9.2.2　总体百分位数的估计【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册

9.2.2　总体百分位数的估计
课标解读
课标要求
核心素养
1.结合实例,能用样本估计百分位数(重点).
2.理解百分位数的统计含义(难点).
1.通过计算样本的百分位数,培养学生数学运算的核心素养.
2.通过应用样本的百分位数估计总体的百分位数,培养学生数据分析的核心素养.
甲、乙两组数据如下所示:
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
甲组
1
2
2
2
2
3
3
3
5
5
6
6
8
8
9
10
10
12
13
13
乙组
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
6
6
7
7
10
14
14
14
14
15
　　根据我们初中学习的中位数的定义可知,甲、乙两组数据的中位数都是=5.5,仔细观察这两组数据的特点,并回答下列问题:
问题1:甲、乙两组数据的中位数虽然相同,但是它们相比较有什么特征吗?
问题2:中位数能否比较全面地体现数据的分布特点?如果不能,有什么补救的办法?
1.第p百分位数
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有①p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步,按②从小到大排列原始数据.
第2步,计算i=③n×p%.
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的④平均数.
3.四分位数
⑤第25百分位数,⑥第50百分位数,⑦第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.
思考1:老师说:“90%的同学能够考取本科院校”,这里的“90%”是百分位数吗?
思考2:“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思?
探究一　百分位数的计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　某中学高一年级新生有712人,其中男生326人,女生386人,现在想了解男生的身高状况,从中抽取23个样本,观测数据如下(单位:cm):
173.0　174.0　166.0　172.0　170.0　166.0　165.0　168.0　164.0　173.0　172.0　173.0　175.0　168.0　170.0　172.0　176.0　175.0　168.0　173.0　167.0　170.0　175.0
(1)请估计高一男生的第25,50,75百分位数;
(2)如果要减小估计误差,可以怎么做?
1-1　下列数据是30个不同国家中每100
000名男性患某种疾病的死亡率(%):
27.0　23.9　41.6　33.1　40.6　18.8　13.7　28.9　13.2
14.5　
27.0　
34.8　
28.9　
3.2　
50.1　
5.6　
8.7　
15.2
7.1　
5.2　
16.5　
13.8　
19.2　
11.2　
15.7　
10.0　
5.6
1.5　
33.8　
9.2
则这组数据的第40百分位数是　　　　.?
探究二　百分位数的综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.
(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过随机抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中,今年1月份用电费用的80%分位数为260元,求a,b的值;
(3)根据(2)中求得的数据计算月用电量的75%分位数.
2-1　某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行.规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间[30,150]内,其频率分布直方图如图.估计初赛成绩的第80百分位数.
1.下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.第50百分位数就是中位数
B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C.它一定是这组数据中的一个数据
D.它适用于总体是离散型的数据
2.给定一组从小到大排列的数据:
100,101,102,103,104,105,106,107,108,109.
则这组数据的第30百分位数是(　　)
A.102
B.103
C.102.5
D.不确定
3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,试估计此样本数据的第50百分位数为　　　　.?
4.求下列数据的第25,50,75百分位数.
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法正确的是(　　)
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
2.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是(　　)
A.32.5
mm
B.33
mm
C.33.5
mm
D.34
mm
3.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是(　　)
A.[4.5,+∞)
B.[4.5,6.6)
C.(4.5,+∞)
D.(4.5,6.6]
4.高一(1)班数学兴趣小组8名同学的数学竞赛成绩(单位:分)分别为80,68,90,70,88,96,89,98,则该数学成绩的15%和50%分位数分别为　　　　　　　.?
5.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的第　　　　　百分位数.?
6.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额,所得数据如下表:
网购金额(单位:千元)
人数
频率
(0,1]
16
0.08
(1,2]
24
0.12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
16
0.08
(5,6]
14
0.07
合计
200
1.00
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);
(2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字).
7.已知甲、乙两组数据:
甲组:27,
28,39,40,m,
50.
乙组:24,n,
34,43,
48,
52.
若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
8.下图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,这7天的日最高气温的第10百分位数为　　　　　,日最低气温的第80百分位数为　　　　.?
9.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图回答下列问题.
(1)[25,30)年龄组对应小长方形的高度为　　　　;?
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为　　　　.?
10.已知一组数据按从小到大的顺序排列:11,12,15,x,17,y,22,26,经过计算,该组数据的50%分位数是16,
75%分位数是20,则x=　　　　,y=　　　　.?
11.从某珍珠公司生产的产品中任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,
(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数;
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量;
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准.
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