9.1.1　简单随机抽样【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册

第九章　统计
9.1　随机抽样
9.1.1　简单随机抽样
课标解读
课标要求
核心素养
1.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.
2.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法(重点).
3.会计算样本均值,了解样本与总体的关系(难点).
1.通过学习简单随机抽样的概念,培养学生数学抽象的核心素养.
2.通过对简单随机抽样的应用,培养学生数据分析的核心素养.
妈妈叫小明去买火柴,并嘱咐小明说:“你要挑一挑,千万别买受潮的.”小明答应:“知道了.”火柴买回来后,小明高兴地对妈妈说:“妈妈,我买的火柴根根都能划着,真是好极了!”妈妈问:“你敢保证没有一根划不着吗?”小明很有把握地回答:“当然,因为每一根我都试过了.”
问题:小明的做法对吗?
1.全面调查和抽样调查
调查方式
全面调查(普查)
抽样调查
定义
对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查
根据一定目的,从总体中①抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查
相关概念
总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体.
个体:组成总体的每一个调查对象称为个体
样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本.
样本量:样本中包含的个体数称为样本量
思考1:样本与样本量有什么区别?
提示　样本与样本量是两个不同的概念,样本是从总体中抽取的部分个体组成的集合,是研究对象;样本量是样本中包含的个体数,是一个数.
　　2.简单随机抽样的概念
放回简单随机抽样
不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中②逐个抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都③相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样
如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内④未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
　3.抽签法
先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个⑤不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.
思考2:采用抽签法抽取样本时,为什么将编号写在形状、大小相同的号签上,并且将号签放在一个不透明的盒里充分搅拌?
提示　为了使每个号签被抽取的可能性相等,保证抽样的公平性.
　　4.随机数法
(1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数.
(2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数.
5.总体均值和样本均值
(1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称
=⑥=⑦为总体均值,又称总体平均数.
(2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=⑧.
(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称
=⑨=⑩为样本均值,又称样本平均数.
探究一　对简单随机抽样的理解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(1)下面抽样方法为简单随机抽样的是(　　)
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.可口可乐公司从仓库中的1
000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C.某连队从200名战士中挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)
(2)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性(　　)
A.与第几次抽样有关,第一次被抽到的可能性大一些
B.与第几次抽样无关,每次被抽到的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次被抽到的可能性要大些
D.与第几次抽样无关,每次都是等可能的抽取,但各次被抽取的可能性不一定
1-1　(多选题)下列调查中属于抽样调查的是(　　)
A.每隔5年进行一次人口普查
B.调查某商品的质量优劣
C.某报社对某个事情进行舆论调查
D.高考考生的身体检查
探究二　抽签法和随机数法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　某卫生单位为了支援抗震救灾,要在50名志愿者中选取10人组成医疗小组去参加救治工作,请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案.
2-1　高三某班有34名同学,座位号记为01,02,…,34,用下面的随机数选取5组数作为参加青年志愿者活动的五名同学的座位号.选取方法是从随机数第一行的第6列和第7列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第四个志愿者的座位号为(　　)
49　54　43　54　82　17　37　93　23　78　87　35　20
96　43　84　26　34　91　64　57　24　55　06　88　77
04　74　47　67　21　76　33　50　25　83　92　12　06
A.23
B.09
C.02
D.16
探究三　用样本的平均数估计总体的平均数
　　例3　某市质监局要检查某公司在某个时间段内生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验.
(1)利用随机数法抽取样本时,应如何操作?
(2)如果用随机试验生成部分随机数,如下所示:
162,277,943,949,545,654,821,737,932,654,873,520,
964,384,263,491,648,642,175,331,572,555,068,877,
047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,
916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667.
据此写出应抽取的袋装牛奶的编号;
(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个:一是每袋牛奶的质量满足500±5
g,二是10袋质量的平均数≥500
g,同时满足这两个指标,才认为公司生产的牛奶为合格,否则为不合格.经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位:g)为502,500,499,497,503,499,501,500,498,499.
计算这个样本的平均数,并按照以上标准判断牛奶质量是否合格.
1.(变条件)该公司对质监部门的这种检验方法并不认可,于是公司的质检部门抽取了100袋牛奶按照例3(3)中的检验标准,统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5
g,平均数为500.4
g,你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠?为什么?
2.(变问法)为进一步加强公司生产牛奶的质量,规定袋装牛奶的质量变量值为Yi=公司质检部门又抽取了一个容量为50的样本,其质量变量值如下:
1　1　1　0　1　1　1　1　0　0　1　0　1　0　1　0　1　0　1　0
1　1　1　1　0　1　0　1　1　1　0　0　0　1　0　1　0　1　0　0
1　0　0　1　0　1　0　1　0　1
据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500
g的比例.
3-1　从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛,每人投10次,统计出该10名学员投篮投中的次数,4名投中5次,3名投中6次,2名投中7次,1名投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为　　　　.?
1.为了了解全校240名高一学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量.下列说法正确的是(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.总体是240名学生
B.个体是每一个学生
C.样本是40名学生
D.样本容量是40
2.为了进一步严厉打击交通违法行为,交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾,这种抽查是(　　)
A.简单随机抽样
B.抽签法
C.随机数法
D.以上都不对
3.使用简单随机抽样的方法从1
000件产品中抽出50件进行某项检查,合适的抽样方法是(　　)
A.抽签法
B.随机数法
C.随机抽样法
D.以上都不对
4.某种福利彩票是从1~36的号码中选出7个号码来按某种规则确定中奖情况的,这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是　　　　.?
5.某校高一年级有43名足球运动员,要从中抽出5人调查其学习负担情况.用抽签法设计一个抽样方案.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.某学校为了了解高一800名新入学同学的数学学,从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析,在这个问题中,下列说法正确的是(　　)
A.800名同学是总体
B.100名同学是样本
C.每名同学是个体
D.样本容量是100
2.为了调查高一学生的数学学习状况,从50名高一同学的数学成绩中用抽签法随机抽取5名同学的数学成绩:80分,85分,75分,60分,90分,那么据此可以估计这50名同学的数学成绩的平均分为(　　)
A.76
B.78
C.80
D.82
3.下列4个抽样中,简单随机抽样的个数是(　　)
①一名儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩,玩后放回再拿一件,连续玩了5件;
②仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;
③某班从50名同学中选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛;
④一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中无放回地抽出6个号签.
A.0
B.1
C.2
D.3
4.要从某校高三100名学生中抽取10名学生调查其期末考试的数学成绩,下图是电子表格软件生成的部分随机数,若从第一个数71开始抽取,则抽取的10名学生的编号依次为　　　　　　　　　.?
5.某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如下数据:
直径(单位:cm)
12
13
14
频数
12
34
4
估计这批机械零件的直径大约为　　　　.?
6.为迎接2022年北京冬奥会,奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组,请用抽签法设计抽样方案.
7.已知总体容量为108,若用随机数法抽取一个容量为10的样本,下列对总体的编号正确的是(　　)
A.1,2,…,108
B.01,02,…,108
C.00,01,…,107
D.001,002,…,108
8.某学校抽取100位老师的年龄,得到如下数据:
年龄
(单位:岁)
32
34
38
40
42
43
45
46
48
频数
2
4
20
20
26
10
8
6
4
则估计这100位老师的样本的平均年龄可为(　　)
A.42岁
B.41岁
C.41.1岁
D.40.1岁
9.为了调查该市城区某条河流的水体污染状况,某学校甲班的同学就某个指标抽取了样本量为50的样本5个,乙班的同学抽取了样本量为100的样本5个,得到如下数据:
抽样序号
1
2
3
4
5
样本量为50
的平均数
123.1
120.2
125.4
119.1
123.6
样本量为100的平均数
119.8
120.1
121.0
120.3
120.2
据此可以认定　　　　班的同学调查结果能够更好地反映总体,这两个班的同学调查的该项指标约为　　　　　.(答案不唯一,只要合理即可)?
10.在某次测量中,甲工厂生产的某产品的A样本数据如下:43,50,45,55,60.若乙工厂生产的该产品的B样本数据恰好是由A样本数据中每个数都增加5后得到的,则B样本数据的平均数为　　　　　;据此可以估计乙工厂生产的该产品的总体平均数为　　　　　　.?
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