19.1.2 平行四边形的判定
教学目标
知识与技能：
理解和领会三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理及其应用．
过程与方法：
经过探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系，感悟几何学的推理方法．
情感态度与价值观：
培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值．
重难点、关键
重点：理解并应用三角形中位线定理．
难点：理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法．
关键：应用平行四边形的知识解决三角形中位线定理的证明，以“加倍法”来构建平行四边形．
教学准备
教师准备：直尺、圆规；补充本节课资料．
学生准备：预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：三角形、平行四边形有关知识．
2．知识线索：
3．学习方式：采用“讲授法”教学，学生以观察、分析、探讨的方式学习．
教学过程
一、回顾交流，归纳提升
【课堂温习】
教师提问：1．平行四边形的定义是什么？
2．平行四边形具有哪些性质？
3．平行四边形是如何判定的？
教师板书：画出一个平行四边形，如下图．（帮助理解）
学生活动：踊跃发言，相互讨论，归纳出平行四边形的性质与判定．
【课堂演练】（教师板书）
演练题：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别为BO、DO的中点．求证：AF∥CE．（请你用两种方法证明）
思路点拨：方法1：证明△AOF≌△COE，推出∠AFE=∠CEF，从而得证AF∥CE．方法2：连结AE，CF，去证明四边形AECF为平行四边形．
教师活动：组织学生完成“演练题”，巡视、关注“学困生”，对于思路较好的学生，请他们完成后再上台演示．教师注意纠正他们的书写．
学生活动：独立完成“演练题”，结合本道题，回顾和应用平行四边形性质，判定．
【师生共识】
构图:
【设计意图】采用先回顾（提问式）平行四边形性质、判定，再通过“演练题”进行实际应用，这样不空洞，且能调动积极性，有利于归纳、提升．
二、问题牵引，导入新知
例4 如图，点D，E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证DE∥BC，且DE=BC．
思路点拨：对于证明某条线段是某条线段的一半，常用的几何方法是“加倍法”，“折半法”，通过三角形全等把问题化归到平行四边形问题中去，然后再利用平行四边形的有关概念、性质来解决．本题可以延长DE到F，使EF=DE，通过连结AF、FC、CD把问题转化到ADCF中去，再根据平行四边形性质证明DBCF．
【活动方略】
教师活动：板书例4，分析并引导学生积极参与．教会学生如何添加辅助线，如何书写辅助线的添加法，然后板书出例4的证明．
学生活动：参与教师分析例4，学会“加倍法”的几何分析思路．
教师板书例4证法：（见课本P98）
教师问题：还有没有不同于课本的证法呢？
学生活动：相互讨论，踊跃发言，想出不同的证法．上讲台演示．
参考证法：
证法：延长DE到F使得EF=DE，连结FC，证△ADE≌△FEC，得到AD=FC（割补法），再利用BDCF证出DBCF，从而得到DF=BC，推出DE=BC，DE∥BC．
能用折半法吗？试一试！
教师活动：归纳学生的不同证法，然后应用例4的结论导入新知：（口述后让学生翻开课本画一画）．
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
教师提问：一个三角形有几条中位线？中位线和三角形的中线一样吗？
学生回答：有三条中位线，中位线是两边中点连线段；而中线是顶点和对边中点的连线段，因此它们不同．
【设计意图】采用引例导入，丰富学生的联想，又能从中学会几何不同的证明方法．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P99 “练习”1，2，3．
2．【探研时空】
如图，已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证：MN∥BC．
（提示：延长AN，AM，证AN=NR，AM=MQ．利用三角形中位线定理可证）．
四、课堂总结，发展潜能
1．三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到．
2．把握三角形中位线定理的应用时机：
（1）题目的条件中出现两个或两个以上的线段中点；
（2）题目的条件中虽然只有一个（线段的）中点，但过这点有直线平行于过中点所属线段端点的直线．
3．利用三角形中位线定理，添加辅助线的方法有：
五、布置作业，专题突破
1．课本P100～102 习题19．1 7，8，13，14
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第四课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．已知△ABC中，AB：BC：CA=3：2：4且AB=9cm，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则△DEF的周长是________．
2．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F为BC上一点，EF=BC，∠EFC=35°，则∠EDF=________．
3．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是___________．
4．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于E，M为BC的中点，AB=14cm，AC=10cm，求ME的长．
【提升“学力”】
5．已知△ABC中，AD⊥BC于D，E、F、G分别是AB、BD、AC的中点，EG＝EF，AD+EF=9cm，求△ABC面积．
6．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，∠AEB=∠CED．F为BC的中点．求证：AF=DF=（BF+CE）．
【聚焦“中考”】
7．如图，在ABCD中，E、F是对角线AC的两个三等分点，求证：四边形BFDE是平行四边形．
8．已知五边形ABCDE中，AC∥ED，交BE于点P，AD∥BC，交BE于点Q，BE∥CD，求证：△BCP≌△QDE．
答案:
1．13.5cm 2．72.5° 3．平行四边形 4．提示：延长CE交AB于T，2cm
5．提示：AD=2EF，EF=3，AD=6，EG=EF=，BC=9，S=27 5．27cm2
6．提示：延长BE、CD交于G，
如果只证AF=DF，那么过F作AD的垂线即可，
现在要使AF、DF与BE+CE建立起联系，就应进一步观察图形的特点了．
注意到∠AEB=∠CED，CD⊥AD，
因此可通过延长BE、CD交于G，过CE与BE之和成为线段BG，
接下来易见DF为△BCG的中位线，至此，DF与BE+CE的关系已清楚了，
同理可证AF=（BE+CE）．
7．提示：连结DB
8．由AC∥ED，BE∥CD可以推出PCDE，因此可得PC=ED，
再由AC∥ED，BC∥AD得到角∠BPC=∠QED，∠CBP=∠DQE，
根据三角形全等条件可证得．平行四边形的性质
教学目标
知识与技能：
探索平行四边形的对角线互相平分的性质；会应用平行四边形的三个性质．
过程与方法：
经历探索平行四边形性质的过程，发现学生的合情推理的意识，提高应用能力．
情感态度与价值观：
培养学生严谨的推理能力，和合作交流的习惯，体会平行四边形的实际应用价值．
重难点、关键
重点：理解并应用平行四边形的对角线互相平分的性质．
难点：理解平行四边形对角线互相平分的性质．
关键：把握三角形全等、旋转概念，应用于本节课性质的推导．
教学准备
教师准备：投影仪，制作教具，内容：（1）课本P94“探究”，制作投影片，内容：（1）课本例2，（2）补充资料．
学生准备：复习平行四边形定义，性质一、二；预习本节课内容；制作课本P94“探究”学具．
学法解析
1．认知起点：已学习了三角形全等证明，平行四边形定义，性质一、二的基础上，在积累了一定的经验的情况下学习本节课内容．
2．知识线索：
3．学习方式：采用观察、操作、交流的方式解决重点突破难点．
教学过程
一、动手操作，感知轻重
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，显示“探究”中的问题（课本P94）组织学生分四人小组进行讨论，从操作中发现ABCD的边、角关系：“对边相等，对角相等”，然后进一步启发学生去发现对角线交点O到平行四边形四个顶点的距离的关系．
学生活动：分四人小组，画图、操作、交流，从中领悟并验证平行四边形ABCD绕点O（两个对角线的交点）旋转180°仍和EFGH重合，从中观察出平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的三个性质．
教师活动：操作投影仪，提出下面问题：
已知ABCD中，AC、BD交于O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？请同学们用多种方法加以验证．
学生活动：合作学习，相互讨论自己的思维，并交流不同的验证思路．
思路点拨：图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△BCD，△ADC≌△CBA．有如下线段相等：OA=OC，OB=OD，AD=BC，AB=DC，证明中应用到“AAS”，“ASA”证明．
师生归纳：平行四边形性质三：平行四边形对角线互相平分．
【设计意图】采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了所要学习的内容，解决了重点突破了难点．
二、范例点击，应用所学
例2（投影显示）
如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD面积．
思路点拨：可以利用平行四边形对边相等求出BC=AD=8，CD=AB=10，在求AC长度时，因为∠ACB=90°，可以在Rt△ACB中应用勾股定理求出AC= =6，由于OA=OC，因此AO=3，求ABCD面积是48．
【活动方略】
教师活动：分析讲例2，教会学生分析思路是本例的重点．渗透“综合分析法”．
学生活动：参与教师分析，学会几何分析的基本思路．学会“综合分析法”．
【设计意图】对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过本例，让学生学会如何分析，学会如何严格的书写突破用几何语言书写表达的难点．
【课堂演练】
演练题1 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12cm，BD=18cm，AD=13cm，求△BOC的周长．（答案：28cm）
演练题2 已知ABCD的周长为48cm，AB比AC长4cm，那么这个四边形的各边长为多少？
（答案：AB=CD=14cm，BC=AD=10cm）
演练题3 在ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C度数．（答案：110°）
教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练题”，巡视、启发，关注“学困生”，可以请部分学生上讲台“板演”，然后与学生一起共同纠正存在的问题．
学生活动：独立完成课堂演练题．学会应用平行四边形性质．
思路点拨：演练题1应用平行四边形的对边相等求得BC=13cm，再应用平行四边形对角线互相平分求出BO=BD=9cm，OC=AC=6cm；演练题2主要应用平行四边形对边相等可知AB+BC=×48=24cm，再利用AB=BC+4这两个等式，以代数的手法求之；演练题3，应用平行四边形对角相等，得∠B=∠D=70°，再通过∠C+∠B=180°求出∠C度数．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P95 “练习”1、2．
2．【探研时空】
如图，ABCD中，DE垂直平分AB，ABCD的周长为5cm，△ABD的周长比ABCD的周长少1.5cm，求平行四边形各边长．
（提示：△ABC的周长比ABCD的周长少1.5cm，实际上说，BD比BC+DC少1.5cm，∴DA=DB=（BC+DC）-1.5=1）．
四、课堂总结，发展潜能
平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
性质：（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：对角相等，邻角互补．
（3）对角线的性质：对角线互相平分．
备注：小结中应直观应用图形帮助记忆．
五、布置作业，专题突破
1．课本P100 习题19．1 3，8，9
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第二课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A=_____，∠B=______．
2．平行四边形的周长等于56cm，两邻边的长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为_________．
3．ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB、BC的长分别是_________．
4．ABCD中，周长为50cm，AB=15cm，∠A=30°，则此平行四边形的面积为______．
5．如图，EF为ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．16
6．一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm和5cm，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（ ）．
A．10cm2 B．10cm2 C．5cm2 D．5cm2
【提升“学力”】
7．如图，ABCD中，∠ABC=3∠A，F是CB的延长线上一点，EF⊥DC于E，CF=CD，若EF=3cm，求DE长．
8．如图，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=30°，AE=4cm，AF=3cm，求ABCD周长．
【聚焦“中考”】
9．（2004年江苏省南京市中考题）如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）BE∥DF．
10．（2002年福州市中考题）如图，已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别相交于点E、F，求证：OE=OF．
答案:
1．75°，105° 2．21cm 3．19cm，11cm 4．75cm2 5．A 6．A 7．3-3 8．28cm 9．（1）提示：证∠DCA=∠CAB，用“SAS”解决，（2）提示：证∠FEB=∠DFE
10．提示：证△BEO≌△DFO（ASA）
