教
案
教学基本信息
课题
第八章二元一次方程组全章小结2
学科
数学
学段：
初中
年级
七
教材
书名：
数学
出版社：
人教版
出版日期：
2019年12
月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
实施者
指导者
课件制作者
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
本节课对本章内容所涉及的二元一次方程组的思想和方法进行了概述和回顾。在构建知识结构和网络的背景下不仅复习由未知向已知转化中解法的程序化思想，还从由一元到多元延伸意义的探讨中深化符号意识、代数思维，提升数学抽象、模型思想等核心素养。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
回忆本章所学的内容：1、二元一次方程（组）相关概念，2、掌握了用代入消元法和加减消元法来解二（三）元一次方程组
3、运用方程（组）模型解决一些实际问题.回顾这些知识、提炼学习过程，大家能否在脑子里织一个网，把它们有条理的网罗起来呢？
温故知新、感受二元一次方程组知识之间的联系，引出新知
新课
环节一：构建知识体系、画出知识结构图.
你能不能说一说，通过本章的学习，你印象深刻内容是什么？
其一解法以及解法中问题转化的方法，其二是建立方程解决实际问题的模型思想.
首先复习第一个内容：解法篇
例题：
例：求下列方程组的解.
相信大家都会解。大家能把解法过程用框图的形式画出来吗？在画图的过程中将代入法、加减法解二元一次方程组的过程梳理一下。画图的时候思考每一步是什么？每一步的做法的目的是什么？
代入法解方程组过程框图
加减法解方程组过程框图
基本策略：化多为少，由繁至简，各个击破.
具体措施：代入法和加减法消元
这几幅图的构建希望同学们体会:未知向已知转化的程序化思想，在今后学习中还会用到.
例题2：解方程组时消元、化归是非常重要的，使用什么样的方式能使运算更加简便，需要我们具体多观察、多思考.请看这个方程组怎么解？
从前面的例题学习过程中，希望同学们注意，在解方程组的过程中，既要有按照解法步骤进行求解的好习惯，又应该多观察、勤思考，有灵活运用多种方法消元的意识.
接下来复习第二个内容：应用篇
解决应用问题是一个建模的过程。建立方程解决问题的模型思想是方程学习的核心内容。首先我们一起通过一道题来复习这一过程.
例:某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑.请你设计几种不同的购买方案，供这个学校选择，并说明理由.
从上面这个问题很好的体现了，利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程,这是利用方程组解决实际问题的一般步骤，它与一元一次方程解决问题的基本过程图基本一致。
练习
《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中“方程术”是《九章算术》最高的数学成就.
其中记载:
“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金
八两.
问牛、羊各直金几何？”
设未知数、列方程组是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤。如何建立方程解决问题，提高分析问题和解决问题的能力需要同学们在学习中体会、反思和总结。
例：从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少？
画出图形辅助理解题意、画出表格梳理关系，这些都可以帮助我们顺利的找出等量关系、设未知数、列方程组.
探究：已知
中每一个数值只能取－2、
0、
1中的一个,且满足
求
除了要求的未知量还存在隐含的未知量，寻找等量关系，找到隐含未知量是关键,也是一个考验。
探究：如图1是四个完全一样的直角三角形拼成的图形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中图形的面积为______.
发现面积与对角线一半的两条线段长有关，这两个未知量在两个图中满足两个等量关系，设两个未知数列两个方程，求解出来自然而然。加强建立方程解决问题的模型意识
.
希望大家关注：
1.为什么考虑列方程组解决问题？
2.如何确定未知数？
3.怎样列方程组？
分析数量关系
发现等量关系
列出二元一次方程组
解二元一次方程组
得到实际问题的答案，这是一个典型的数学建模过程,
要在学习中逐渐体会.
练习.有一些相同的房间需要粉刷墙面.一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面.每个房间需要粉刷的面积是多少？
对于未知量比较多，数量关系比较复杂的应用问题，适当设未知元，可以直接根据语言转化列方程，使列方程更加方便、问题解决更加顺畅.
方法对比总结认识：
它们解决问题的过程一样，都是建模的过程.一般地,问题有几个等量关系就可以列出几个方程.随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂，列方程组将会更加直接.
初步培养学生建立数学结构图解决问题的良好习惯
归纳知识结构图让学生初步直观的感知本章的知识结构.
展示整理、归纳的知识结构图、学生回忆本章的知识及知识的联系、启发学生动手操作、创新提炼绘制自己的结构图.
展示解法过程图.
与学生一起回忆.展示代入法结构图，加减法结构图.
能够初步形成转化的方式解决问题的程序化的想法.对于今后其它方程不等式的学习都可类比.
教师通过讲评引领学生归纳提升。培养学生良好的反思习惯.
以含有多个未知数的实际问题为背景,
经历“分析数量关系,
设未知数,
列方程组,
解方程组和检验结果”的过程,
体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型.
进一步认识利用二（三）元一次方程组解决实际问题的基本过程,
体会数学应用的价值,
提高分析问题、解决问题的能力.
在不断学习中去体会和总结其中建模的思想..
模型思想是重要的数学思想.设未知数、列方程组是这一章中用数学模型解决实际问题的关键,
需要在不断运用中去加深理解。
分析其中的等量关系是设未知数、列方程组的基础。
建立方程的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系.
借助图形表格式子帮助分析、找出等量关系.
含有多个未知量的实际问题中，如果列一元一次方程，在设一个未知数x
之后，还需要借助题目中的等量关系，将其它的未知数用x表示出来，有时会很复杂.而再设一个未知数y之后，列二元一次方程组就容易的多，直接通过语言转化就可以得到方程组。这个认识还可以拓展到多元方程组中去。
通过问题认识引入未知元的意义，从一元到多元延伸.
练习的设计希望促使学生理解对于未知量比较多，数量关系比较复杂的应用问题，多设一个未知量，可以使列方程更加方便、顺畅，当然也会使消元的步骤更多一些，所以需要我们多思考，因势利导灵活的运用合理选择.
例题
例：求下列方程组的解.
例:某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑.请你设计几种不同的购买方案，供这个学校选择，并说明理由.
探究：已知
中每一个数值只能取－2、
0、
1中的一个,且满足求
除了要求的未知量还存在隐含的未知量，寻找等量关系，找到隐含未知量是关键,也是一个考验。
探究：如图1是四个完全一样的直角三角形拼成的图形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中图形的面积为______.
帮助学生分析怎样设未知数、怎样列方程.
通过本章内容的学习，希望大家在方程已有认知基础上得到发展，做好从“一元”到“二元”、“三元”以及“多元”的过渡和转化.
总结
方程组是解决涉及求多个未知数的问题的重要工具.,它的学习使学生进一步更加深切的体会方程的模型思想,
进一步感受代数方法的优势.为学习不等式组以及函数奠定基础.
其中的知识素养希望在本节课中感受、提升.
作业
作业1解方程组：
（1）（2）
作业2：甲地到乙地的全程是3.3km,一段上坡、一段平路、一段下坡，如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需要51min,从乙地到甲地需53.4min.从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程是多少？
（将学习任务单的作业复制于此）《二元一次方程组全章小结2》学习任务单
【学习目标】
本节课对本章内容所涉及的二元一次方程组的思想和方法进行了概述和回顾。在构建知识结构和网络的背景下不仅复习由未知向已知转化中解法的程序化思想，还从由一元到多元延伸意义的探讨中深化符号意识、代数思维，提升数学抽象、模型思想等核心素养。
【课上任务】
1．本章学习了哪些知识内容？
2．能否在脑子里织一个网，把它们有条理的网罗起来呢？
3．利用二(三)元一次方程组解决问题的基本过程你能不能画出结构图呢？
4.还有代入法、加减法解二元一次方程组的过程你能不能也梳理一下呢？
5.还记得解三元一次方程组的程序是什么吗？能不能画出程序图？
6.与老师共同思考问题怎么解答？自己的想法是怎样的？
【学习疑问】（可选）
7．哪个知识点、那种方法没想到？
8．怎么将知识结成网？
9．程序、结构、链接图对学习的启发？
10．您想向同伴提出什么问题？
11．您想向老师提出什么问题？
12．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？
【课后作业】
13．作业1（见教学设计之作业设计）
一、选择题
1.已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．±2
B．
C．2
D．
4
2.
方程2x+y=9在正整数范围内的解有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（ ）
A． B．
4.
如右图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的矩形，
长方形ABCD的面积是
（
）
A．140
B.280
C
.320
D.420
二、解答题
5.解方程组（1）解方程组
（2）解方程组
6．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其恰好捐助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
年级
捐款数额（元）
捐助贫困中学生人数
捐助贫困
学生人数
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
（1）求a、b的值.
（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需写出计算过程）
7.
如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨?千米），铁路运价为1.2元/（吨?千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：
（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
作业答案：
1.D，2.D，3.D，4.B；5.（1）x=2,y=3;(2)m=7,n=2;
6.（1）a=800,b=600，（2）4，7；
7.（1）400吨原料，300吨产品，（2）1887800
