用an＝am＋(n－m)d，求an．
[解] 法一(方程组法)：由a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，得
解得d＝9，a1＝1，故an＝1＋9(n－1)＝9n－8．
法二(等差数列性质法)：因为a3＋a4＋a5＝3a4，a3＋a4＋a5＝84，故3a4＝84，得a4＝28，又a9－a4＝5d＝45，解得d＝9．
所以an＝a4＋(n－4)d＝28＋9(n－4)＝9n－8．
1．(变条件)在例3中，若条件“a3＋a4＋a5＝84”改为“a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝100”，其余不变，求an．
[解] 因为a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，故5a6＝100，a6＝20，又a9＝73，故a9－a6＝53＝3d，故d＝．
所以an＝a6＋(n－6)d＝20＋(n－6)＝n－86．
2．(变结论)例3的条件不变，若数列{bn}是等差数列，其公差为3，那么数列{2an＋3bn}是等差数列吗？若是，求出其公差．
[解] (2an＋1＋3bn＋1)－(2an＋3bn)＝2(an＋1－an)＋3(bn＋1－bn)＝2×9＋3×3＝27，所以数列{2an＋3bn}是等差数列，其公差为27．
等差数列的性质,若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质：
?1?在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q?m，n，p，q∈N＋?，则am＋an＝ap＋aq.
?2?若给出等差数列的第m项am和第n项an?n＞m?，则an＝am＋?n－m?d或d＝
?3?{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝….
?4?若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}?λ，b是常数?是公差为λd的等差数列.
?5?若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…?k，m∈N＋?组成公差为md的等差数列.
?6?若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}?A，B是常数?也是等差数列.
1．等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关．特别地，如果已知等差数列{an}的任意两项an，am，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式，得d＝(m≠n)．
2．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．
( )
(2)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5．
( )
(3)任何两个数都有等差中项．
( )
(4)若{an}是等差数列，且p，q，r是正整数，则点(p，ap)，(q，aq)，(r，ar)共线．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
[提示] (1)不正确，当公差d＝0时，其图像的连线平行于x轴；(2)(3)(4)正确．
2．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5＋a6＝( )
A．3
B．6
C．9
D．36
B [因为数列{an}是等差数列，
所以a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝30，
所以a5＋a6＝6．]
3．在等差数列{an}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则an＝________．
n＋ [因为a4＋a10＝2a7，故a7＝3，又a2＝2，所以d＝，an＝a2＋(n－2)d＝2＋(n－2)＝n＋．]
4．已知三个数成等差数列且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 依题意，设这三个数为
a－d，a，a＋d(d＞0)，则
(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，①
(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝3a2＋2d2＝116，②
由①②得a＝6，d＝2．
所以所求三个数为4,6,8．
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-2．2 等差数列的前n项和
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养
1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)3．能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点)
1．通过等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养．2．通过等差数列的前n项和公式的应用提升数学运算素养．
等差数列的前n项和公式
阅读教材P15～P16“例7”以上部分，完成下列问题：
(1)等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
(2)等差数列前n项和公式的推导
对于公差为d的等差数列，
Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，①
Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，②
由①＋②得
由此得等差数列前n项和公式
Sn＝，
代入通项公式an＝a1＋(n－1)d得
Sn＝na1＋d．
(3)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋n．
思考：(1)等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？
[提示] 不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数，它们的常数项都为0．
(2)求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
[提示] 求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．
1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝( )
A．－20
B．－40
C．－60
D．－80
D [由公式Sn＝na1＋×d得S10＝10×1＋×(－2)＝－80．]
2．Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝________．
[由题知等差数列的首项a1＝1，末项an＝n．由前n项和公式得Sn＝．]
3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________．
85 [S17＝×17×(2＋8)＝85．]
4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________．
2 [S8＝8×1＋×8×7×d＝64，解得d＝2．]
与Sn有关的基本量的运算
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a3＝16，S20＝20．求S10；
(2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；
(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则有
解得
所以S10＝10×20＋＝200－90＝110．
(2)因为Sn＝n·＋·
＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以a12＝＋(12－1)×＝－4．
(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30．
又因为Sn＝＝210，
所以n＝＝14．
等差数列中基本量计算的两个技巧
?1?利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.
?2?利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q?m，n，p，q∈N＋?，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝\f(n?a1＋an?,2)结合使用.
1．等差数列中：
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；
(2)an＝8n＋2，d＝8，求S20；
(3)d＝，n＝37，Sn＝629，求a1及an．
[解] (1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，
得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，
∴Sn＝＝＝70
336．
(2)∵an＝8n＋2，
∴a1＝10，又d＝8，
∴S20＝20a1＋×8＝20×10＋10×19×8＝1
720．
(3)将d＝，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，
Sn＝，
得解得
等差数列前n项和公式在实际中的应用
【例2】 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．宁德某新能源公司投资144万元用于新能源汽车充电桩项目，第一年该项目维修保养费用为24万元，以后每年增加8万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设第n年底，该项目的纯利润为f(n)．(纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本)
(1)写出f(n)的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利？
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目；你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由．
[解] (1)由题意，每年的维修保养费是以24为首项，8为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为f(n)，
则f(n)＝100n－－144＝－4n2＋80n－144.
令f(n)＝－4n2＋80n－144>0，解得2
∵n∈N
，∴该项目从第3年开始盈利．
(2)按方案①：年平均利润为＝80－4≤80－4×2＝32，
当且仅当n＝，即n＝6时，取等号，
∴按方案①共获利6×32＋72＝264万元，此时n＝6.
按方案②：f(n)＝－4n2＋80n－144＝－4(n－10)2＋256，
当n＝10时，f(n)max＝256，
∴按方案②，共获利256＋8＝264万元，此时n＝10.
因为两种方案都获利264万元，但方案①只需6年，而方案②需要10年，故选择方案①最合算．
应用等差数列解决实际问题的一般思路
2．(1)甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇．
(2)为了参加5
000
m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划；第1天跑5
000
m，以后每天比前一天多跑400
m，李强10天一共跑了多少m?
(1)7 [设n分钟后相遇，依题意，有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0．解之得n＝7，n＝－20(舍去)．所以相遇是在开始运动后7分钟．]
(2)[解] 将李强每一天跑的路程记为数列{an}，由题意知，{an}是等差数列，则a1＝5
000
m，公差d＝400
m．
所以S10＝10a1＋d，
＝10×5
000＋45×400＝68
000(m)，
故李强10天一共跑了68
000
m．
等差数列前n项和的性质
【例3】 (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( )
A．130
B．170
C．210
D．260
(2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________．
(1)C (2) [(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，
解得S9＝210．
(2)由等差数列的性质，知
＝＝＝＝＝．]
巧妙应用等差数列前n项和的性质
?1?“片段和”性质.,若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列.
?2?项数?下标?的“等和”性质.
?3?项的个数的“奇偶”性质.,{an}为等差数列，公差为d.
①若共有2n项，则S2n＝n?an＋an＋1?；
②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝?2n＋1?an＋1；
?4?等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n?m≠n?，,则Sm＋n＝－?m＋n?.
?5?等差数列{an}中，若Sn＝Sm?m≠n?，则Sm＋n＝0.
3．(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为( )
A．9
B．12
C．16
D．17
(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
(1)A (2)75 [(1)由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9．
(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝＝n2＋2n，
所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以数列的前10项和为3×10＋×1＝75．]
等差数列前n项和的最值
[探究问题]
1．(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，求Sn的最小值；
(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，求Sn的最小值．
[提示] (1)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，所以当n＝2时，Sn的最小值为－4．
(2)Sn＝n2－3n＝－，因为n∈N＋，所以当n＝2或n＝1时，Sn的最小值为S2＝S1＝－2．
2．(1)在等差数列{an}中，若a5＞0，a6＜0，则其前多少项的和最大？
(2)在等差数列{an}中，若a5＜0，a6＝0，其前n项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．
[提示] (1)前5项的和S5最大．
(2)因为a5＜0，a6＝0，故其公差d＞0，所以前n项和有最小值，其最小值为S5＝S6．
3．在等差数列{an}中，若d＜0，S10＝0，则其前多少项的和最大？
[提示] S10＝×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝0，故a1＋a10＝a5＋a6＝0，因为d＜0，所以a5＞0，a6＜0，所以S5最大．
【例4】 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
思路探究：(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；
(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．
[解] (1)由题意得
得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12．
(2)法一：Sn＝＝(3n2－21n)
＝－，
∴当n＝3或4时，
前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18．
法二：设Sn最小，则
即解得3≤n≤4，
又n∈N＋，∴当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18．
1．(变条件)把例4中的条件“S15＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
[解] S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，
an＝a3＋(n－3)d＝28－n．
设Sn最大，则解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378．
2．(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n．
[解] 法一：因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x＝，所以当x＝0或x＝7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7．
法二：因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7．
等差数列前n项和的最值问题的两种解法
?1?利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值.
?2?利用Sn：由，利用二次函数配方法求取得最值时n的值.
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
2．数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．
( )
(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．
( )
(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和；(3)正确．
2．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是( )
A．12
B．24
C．36
D．48
B [S10＝×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝120，故a1＋a10＝24．]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝(其中S奇与S偶分别表示奇数项的和与偶数项的和)，则公差d＝________．
2 [由得所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2．]
4．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n．
[解] (1)由已知条件得
解得
S10＝10a1＋×d＝10×3＋45×4＝210．
(2)S7＝＝7a4＝42，所以a4＝6．
所以Sn＝＝＝＝510，
所以n＝20．
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11
-§3 等比数列
3．1 等比数列第1课时 等比数列的概念及其通项公式
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解等比数列的定义．(重点)2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3．熟练掌握等比数列的判定方法．(重点)
1．通过等比数列概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助于等比数列通项公式的学习，提升学生的数学运算素养．
1．等比数列的定义
阅读教材P21～P22“例1”以上部分，完成下列问题．
文字语言
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，公比常用字母q表示(q≠0)
符号语言
若＝q(n≥2，q≠0)，则数列{an}为等比数列
思考：(1)如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列一定是等比数列吗？
[提示] 不一定，只有比值是同一个常数才是等比数列，如数列：2,2,3,3,4,4，就不是等比数列．
(2)0可以作为等比数列中的一项吗？公比q可以为0吗？
[提示] 不可以，由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比q也不能为0．
2．等比数列的通项公式
阅读教材P22“例1”以下至P23“例2”以上部分，完成下列问题．
(1)等比数列通项公式
首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式是an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
(2)用函数的观点看等比数列的通项
等比数列{an}的图像是函数y＝·qx的图像上的一群孤立的点．
思考：(1)等比数列的通项公式一定是指数函数吗？
[提示] 不一定．只有当a1＝1，q＞0且q≠1时，其通项公式才是指数函数．
(2)若数列{an}的通项公式为an＝3×2n，那么{an}是等比数列吗？
[提示] 因为＝＝2，所以数列{an}是等比数列．
1．下面各数列成等比数列的是( )
①－1，－2，－4，－8，…；②1，－，3，－3，…；③x，x，x，x，…；④，，，，…．
A．①②③
B．①②
C．①②④
D．①②③④
C [由等比数列的定义可知，对于③中的x，若x＝0，则不是等比数列．]
2．已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝( )
A．
B．±
C．
D．±
D [由{an}为等比数列得a5＝a1·q4＝12，∴3×q4＝12，∴q＝±．故选D．]
3．已知{an}为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝( )
A．36
B．48
C．60
D．72
B [由a1＝12，a2＝24得q＝＝2．
∴a3＝a2q＝24×2＝48．故选B．]
4．等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为________．
an＝2×5n－1(n∈N＋) [数列{an}的通项公式为an＝2×5n－1(n∈N＋)．]
等比数列的通项公式及应用
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n．
[解] (1)法一：设等比数列的公比为q，则解得
∴an＝a1qn－1＝(－8)×＝．
法二：设等比数列的公比为q，则＝q3，
即q3＝－，q＝－．
∴an＝a5qn－5＝·＝．
(2)法一：设等比数列的公比为q，则
解得
从而a1＝＝128．
由a1qn－1＝，即＝，得n＝9．
法二：设等比数列{an}的公比为q．
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，
∴q＝＝．
∵a4＋a7＝18，
∴a4(1＋q3)＝18．
∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·．
由16·＝，得n－4＝5，
∴n＝9．
等比数列通项公式的应用技巧
?1?a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其余的量便可求出.
?2?等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个.
?3?在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的方法.
1．在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an．
[解] (1)因为a3＝2，a5＝8，
所以q2＝＝＝4，
所以a7＝a5·q2＝8×4＝32．
(2)由a3＋a1＝5，a5－a1＝15，
得
②÷①得q2－1＝3，q2＝4，a1＝1，
所以q＝2或－2，
当q＝2时，an＝2n－1，
当q＝－2时，an＝(－2)n－1．
等比数列的实际应用
【例2】 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[解] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，
a3＝10(1－10%)2，…．
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0．9，
所以an＝a1·qn－1＝10×0．9n－1．
所以第n年车的价值为an＝10×0．9n－1万元．
(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0．94－1＝7．29(万元)．
所以用满3年卖掉时，他大概能得7．29万元．
1．等比数列应用题的两种常见类型
(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．
2．解决应用题的步骤是：
2．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2
KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64
MB(1
MB＝210
KB)．
45 [由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64
MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．]
等比数列的判定与证明
[探究问题]
1．数列{an}的前n项和Sn，an，Sn－1有何关系？
[提示] 当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1．
2．若数列{an}满足an＋2－1＝2(an＋1－1)，能够证明数列{an－1}是等比数列吗？
[提示] 不能，首先an＋2－1＝2(an＋1－1)只能说明a3－1＝2(a2－1)，a4－1＝2(a3－1)，…，即从第3项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，所以还要看是不是有a2－1＝2(a1－1)成立；其次，a1－1≠0，a2－1≠0，即a1≠1，a2≠1，{an－1}才可能是等比数列．
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
思路探究：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn，得到关于an的递推式，证明为常数即可．
[解] (1)因为a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1，
所以a2＝，S2＝，a3＝．
(2)证明：当n≥2时，Sn－1＋2＝2an，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
所以＝(n≥2)，
又＝，所以＝，
故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
1．(变条件)把例3中的条件“a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1”换为“Sn＝2n－1”，证明数列{an}是等比数列．
[证明] 因为数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，
所以，当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，综上所述，an＝2n－1．
所以an＋1＝2n，＝＝2(常数)，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
2．(变结论)在例3的条件下，证明数列{Sn＋2}为等比数列．
[证明] 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，Sn＋2＝2an＋1，所以Sn＋2＝2(Sn＋1－Sn)，
即Sn＋1＝Sn＋1，
所以＝＝＝，
又S1＋2＝a1＋2＝3，
所以数列{Sn＋2}是首项为3，公比为的等比数列．
判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
[提醒] 应用定义法判断或证明一个数列是等比数列，应特别注意应用＝q与＝q对n的取值要求不同．
1．等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．
2．由等比数列的概念可知，要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的常数即可．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列a，a2，a3，…，an，…是等比数列．
( )
(2)常数列既是等差数列，又是等比数列．
( )
(3)若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列．
( )
(4)若{an}与{bn}都是等比数列，则{an＋bn}一定是等比数列．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)不正确，当a＝0时不是等比数列；(2)不正确，常数列0,0,0,0，…是等差数列，但不是等比数列；(3)正确；(4)不正确，如{an}是常数列1,1,1，…；{bn}是常数列－1，－1，－1，…．{an＋bn}是常数列0,0,0，…不是等比数列．
2．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B [因为·＝，
所以＝＝，
所以n＝4．]
3．等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________．
[由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，解得a1＝．]
4．已知等比数列{an}中，a1＝，a7＝27，求an．
[解] 由a7＝a1q6，得27＝·q6，
所以q6＝272＝36，
所以q＝±3．
当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4；
当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4．
故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4．
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8
-第2课时 等比数列的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．2．理解等比数列的性质及应用．(重点)3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)
1．通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理素养．2．通过学习等比中项的概念，提升数学运算素养．
1．等比数列的单调性
阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．
对于等比数列{an}，通项公式an＝a1·qn－1＝·qn．根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：
a1
a1＞0
a1＜0
q的范围
0＜q＜1
q＝1
q＞1
0＜q＜1
q＝1
q＞1
{an}的单调性
递减数列
常数列
递增数列
递增数列
常数列
递减数列
思考：(1)若等比数列{an}中，a1＝，q＝，则数列{an}的单调性如何？
[提示] 递减数列．
(2)等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}的单调性如何？
[提示] 数列{an}不具有单调性，是摆动数列．
2．等比中项
阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．
(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫作a，b的等比中项．
(3)满足关系式：G2＝ab．
思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？
[提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．
(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？
[提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4．
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( )
A．－
B．－2
C．2
D．
D [由a5＝a2q3，得q3＝＝＝，所以q＝，故选D．]
2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
B [由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]
3．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是________．
(1，＋∞) [因为a1＝2＞0，要使{an}是递增数列，则需公比q＞1．]
4．4－2与4＋2的等比中项是________．
2或－2 [由题意知4－2与4＋2的等比中项为±＝±＝±2．]
等比中项的应用
【例1】 (1)设x,2x＋2,3x＋3成等比数列，则x＝________．
(2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值为________．
(1)－4 (2)2 [(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，
x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，
当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，
所以x＝－4．
(2)由a，b，c成等比数列，，，成等差数列，得
即＝，
故(a－c)2＝0，
则a＝c，所以＋＝1＋1＝2．]
应用等比中项解题的两个注意点
?1?要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零.
?2?已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程.
1．(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是( )
A．1或
B．1或－
C．1或
D．1或－
(2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________．
(1)D (2)4× [(1)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，
所以或
因此的值为1或－．
(2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，
所以an＝4×．]
巧设等比数列解题
【例2】 已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．
1，－2,4,10或－，－2，－5，－8 [由题意设此四个数分别为，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组求出，
即为或
所以此四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8．]
灵活设项求解等比数列的技巧
?1?三个数成等比数列设为，a，aq.
?2?四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3.
?3?四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.
2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，则这三个数依次为________．
－，1，－ [设这三个数分别为，a，aq，
则
解得a＝1，q＝－，
所以这三个数依次为－，1，－．]
等比数列的性质及应用
[探究问题]
1．在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？
[提示] an＝am·qn－m．
2．在等差数列{an}中，由2a2＝a1＋a3,2a3＝a2＋a4，…我们推广得到若2p＝m＋n，则2ap＝am＋an，若{an}是等比数列，我们能得到什么类似的结论．
[提示] 若2p＝m＋n，则a＝am·an．
3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，类比这个性质，若{an}是等比数列，有哪个结论成立？
[提示] 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq．
【例3】 (1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.
(2)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2
020和a2
021是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2
030＋a2
031＝________.
(3)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝________.
思路探究：利用等比数列的性质求解．
(1)128 (2)2·310 (3)－(－2)n－1 [(1)a3a5＝a＝4，又an＞0，所以a4＝2，
a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4
＝a·a·a·a4＝a＝27＝128.
(2)解方程4x2－8x＋3＝0得x1＝，x2＝，由q>1，得a2
020＝，a2
021＝，q＝3，
所以a2
030＋a2
031＝(a2
020＋a2
021)q10＝2·310.
(3)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，
又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，
因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，
故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.]
1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10．
[解] 因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，
又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，
当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7，
当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7．
故a1＋a10＝－7．
2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|．
[解] 因为a4a7＝－512，所以a2a9＝a3a8＝－512，
故log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|
＝log4(|a2a9|·|a3a8|)＝log45122＝log229
＝9．
等比数列的常用性质
性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m?m，n∈N＋?.
性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n?k，l，m，n∈N＋?，则ak·al＝am·an.特别的，若k＋φ＝2m?m，k，φ∈N＋?，则ak·aφ＝
性质3：若{an}，{bn}?项数相同?是等比数列，则{λbn}，仍是等比数列.
性质4：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列.
性质5：递增；
递减；q＝1?{an}为常数列；q＜0?{an}为摆动数列.
1．在解决与等比数列有关的计算问题时，我们首先想到的方法是通法，即通过解方程组求两个基本量首项a1和公比q，求解过程中要注意整体代换方法的应用，但是有些问题合理地选择性质求解，可以减少运算量，提高解题效率．
2．解数列的实际应用题时，首先要分清是哪种数列模型，是求某一项，还是求某些项的和，再用相应的公式求解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列{－2n－1}是递减数列．
( )
(2)等比数列{an}中，a1＞1，q＜0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…是递增数列．
( )
(3)若G是a，b的等比中项，则G2＝ab，反之也成立．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确；(2)不正确，如a1＝2，q＝－，则|an|＝2×＝是递减数列；(3)不正确，当G是a，b的等比中项时，G2＝ab成立，但当G2＝ab时，G不一定是a，b的等比中项，如G＝a＝b＝0．
2．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为( )
A．4
B．8
C．36
D．32
C [因为{an}是等比数列，所以a2a6＝a＝36．]
3．在等比数列{an}中，a888＝3，a891＝81，则公比q＝
____________________________________________________．
3 [因为a891＝a888q891－888＝a888q3，
所以q3＝＝＝27．
所以q＝3．]
4．在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
[解] 在等比数列{an}中，由a3a4a5＝a＝8，得a4＝2，又因为a2a6＝a3a5＝a，
所以a2a3a4a5a6＝a＝25＝32．
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-3．2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
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习
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标
核
心
素
养
1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点、易混点)2．会用错位相减法求数列的前n项和．(重点、难点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(重点)
1．通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理的数学素养．2．通过等比数列前n项和公式的应用，提升数学运算素养．
1．等比数列的前n项和公式
阅读教材P26～P27例5以上部分，完成下列问题．
等比数列前n项和
公比
已知量
适用公式
q＝1
首项
Sn＝na1
q≠1
首项，公比，项数
Sn＝
首项，公比，末项
Sn＝
思考：(1)等比数列的前n项和公式中涉及哪些量？
[提示] Sn，a1，q，n，an，共五个量．
(2)当等比数列的公比q≠1时，其前n项和公式可化为Sn＝－Aqn＋A的形式，其中的A是什么？
[提示] A＝．
2．等比数列前n项和公式的推导
该等比数列{an}的前n项和为Sn．公比为q，
则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①，
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②，
①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn．
当q≠1时，Sn＝(q≠1)．
又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成
Sn＝．
当q＝1时，Sn＝na1．
1．等比数列{an}中，an＝2n，则它的前n项和Sn＝( )
A．2n－1
B．2n－2
C．2n＋1－1
D．2n＋1－2
D [等比数列{an}的首项为2，公比为2．
所以Sn＝＝＝2n＋1－2，故选D．]
2．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为( )
A．
B．
C．
D．
C [当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n．
当x≠1时，q＝x，Sn＝＝．]
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝k·3n＋1，则k的值为( )
A．全体实数
B．－1
C．1
D．3
B [当n＝1时，a1＝S1＝3k＋1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·3n－k·3n－1＝2k·3n－1．令3k＋1＝2k得k＝－1．]
4．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为________．
2－ [设其公比为q，因为a1＝1，a4＝a1q3＝．所以q＝．
所以S10＝＝2－．]
等比数列前n项和的基本计算
【例1】 (1)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________．
(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
(3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
(1)32 (2)2n－1 (3)6 [(1)设{an}的首项为a1，公比为q，则
解得，所以a8＝×27＝25＝32．
(2)因为数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，解得a1＝1，a4＝8，所以q3＝8，q＝2，所以Sn＝＝2n－1．
(3)∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6．]
等比数列前n项和的运算技巧
?1?在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
?2?在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是基本量，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解.
1．在等比数列中．
(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；
(2)若a3＝，S3＝，求a1和公比q．
[解] (1)因为{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16，q＞0，
∴a5＝a1q4＝16，
∴q＝2(负值舍去)，
∴S7＝＝＝127．
(2)①当q≠1时，S3＝＝，
又a3＝a1q2＝，∴a1(1＋q＋q2)＝，
即(1＋q＋q2)＝，
解得q＝－(q＝1舍去)，
∴a1＝6．
②当q＝1时，S3＝3a1，
∴a1＝．
综上得或
等比数列前n项和的实际应用
【例2】 新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1
000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药会不会对人体产生副作用？
[解] 由题意第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量700×(1－70%)＝700×30%，经过24小时后，体内药物含量700×(30%)2，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以a1＝700，q＝30%为公比的等比数列，即an＝700×(30%)n－1，
所以第n次服药后，体内药物的含量为：
700＋700×0.3＋700×0.32＋…＋700×0.3n－1
＝＝1
000×，
当n→＋∞时，药在体内的含量无限接近1
000，该药在人体内含量不超过1
000毫克，不会产生副作用．
解答数列应用题的步骤,对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路清晰后再着手解题.要注意：
?1?认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型.
?2?合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释.
?3?实际问题解答完成后一定要有结论.
2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏
B．3盏 C．5盏
D．9盏
B [每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得＝381，解得a1＝3，选择B．]
等比数列前n项和的性质
[探究问题]
1．在等差数列{an}中，Sm是其前m项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．类比这种性质，若{an}是等比数列，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是否成等比数列？若是等比数列，公比是什么？
[提示] 设等比数列{an}的公比为q，则
Sm＝a1＋a2＋…＋am，
S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝qm(a1＋a2＋…＋am)＝qmSm，
S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝qm(am＋1＋am＋2＋…＋a2m)＝qm(S2m－Sm)，
…
所以数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比为qm．
2．把等比数列{an}的前n项和Sn＝(q≠1)化为Sn＝－qn＋，观察qn的系数和常数项有何关系？若一个数列{an}的前n项和满足上述关系，那么数列{an}是等比数列吗？
[提示] qn的系数和常数项互为相反数，若一个数列{an}的前n项和满足上述关系，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列．
【例3】 (1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝( )
A．80
B．30
C．26
D．16
(2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________．
(3)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________．
思路探究：(1)应用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列求解；
(2)根据所给等式列方程组求解；
(3)利用a1，a2，a3是等比数列求解．
(1)B (2)2 8 (3)－ [(1)由题意知：
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，设公比为q，则S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋q＋q2)＝14，
解得q＝2，所以S4n－S3n＝2q3＝2×8＝16，
S4n＝S3n＋(S4n－S3n)＝14＋16＝30．
(2)设数列为{an}，其公比为q，项数为2n，则奇数项，偶数项分别组成以q2为公比的等比数列，又a1＝1，a2＝q，q≠1，
所以
由②÷①，得q＝2，所以＝85,4n＝256，
故得n＝4，故项数为8．
(3)由题目条件Sn＝3n－1＋t得
a1＝S1＝1＋t，
a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，
因为{an}是等比数列，故a＝a1a3，即4＝6(1＋t)，解得t＝－，经验证，当t＝－时，{an}是等比数列．]
1．(变条件)在例3(1)题中，若把条件换为“Sn＝2，S2n＝6”，求S4n．
[解] 设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比数列，Sn＝2，S2n－Sn＝4，故qn＝2．
所以Sn＝＝2，故得－＝2，
即＝－2．
S4n＝＝＝－2×(1－16)＝30．
2．(变结论)例3(1)题的条件不变，求Sn2．
[解] 设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比数列，则S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋qn＋q2n)＝14，解得qn＝2，由Sn＝＝2，得＝－2，
所以Sn2＝＝[1－(qn)n]＝－2(1－2n)＝2n＋1－2．
等比数列前n项和性质的应用技巧：
?1?在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n，则＝q?S奇≠0?；若项数为2n＋1，则＝q?S偶≠0?.
?2?等比数列前n项和为Sn?且Sn≠0?，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn?q≠－1?.
?3?等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.
?4?若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A?A≠0，q≠0且q≠1?，则数列{an}是等比数列.
1．等比数列的前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯．
2．在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质．
3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求数列a，a2，a3，…，an的和时可应用公式Sn＝．
( )
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，则a＝1．
( )
(3)当等比数列{an}的公比q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝－qx＋图像上一群孤立的点．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不正确，当a＝0或a＝1时不能应用公式Sn＝；(2)不正确，a＝－1；(3)正确．
2．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
A [由已知得S5＝＝11a1＝44，所以a1＝4．]
3．等比数列{an}中，前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________．
210 [由等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，又S5＝10，S10－S5＝40，所以S15－S10＝160，
所以S15＝S5＋(S10－S5)＋(S15－S10)＝210．]
4．设等比数列{an}前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an，Sn．
[解] 由已知a2＝a1q＝6,6a1＋a3＝a1(6＋q2)＝30，解得
a1＝3，q＝2或a1＝2，q＝3．
所以当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，
Sn＝＝3×2n－3；
所以当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，
Sn＝＝3n－1．
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-
1
-第2课时 数列求和
学
习
目
标
核
心
素
养
1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式．(重点)2．掌握数列求和的基本方法．(重点、难点)
1．通过求解数列的前n项和，培养数学运算素养．2．通过学习数列求和的方法，提升逻辑推理素养．
常见数列求和方法
阅读教材P15～P16例7以上及P26～P27例5以上部分，完成下列问题．
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝n(a1＋an)＝na1＋n(n－1)d．
②等比数列前n项和公式：
③前n个正整数平方和：
12＋22＋32＋…＋n2＝．
(2)分组求和法
一个数列的每一项如果可以平分成两个或多个等差数列或等比数列，那么可以通过适当分组，进而利用等差、等比数列求和公式分别求和，从而得到原数列的和．
(3)裂项相消法
数列中的每一项可以平分成前后可以相互抵消的两项之差的求和方法．
(4)错位相减法
由一个等差与一个等比数列对应项乘积构成的数列，可以利用错位相减法转化成等比数列求和．
思考：(1)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an＋bn}前n项和应用什么方法？
[提示] 分组求和法．
(2)已知an＝，求数列{an}的前n项和应用什么方法？
[提示] 裂项相消法．
1．1＋＋＋…＋等于( )
A．
B．
C．
D．
B [因为＝－，
所以原式＝1＋＋＋…＋＝1＋＝．]
2．数列{n·2n}的前n项和为( )
A．(n－1)2n＋1＋2
B．n·2n＋1＋2
C．(n－1)·2n＋2
D．n·2n＋2
A [设数列{n·2n}的前n项和为Sn，则Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1．②
由②－①得
Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)
＝n×2n＋1－
＝n·2n＋1－2n＋1＋2．]
3．数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，则其前n项和Sn＝________．
2n＋1－2＋n(n＋1) [Sn＝21＋1＋22＋2＋23＋3＋…＋2n＋n
＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋n(n＋1)＝2n＋1－2＋n(n＋1)．]
4．把裂为两项，以便求数列
的和，则＝__________．
[＝－．]
分组求和法
【例1】 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由得
∴bn＝b1qn－1＝3n－1，
又a1＝b1＝1，
a14＝b4＝34－1＝27，
∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2．
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1．
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋．
分组转化求和法的应用条件和解题步骤
(1)应用条件．
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．
(2)解题步骤
1．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d．
由已知得
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2．
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2
101．
错位相减法求和
【例2】 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解] (1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3．
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，
从而a1＝．
所以{an}的通项公式为an＝n＋1．
(2)设的前n项和为Sn，
由(1)知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋．
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－＝＋1－－，所以Sn＝2－．
利用错位相减法的一般类型及思路
?1?适用的数列类型：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列.
?2?思路：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn?
?，,则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1?
?，,?
?－?
?得：?1－q?Sn＝a1b1＋d?b2＋b3＋…＋bn?－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和.
[提醒] 用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：
?1?两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.
?2?对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和.
[跟进训练]
2．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
[解] (1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，
即2a1＝a1q＋a1q2.
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.
故{an}的公比为－2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和．
由(1)及题设可得，an＝(－2)n－1.
所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，
－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.
可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n
×(－2)n＝－n×(－2)n.
所以Sn＝－.
裂项相消法求和
[探究问题]
1．观察下列两组代数式，会发现什么特点？你能给出一般式吗？
(1)与－；
(2)与－．
[提示] ＝－，
＝－，
一般式：＝－．
2．观察下列两组代数式，你能发现它们之间的关系吗？你能用一个表达式表示其规律吗？
(1)与－；
(2)与－．
[提示] ＝，
＝，
表达式：＝．
【例3】 设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
思路探究：(1)利用{an}满足的关系式，通过消项求得数列的通项公式；(2)观察数列的结构特征，利用裂项相消法求得数列的前n项和．
[解] (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)，
又由题设可得a1＝2，满足上式，
所以{an}的通项公式为an＝．
(2)设的前n项和为Sn，
由(1)知＝＝－，
则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝．
1．(变条件)把例3中数列{an}满足的条件“a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n”换为“an－an＋1＝2an＋1an，a1＝1”，试解答例3的(1)(2)题．
[解] (1)由an－an＋1＝2an＋1an得－＝2，所以数列是以2为公差，以＝1为首项的等差数列，故＝＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝．
(2)设的前n项和为Sn，由(1)知＝＝－，
则Sn＝1－＋－＋…＋－
＝＝．
2．(变结论)例3的条件不变，设bn＝，若数列{bn}的前n项和为Sn，Sn＞，求n的最小值．
[解] 由例3的解析可知an＝，故＝2n－1，
bn＝＝(－)，
所以Sn＝(－1＋－＋…＋－)＝(－1)，
由Sn＞得(－1)＞，解得n＞，又n∈N＋，故n的最小值为450．
常见的裂项方法(其中n为正整数)
(1)＝．
(2)＝－．
(3)＝．
(4)＝(－)．
(5)loga＝loga(n＋1)－logan．
(6)＝[tan
(n＋1)－tan
n]．
[提醒] 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
求数列的前n项和的几种方法
(1)错位相减法
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(2)分组求和法
把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项相消法
把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(4)奇偶并项法
当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．
(5)倒序相加法
例如，等差数列前n项和公式的推导方法．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时应用Sn＝较为合理．
( )
(2)当n≥2时，＝．
( )
(3)数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (1)正确；(2)不正确．＝；(3)正确．
2．1002－992＋982－972＋…＋22－12的值是( )
A．5
000
B．5
050
C．10
100
D．20
200
B [原式＝(100＋99)(100－99)＋(98＋97)·(98－97)＋…＋(2＋1)(2－1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝×100×(1＋100)＝5
050．]
3．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A．(n2＋n＋2)－
B．n(n＋1)－1－
C．(n2－n＋2)－
D．n(n＋1)－
A [设数列的前n项和为Sn，则
Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋
＝n(n＋1)＋
＝n(n＋1)＋1－．]
4．求数列的前n项和．
[解] 因为＝－，
所以数列的前n项和为－＋－＋…＋－＝－＝．
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10
-§4 数列在日常经济生活中的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握单利、复利的概念．(重点)2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．(重点)3．掌握数列在日常经济生活中的应用．(难点)
1．通过数列在日常生活中的应用，提升数学建模素养．2．通过数列在经济生活中的应用，提升数学运算素养．
数列在日常经济生活中的应用
阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题：
(1)三种常见的应用模型
①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．
②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．
③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．
(2)常用公式
①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n．
②产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x．
③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)．
思考：(1)数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？
[提示] 单利和复利两种方法．
(2)建立数学模型的关键是什么？
[提示] 正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关系．
1．现存入银行10
000元钱，年利率是3．60%，那么按照复利，第5年末的本利和是( )
A．10
000×1．0363
B．10
000×1．0364
C．10
000×1．0365
D．10
000×1．0366
C [由复利公式得S＝10000×(1＋3．60%)5＝10
000×1．0365．]
2．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是( )
A．a(1＋q%)3
B．a(1－q%)3
C．
D．
C [设现在的成本为x元，
则有x(1－q%)3＝a．
∴x＝．故选C．]
3．过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a1
，最长弦长为末项ak，若公差d∈，则k的取值不可能是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
A [x2＋y2＝10x化简得(x－5)2＋y2＝25
过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10，
则由题意d＝＝∈，5≤k≤7．]
4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2．25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0．001)
6．246 [10年后的本息：a10＝5×(1＋0．022
5)10≈6．246(万元)．]
等差数列模型
【例1】 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
[解] 因购房时付150万元，
则欠款1
000万元，依题意分20次付款，
则每次付款的数额顺次构成数列{an}．
则a1＝50＋1
000×1%＝60，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59．5，
a3＝50＋(1
000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1
000－50×3)×1%＝58．5，
…
所以an＝50＋[1
000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)．
所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列．
所以a10＝60－9×＝55．5．
所以第10个月应付55．5(万元)．
a20＝60－19×＝50．5．
所以S20＝×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50．5)＝1
105．
所以实际共付1
105＋150＝1
255(万元)．
1．按单利计算公式
单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．
2．按单利分期付款问题的三个关键问题
(1)规定多少时间内付清全部款额．
(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同．
(3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式．
1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1
000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是( )
A．5(1＋2＋3＋…＋12)元
B．5(1＋2＋3＋…＋11)元
C．1
000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元
D．1
000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元
A [存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A．]
等比数列模型
【例2】 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2021年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2031年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？
[解] 设从2021年年初到2031年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10)．
则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，
故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列．
所以2031年初这个家庭应取出的钱数为
S10＝
＝[(1＋p)11－(1＋p)](元)．
1．复利问题的计算方法
复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n．
2．解决等比数列应用题的关键
(1)认真审题抓特点，仔细观察找规律．
(2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同．
(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查．
2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．
6 [每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝2n＋1－2．由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102．由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6．]
分期付款问题
[探究问题]
1．复利与单利的区别是什么？
[提示] (1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．
(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？
若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？
[提示] 按单利计算：5年后共获(1＋5×2%)＝1．1万元；
按复利计算：5年后共获(1＋2%)5＝1．104万元．
3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？
[提示] 在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，其关键是①弄清楚是什么数列；②分清首项、项数；③是求和还是求项等问题．
【例3】 某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，1．110≈2．594,1．310≈13．786)
思路探究：分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决．
[解] 方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝≈42．62(万元)．又贷款本息总数为
10(1＋10%)10＝10×1．110≈25．94(万元)，
甲方案净获利
42．62－25．94≈16．7(万元)．
乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为
T10＝1＋＋＋…＋
＝＝32．50(万元)，
而贷款本息总数为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]
＝1．1×≈17．53(万元)，
乙方案净获利
32．50－17．53≈15．0(万元)．
比较两方案可得甲方案获利较多．
1．(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1．5万元，两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算．(参考数据：1．259≈7．45,1．2510≈9．3,1．029≈1．20,1．0210≈1．22)，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？
[解] 方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数列，
且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1．25，n＝10，
收入S丙＝＝＝132．8(万元)．
净获利W丙＝132．8－40(1＋2%)10＝132．8－48．8＝84(万元)，
方案丁：由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列，且b1＝3，公差为1．5，n＝10，
收入S丁＝10×3＋×10×9×1．5＝30＋67．5＝97．5(万元)．
净获利：W丁＝97．5－20(1＋2%)10＝97．5－24．4＝73．1(万元)
所以方案丙净获利更多．
2．(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值．(参考数据：1．314≈39．374,1．315≈51．186,1．114≈3．798,1．115≈4．178)
[解] 设按照甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100万元，
由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，
前n项和为Sn＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n－1＝＝(1．3n－1)，
又贷款本息总数为10(1＋10%)n＝10×1．1n，
则甲方案的净获利为(1．3n－1)－10×1．1n，
由题意知(1．3n－1)－10×1．1n＞100，
经验证，当n＝14时，(1．314－1)－10×1．114
＝(39．374－1)－10×3．798
＝127．913－37．98＝89．933＜100，
当n＝15时，(1．315－1)－10×1．115＝(51．186－1)－10×4．178＝167．287－41．78＝125．507＞100，
所以n的最小值为15．
1．等差、等比数列的应用题常见问题
产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．
2．将实际问题转化为数列问题时应注意
(1)分清是等差数列还是等比数列．
(2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n．
(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式．
1．等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列知识解决问题．
2．银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为S＝P(1＋nr)；复利是等比数列模型，本利和公式为S＝P(1＋r)n．(其中P为本金，r为利率，n为期数)
3．等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息．
( )
(2)定期自动转存模型是等差数列．
( )
(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．
2．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2＝1.若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为( )
频率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C(八度)
A．F#
B．G
C．G#
D．A
B [依题意可知an>0.
由于a1，a2，…，a13满足log2＝1，
则＝2，∴＝2，
所以数列a1，a2，…，a13为等比数列，公比q＝2eq
\s\up12()，D#对应的频率为a4，题目所求半音与D#的频率之比为＝2eq
\s\up12()＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq
\s\up24()))eq
\s\up24(4)，
所以所求半音对应的频率为a4·eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq
\s\up24()))eq
\s\up24(4)＝a8，即对应的半音为G.]
3．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足( )
A．b＝
B．b＝
C．b＝
D．D [因为b(1＋1．005＋1．0052＋…＋1．00511)
＝a(1＋0．005)12，所以12b所以b<，显然12b>a，
即4．1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24
min可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？
[解] 设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x1，x2，…，xn，
由已知x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，数列{xn}是等差数列，每个水龙头1
min放水，所以＝1，即Sn＝24n，即＝24n，所以(x1＋xn)＝24，x1＋xn＝48．
又因为xn＝5x1，所以6x1＝48，x1＝8，xn＝5x1＝40．
故最后关闭的水龙头放水40
min．
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