9.2.4　总体离散程度的估计【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册

9.2.4　总体离散程度的估计
课标解读
课标要求
核心素养
1.
结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).
2.理解离散程度参数的统计含义.
1.通过对标准差、方差、极差概念的学习,培养学生数学抽象的核心素养.
2.通过应用标准差、方差、极差估计总体的离散程度,提升学生数据分析的核心素养.
帆板运动是指借助风帆力量,驾驭无舵、无座舱船只滑行前进的一项水上运动,它是介于帆船和冲浪之间的新兴水上运动项目.在帆板比赛中,成绩低分为优胜,共比赛11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次.
在1996年美国亚特兰大奥运会上,中国香港风帆运动员李丽珊,以惊人的耐力和斗志,勇夺金牌,实现了中国香港体育史上奥运金牌零的突破.事实上,这枚金牌在比赛过程中就已经被预测出来了,下表是此次比赛前7场比赛结束后,排名前5位的选手积分,根据表中信息如何预测呢?这就是我们本节课要学习的内容.
排名
运动员
比赛场次
总分
1
2
3
4
5
6
7
1
李丽珊
(中国香港)
3
2
2
2
4
2
7
22
2
简度
(新西兰)
2
3
6
1
10
5
5
32
3
贺根
(挪威)
7
8
4
4
3
1
8
35
4
威尔逊
(英国)
5
5
14
5
5
6
4
44
5
李科
(中国)
4
13
5
9
2
7
6
46
1.一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差
数据x1,x2,…,xn的方差为①=②,标准差为③.
2.总体方差和总体标准差
(1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体的平均数为,则称S2=④为总体方差,S=⑤为总体标准差.
(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=.
3.样本方差和样本标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2=⑦为样本方差,s=⑧为样本标准差.
4.标准差的意义
标准差刻画了数据的⑨离散程度或⑩波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.
特别提醒
　　对标准差和方差概念的理解
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞).
标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.
(3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.
　　5.分层随机抽样的方差
设样本容量为n,平均数为,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为,,方差分别为,,则这个样本的方差为s2=[+(-)2]+[+(-)2].
思考:甲班和乙班各有学生20人、40人,甲班的数学成绩的平均分为80分,方差为2,乙班的数学成绩的平均分为82分,方差为4,那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是=81分吗?方差是=3吗?为什么?
探究一　方差和标准差的计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　某度假酒店为了了解会员对酒店的满意度,从中抽取了50名会员进行调查,把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分成五个评分标准:1分(很不满意);2分(不满意);3分(一般);4分(满意);5分(很满意),其统计结果如下表(住宿满意度为x,餐饮满意度为y).
　　　　餐饮满意度　
　人数住宿满意度　
　　
1
2
3
4
5
1
1
1
2
1
0
2
2
1
3
2
1
3
1
2
5
3
4
4
0
3
5
4
3
5
0
0
1
2
3
　　(1)求“住宿满意度”分数的平均数;
(2)求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差和标准差.
探究二　分层随机抽样的方差和标准差　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　将某班40名学生平均分成两组,两组学生某次考试的成绩情况如下表所示:
组别
平均数
标准差
第一组
90
4
第二组
80
6
　　求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差.
2-1　已知某省只有二、三、四线城市,其数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米,方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三、四线城市房价的方差分别为10,8,则该省二线城市的房价的方差为　　　　.?
探究三　样本的数字特征的综合应用
　　例3　某饮水机厂生产的A,B,C,D四类产品,每类产品均有经济型和豪华型两种型号,某一月的产量如下表(单位:台):
A
B
C
D
经济型
5
000
2
000
4
500
3
500
豪华型
2
000
3
000
1
500
500
　　(1)在这一个月生产的饮水机中,用分层随机抽样的方法抽取n台,其中有A类产品49台,求n的值;
(2)用随机抽样的方法从C类经济型饮水机中抽取10台进行质量检测,经检测它们的得分如下:7.9,9.4,7.8,9.4,8.6,9.2,10,9.4,7.9,9.4,从D类经济型饮水机中抽取10台进行质量检测,经检测它们的得分如下:8.9,9.3,8.8,9.2,8.6,9.2,9.0,9.0,8.4,8.6,根据分析,你会选择购买C类经济型饮水机还是D类经济型饮水机?
3-1　某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试,学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况,从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析,抽出的100名学生的地理、历史成绩如下表:
　　地理　人数历史　
　
[80,100]
[60,80)
[40,60)
[80,100]
8
m
9
[60,80)
9
n
9
[40,60)
8
15
7
若历史成绩在区间[80,100]内的占30%.
(1)求m,n的值;
(2)请根据上面抽出的100名学生的地理、历史成绩,填写下面地理、历史成绩的频数分布表:
[80,100]
[60,80)
[40,60)
地理
历史
　
根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表),并估计哪个学科的成绩更稳定.
1.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
甲
乙
丙
丁
平均成绩
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
若从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,则最佳人选是(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差s为(　　)
A.1
B.
C.
D.2
3.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:
班级
人数
平均数
方差
甲
20
2
乙
30
3
其中=,则两个班数学成绩的方差s2为(　　)
A.3
B.2
C.2.6
D.2.5
4.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有(　　)
A.s3>s1>s2
B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3
D.s3>s2>s1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本方差是(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
2.高三学生李丽在五次数学模拟考试中的成绩(单位:分)为x,y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩的平均数为108,方差为35.2,则|x-y|的值为(　　)
A.15
B.16
C.17
D.18
3.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为(　　)
A.8
B.15
C.16
D.32
4.(多选题)PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位:μg/m3)的折线图,则下列说法正确的是(　　)
A.这10天中PM2.5日均值的众数为33
B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32
C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差
5.若五个数据:1,2,3,4,a的平均数是3,则a=　　　　,这五个数的标准差是　　　　.?
6.统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下表:
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　　　　.?
7.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是4,则xy=　　　　.?
8.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享单车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了10名用户,得到用户的满意度评分分别为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.
(1)计算样本的平均数和方差s2;
(2)在(1)的条件下,若用户的满意度评分在(-s,+s)之间,则满意度等级为“A级”.试估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比.
参考数据:≈5.74.
9.某学校共有学生2
000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为=3,方差为s2=
2.003,其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为=2.6,=3.2,又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为=1,=2,=3,则高三学生每天读书时间的平均数=(　　)
A.3.3或2.7
B.3.3
C.2.7
D.4.5或3.2
10.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图,如图所示,记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为(　　)
A.s1>s2>s3
B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2
D.s3>s2>s1
11.(多选题)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛,参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表,某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是(　　)
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
12.由正整数组成的一组数据为x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为　　　　(从小到大排列).?
13.某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
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