(共14张PPT)
算法案例
（第三课时）
一、进位制
1、什么是进位制？
2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．
进位制是人们为了计数和运算方便
而约定的记数系统。
1、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？
十进制由两个部分构成
例如：3721
其它进位制的数又是如何的呢？
1、它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字；
2、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。
(用10个数字来记数，称基数为10)
表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，
3个千即3个10的立方
2、 二进制
二进制是用0、1两个数字来描述的。如11001等
（１）二进制的表示方法
区分的写法：11001（2）或者（11001）2
8进制呢？
如7342(8)
k进制呢？
anan-1an-2…a2a1(k)？
二、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1 将二进制数110011(2)化成十进制数
解：
根据进位制的定义可知
所以，110011（2）=51。
练习
将下面的二进制数化为十进制数？
（1）111
（2）1110
（2）7342(8)=________(10)
将k进制数a转换为十进制数(共有 n位)的程序
a=anan-1… a3a2a1(k)
=ank(n-1)+an-1k(n-2)+ … + a3k2 +a2k1+a1k0
b=a1k0
b=a2k1 +b
b=a3k2 + b
…
b=ankn-1 +b
ai=GET a[i]
GET函数用于取出a的右数第i位数
INPUT a,k,n
i=1
b=0
WHILE i<=n
t=GET a[i]
b=t*k^(i-1)+b
i=i+1
WEND
PRINT b
END
i=i+1
i=1
b=aiki-1+b
2、十进制转换为二进制
(除2取余法：用2连续去除89或所得的商，然后取余数)
例2 把89化为二进制数
解：
根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
＝ 2× (2×22＋0)+1
＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1
＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1
5＝ 2× 2＋1
＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋0＋21
89＝2×44＋1
44＝ 2×22＋0
22＝ 2×11＋0
11＝ 2× 5＋1
＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
2、十进制转换为二进制
例2 把89化为二进制数
5
2
2
2
1
2
0
1
0
余数
11
22
48
89
2
2
2
2
0
1
1
0
1
注意：
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，
得到：89=1011001（2）
练习
将下面的十进制数化为二进制数？
（1）20
（2）128
例3 把89化为五进制数
3、十进制转换为其它进制
解：
根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
所以，89=324（5）。
89
5
17
5
3
5
0
4
2
3
余数
练习：P45 3
小结与作业
2、掌握二进制与十进制之间的转换
1、进位制的概念
作业：课本P38，习题1.3
第4题(共15张PPT)
算 法 案 例
(第二课时)
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ）
A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
案例2、秦九韶算法
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１
=5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１
=5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１
=5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１
=5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法
设
是一个n 次的多项式
对该多项式按下面的方式进行改写：
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
最后的一项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。
秦九韶算法的特点：
例2 已知一个五次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。
解：
将多项式变形：
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
第三步：输入i次项的系数ai.
第四步：v=vx+ai,i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。
(1)程序框图：
输入ai
开始
输入n,an,x
i>=0
输出v
结束
v=vx+ai
i=i-1
Y
N
i=n-1
V=an
（2）程序：
INPUT “n=”；n
INPUT “an=“;a
INPUT “x=“;x
v=a
i=n-1
WHILE i>=0
PRINT “i=“;i
INPUT “ai=“;a
v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
练习、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的程序框图(共18张PPT)
算 法 案 例
第一课时
1. 回顾算法的三种表示方法：
（1）、自然语言
（2）、程序框图
（3）、程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
复习引入
2. 思考：
小学学过的求两个数的最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
例：求下面两个正整数的最大公约数：
（1）求25和35的最大公约数
（2）求49和63的最大公约数
25
（1）
5
5
35
7
49
（2）
7
7
63
9
所以，25和35的最大公约数为5
所以，49和63的最大公约数为7
思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？
例：如何算出8251和6105的最大公约数？
新课讲解：
一、辗转相除法（欧几里得算法）
1、定义：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
2、步骤： （以求8251和6105的最大公约数的过程为例）
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0
是
否
思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
(2)、程序框图：
开始
输入m,n
r=m MOD n
m=n
r=0
是
否
n=r
输出m
结束
(3)、程序：
INPUT “m,n=“;m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
练习：P45 1 (1) (3)
二、更相减损术
可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
（1）、《九章算术》中的更相减损术：
1、背景介绍：
（2）、现代数学中的更相减损术：
2、定义：
所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。
例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21
21－7＝21
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
3、方法：
1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
练习：
思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。
2、求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。
小结
