2020-2021学年北师大版八年级下数册学6.2 平行四边形的判定 课件 (45张)

(共45张PPT)
6.2
平行四边形的判定
第六章
平行四边形
平行四边形的性质
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
对称性
平行四边形是中心对称图形
对角线
知识回顾
例2
已知：如图，
ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO（平行四边形的对角线互相平分），
AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴∠ODE=∠OBF，
∵
∠DOE=∠BOF.
∴△DOE≌△BOF.
∴OE=OF.
活动1：用两根长30cm的木条和两根长20cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.
20cm
30cm
猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形..
平行四边形的判定定理1
合作探究
已知：
四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证：
四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接BD.
在△ABD和△CDB中,
AB=CD，
BD=DB，
AD=CB，
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴
∠1=∠2
,
∠
3=∠4.
∴AB∥
CD
,
AD∥
CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理1
B
D
C
A
总结归纳
活动2：将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
A
B
C
D
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理2
连接AC.
∵AB//CD,
∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS）.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
D
A
B
C
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理2
B
D
C
A
总结归纳
例2
如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵在平行四边形ABCD中，
AE、CF分别是∠DAB、
∠BCD的平分线，
∴∠B=∠D,AB=CD,
AD∥BC，
∠BAE=∠DCF=
∠DAB=
∠BCD.
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴BE=DF.∴AF=CE.
∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？
7cm
4cm
3cm
3cm
5cm
4cm
阅读思考
4cm
4cm
4cm
4cm
3cm
3cm
3cm
发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；四条边两两相等的四边形不一定是平行四边形.
5cm
3cm
4cm
3cm
4cm
思考：我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
由定义判定平行四边形
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°.
∴
AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得
AB∥
CD.
证明：
定义判定：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
归纳小结
判定
定理1
定理2
定义拓展
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理
A
B
C
D
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵
AB=
CD,
AB∥CD,
∴四边形ABCD是
ABCD
∵
∠
A=
∠
C,
∠
B=
∠
D,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
1.下列∠A:∠B:∠C:∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.
1:2:3:4
B.
1:4:2:3
C.
1:2:2:1
D.
3:2:3:2
D
当堂跟踪练习
2.已知AD//BC
，要使这个四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件
.
AD=BC(答案不唯一)
3.已知：如图，E,F分别是
平行四边形ABCD
的边AD,BC的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
，
AD=BC.
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴ED=BF,即ED
BF.
∥
﹦
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）.
?
A
B
C
D
E
F
解：是，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∴∠AEB=∠CFD=90°.
?
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
∴AE=CF.
∵
∠AEF=∠CFE=900,
∴AE//CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
4
1.现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次,焊接成一个含有45°角的平行四边形
(不能有余料),
请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.
A
B
C
能力提升
2.电视剧《人民的名义》中有一位退休好干部叫陈岩石，他有一块平行四边形菜园地，夏季到来了，院子里瓜果飘香.有一天突然下起了暴雨，将菜园地的一部分冲垮，陈老的菜园地与邻居家的菜园地之间的界限看不清了，巧的是，刚好保留了顶点A和C.
（1）如图，若你只有一把直尺和一个圆规，你能将图形补全吗？若能，请补全图形（不写作法，只保留作图痕迹），并证明四边形ABCD是平行四边形；
A
B
C
（2）若E是BC边上的一点，只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F，使得DF=BE.
①作出满足题意的点F，简要说明作图过程；
②依据你的作图，证明：DF=BE.
A
B
C
★
E
A
B
C
D
O
F
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC
(已知)，
OB=OD
(已知)，
∠AOB=∠COD
(对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴AB=CD,∠BAO=∠OCD
.
∴AB∥
CD
.
∴四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO=CO，
BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理3
总结归纳
A
B
C
D
O
2.已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF.
求证：四边形BFDE是平行四边形
D
O
A
B
C
E
F
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
BO
=
DO.
∵
EO
=
FO，
∴
四边形BFDE是平行四边形.
例1
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
O
B
A
C
E
F
D
证明：连接BD，交AC于点O.
在□ABCD中，AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF.
∴EO=FO.
又
∵BO=DO，
∴
四边形BFDE是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形）
当堂跟踪练习
1.
根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（
）
A.
两组对边分别相等
B
.
两条对角线互相平分
C
.
两条对角线相等
D
.
两组对边分别平行
C
D
A
B
C
2.在下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（
）
Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤ　
Ｂ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ
Ｄ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ
Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡB＝CD
A
B
C
D
C
3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
∴△ABE≌△FCE（AAS）.
∴AE=EF.
又∵BE=CE，
解：四边形ABFC是平行四边形.
理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE.
∵E是BC的中点，∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中，
∴四边形ABFC是平行四边形．
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
课堂小结
例3
已知：如图,直线a∥b，A、B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.
求证：AC＝BD.
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1＝∠2＝90°.
∴AC∥BD.
∵
AB∥CD.
∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义).
∴AC＝BD(平行四边形的对边相等).
证明：
例题讲解
数学表达式：
如图，A，C是l1上任意两点，
∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，
∴AB＝CD.
拓展：
(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等；
(2)等底等高的三角形的面积相等．
从上例得到：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离
知识讲解
1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，AD＝CE，DE，FG都垂直于l2，E，G分别为垂足，则下列选项中，一定成立的是(　　)
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．BC＝EG
D．S四边形ABCD＞S四边形DEGF
A
随堂训练
2.如图，a∥b，则直线a与直线b的距离是(　　)
A．13
B．14
C．17
D．25
A
3.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　)
A．2
B．4
C．5
D．10
C
4.如图，设点P是?ABCD的边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则(　　)
A．S3＝S1＋S2
B．S3＞S1＋S2
C．S3＜S1＋S2
D．S3＝
(S1＋S2)
A
5.如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，求两平行线AD与BC间的距离．
过点P作PM⊥AD于M，
延长MP交BC于N，如图所示．
∵PM⊥AD，AD∥BC，∴PN⊥BC.
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PM⊥AD，∴PM＝PE＝2.
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PN⊥BC，∴PN＝PE＝2.
∴MN＝PM＋PN＝2＋2＝4.
解：
例4
．如图6-16,在平行四边形ABCD中,点M、N分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，BE=DF.
求证：四边形MENF是平行四边形.
例题讲解
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥CB
∴∠MDF=∠NBE
∵DM=BN
DF=BE
∴△MDF≌△NBE
∴MF=EN
∠MFD=∠NEB
∴∠MFE=∠NEF
∴MF∥EN
∴四边形MENF是平行四边形
1.
如图：平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E,过
D作BE的平行线交BC于点F
,求∠CDF的度数.
随堂训练
2.平行四边形ABCD中，延长AB到E
，CD到
F使BE=DF，则线段AC与EF互相平分？说明理由.
3.如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，△BME是△AMD绕点M按顺时针方向旋转180°得到的，连接AE，
求证：DE=AC.
3.已知：如图，在?ABCD中，点E在BC的延长线，且DE∥AC.请写出BE与BC的数量关系，并证明你的结论．
结论：BE＝2BC.
证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CE.
∵DE∥AC，
∴四边形ADEC为平行四边形．
∴AD＝CE.∴CE＝BC.
∴BE＝2BC.
解：