《正方形》教案（人教版八年级下）
文档属性
| 名称 | 《正方形》教案（人教版八年级下） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 53.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-23 18:47:52 | ||
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文档简介
19.2.3正方形
教学目标
知识与技能：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．
过程与方法：
经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
情感态度与价值观：
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
重难点、关键
重点：探索正方形的性质与判定．
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．
关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．
教学准备
教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．
学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，在取得一定的经验的基础上，认知正方形．
2．知识线索：
3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．
教学过程
一、合作探究，导入新课
【显示投影片】
显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．
实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．
教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．
二、实践应用，探究新知
【课堂演练】（投影显示）
演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与OA、OB相交于M、N．
求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．
思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，就可以了．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．
证：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，
∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，
又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON，
∴△CON≌△BOM，∴BM=CN．
（2）由（1）知△BOM≌△CON，
∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，
∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．
演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证：△CEF是直角三角形．
思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质．
【活动方略】
教师活动：用投影仪显示演练题2，组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并请同学上讲台分析思路，板演．
学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题．
证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a．
∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，
CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴EF2+CF2=CE2．
由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．
【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力．
三、继续探究，学习新知
【问题牵引】
教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．
学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下：
判定方法：
1．是矩形，并且有一组邻边相等．
2．是菱形，并且有一个角是直角．
【投影显示】
例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足．
学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P112 练习1，2，3．
2．【探研时空】
如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．
请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．
思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和，高为2和；其二，两组对边分别为1和2，高为4和；其三，两组对边分别为2和2，高为2和；其四，两组对边分别为4和，高为1和，图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为、2、2；另一个的四条边长分别为1、3、、，图形略．
【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题，是很好的分类讨论题．
五、课堂总结，发展潜能
【问题提出】
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）
边 角 对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
六、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 8，13，15，17
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第五课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．
3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
4．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．
【提升“学力”】
6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．
【聚焦“中考”】
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？
9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
答案:
1．2+2-1 2．112.5° 3．A 4．B
5．提示：证△ADM≌△AKB
6．不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果
7．（1）提示：证△DEB≌△DFC，
（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）
8． 9．叙述有道理即可．
教学目标
知识与技能：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．
过程与方法：
经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
情感态度与价值观：
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
重难点、关键
重点：探索正方形的性质与判定．
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．
关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．
教学准备
教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．
学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，在取得一定的经验的基础上，认知正方形．
2．知识线索：
3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．
教学过程
一、合作探究，导入新课
【显示投影片】
显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．
实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．
教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．
二、实践应用，探究新知
【课堂演练】（投影显示）
演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与OA、OB相交于M、N．
求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．
思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，就可以了．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．
证：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，
∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，
又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON，
∴△CON≌△BOM，∴BM=CN．
（2）由（1）知△BOM≌△CON，
∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，
∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．
演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证：△CEF是直角三角形．
思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质．
【活动方略】
教师活动：用投影仪显示演练题2，组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并请同学上讲台分析思路，板演．
学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题．
证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a．
∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，
CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴EF2+CF2=CE2．
由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．
【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力．
三、继续探究，学习新知
【问题牵引】
教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．
学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下：
判定方法：
1．是矩形，并且有一组邻边相等．
2．是菱形，并且有一个角是直角．
【投影显示】
例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足．
学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P112 练习1，2，3．
2．【探研时空】
如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．
请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．
思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和，高为2和；其二，两组对边分别为1和2，高为4和；其三，两组对边分别为2和2，高为2和；其四，两组对边分别为4和，高为1和，图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为、2、2；另一个的四条边长分别为1、3、、，图形略．
【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题，是很好的分类讨论题．
五、课堂总结，发展潜能
【问题提出】
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）
边 角 对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
六、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 8，13，15，17
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第五课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．
3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
4．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．
【提升“学力”】
6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．
【聚焦“中考”】
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？
9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
答案:
1．2+2-1 2．112.5° 3．A 4．B
5．提示：证△ADM≌△AKB
6．不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果
7．（1）提示：证△DEB≌△DFC，
（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）
8． 9．叙述有道理即可．