9.2.4　总体离散程度的估计-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含解析）

9.2.4　总体离散程度的估计
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　)
A．平均数　　　　　
B．中位数
C．方差
D．众数
2．对一组样本数据xi(i＝1,2，…，n)，如将它们改为xi－m(i＝1,2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是(　　)
A．平均数与方差都不变
B．平均数与方差都变了
C．平均数不变，方差变了
D．平均数变了，方差不变
3．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为(　　)
A．　　　B．
C．2　　　D．
4．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为(　　)
A．15
B．16
C．17
D．18
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A．3
B．2　　　
C．2.6　　　
D．2.5
二、填空题
6．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________．
7．(一题两空)五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．
8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60
kg，标准差为60，男员工的平均体重为70
kg，标准差为50，女员工的平均体重为50
kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________．
三、解答题
9．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
11．(多选题)若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1,2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　)
A．平均数是10　　
B．平均数是11
C．方差为2
D．方差为3
12．(多选题)某学校共有学生2
000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝
3小时，方差为s2＝
2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.6，2＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则高三学生每天读书时间的平均数3可能是(　　)
A．3.2
B．3.3
C．2.7
D．4.5
13．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．
14．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差．
15．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，某市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：
第一档
第二档
第三档
每户每月用电量(单位：度)
[0,200]
(200,400]
(400，＋∞)
电价(单位：元/度)
0.61
0.66
0.91
例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．
为调查阶梯电价是否能起到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
[0,100]
②
(100,200]
③
(200,300]
④
(300,400]
⑤
(400,500]
⑥
(500,600]
合计
(1)完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；
(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？
参考答案
1.C　[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．]
2.D　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a≠0)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为，则正确答案应为D．]
3.D　[∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∴＝1，解得a＝－1.则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为.故选D．]
4.D　[由题意得，＝108，①
＝35.2，②
由①②解得或所以|x－y|＝18.故选D．]
5.C　[由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝×[2＋(甲－)2]＋×[3＋(乙－)2]
＝×2＋×3＝2.6.]
6.丙　[因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．]
7.5　　[由＝3得a＝5；
由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝.]
8.200　[设男、女员工的权重分别为ω男，ω女，
由题意可知s2＝ω男[s＋(男－)2]＋ω女[s＋(女－)2]，即
ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝，ω女＝，
因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.]
9.[解]　甲品种的样本平均数为×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.
乙品种的样本平均数为×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，样本方差为
[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
因为0.244＞0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．
10.[解]　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45，
年龄的方差为s＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝×38＋×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64.
11.BC　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s，故选BC．]
12.BC　[由题意可得
2．003＝[1＋(3－2.6)2]＋[2＋(3－3.2)2]＋[3＋(3－3)2]，
解得3＝3.3或2.7.]
13.1,1,3,3　[不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．
由条件知
即又x1，x2，x3，x4为正整数，
∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.
∵s＝＝1，
∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.
由此可得4个数分别为1,1,3,3.]
14.[解]　(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,
2)，[2,
2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.
(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是1＝0.25，2＝0.75，3＝1.25，4＝1.75，5＝2.25，6＝2.75，7＝3.25，8＝3.75，9＝4.25,
这100户居民的月均用水量为＝0.04×0.25＋0.08×0.75＋0.15×1.25＋0.21×1.75＋0.25×2.25＋0.15×2.75＋0.06×3.25＋0.04×3.75＋0.02×4.25＝2.03，
则这100户居民月均用水量的方差为
s2＝0.04×[0.3＋(0.25－2.03)2]＋0.08×[0.3＋(0.75－2.03)2]＋0.15×[0.3＋(1.25－2.03)2]＋0.21×[0.3＋(1.75－2.03)2]＋0.25×[0.4＋(2.25－2.03)2]＋0.15×[0.4＋(2.75－2.03)2]＋0.06×[0.4＋(3.25－2.03)2]＋0.04×[0.4＋(3.75－2.03)2]＋0.02×[0.4＋(4.25－2.03)2]＝1.113
6.
15.[解]　(1)频率分布表如下：
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
[0,100]
4
0.04
②
(100,200]
12
0.12
③
(200,300]
24
0.24
④
(300,400]
30
0.30
⑤
(400,500]
26
0.26
⑥
(500,600]
4
0.04
合计
100
1
频率分布直方图如图：
(2)该100户用户11月的平均用电量
＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．
(3)y1＝0.65x，
y2＝
由y2≤y1得或
或
解得x≤≈423.1.
因为x∈N，故x的最大值为423.
根据频率分布直方图，x≤423时的频率为0.04＋0.12＋0.24＋0.3＋23×0.002
6＝0.759
8＞0.75，
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．