(共24张PPT)
3.1.1
椭圆及其标准方程
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
情境一：用圆柱形水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．
当端起水杯，水杯倾斜时，再观察水面，此时截面为椭圆形.???
问题1：联想生活中还有哪些物体是椭圆形的？
新知导入
情境二：
新知讲解
实验操作
(1)取一条定长的细绳；
(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；
(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．
动手实验：如果将圆心从一点“分裂”成两点，把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点（
），套上铅笔，拉紧绳子，慢慢移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
新知讲解
实验探究，形成概念
思考？
(1)在作图中，哪些量没有变？
的和是否变化？
(2)
与
的大小关系是？
(3)若绳长与两定点
的距离相等，画出的图形是？
(4)绳长能小于两定点
之间的距离吗？
新知讲解
实验探究：椭圆的定义
椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.一般用
表示.
新知讲解
注意:(1)若|PF1|+|PF2|>|F1F2|,P点轨迹为椭圆.
(2)若|PF1|+|PF2|=|F1F2|,P点轨迹为线段.
(3)若|PF1|+|PF2|<|F1F2|,P点轨迹不存在.
思考：在平面内动点P到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
新知讲解
研讨探究，推导方程
问题：求曲线方程的一般步骤是什么？
①建系、设点
②列式
③代换
④化简
⑤证明
第一步：
如何建立适当的坐标系呢？
想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？
O
x
y
M
F1
F2
合作探究
设M(x,
y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2
的距离的和等于2a(2a>2c>0)
.
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
设M(x,
y
)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a
(2a>2c)
，则F1，F2的坐标分别是(?c,0)，(c,0)
.
O
x
y
M
F1
F2
新知讲解
由椭圆的定义得
因为
移项，再平方
新知讲解
整理得
两边再平方，得
新知讲解
新知讲解
它表示焦点在y轴上的椭圆.
它表示焦点在x轴上的椭圆.
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
归纳概括
新知讲解
（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式
的平方和，右边是1;
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，
则焦点在哪一个轴上;
（3）椭圆标准方程是关于x和y的二元二次方程，不含一次项;
（4）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.
椭圆的标准方程有哪些特征呢？
例1：已知椭圆的两个焦点的坐标分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，并且经过点
，求它的标准方程.
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
由椭圆的定义知
C=2
,所以
所以，椭圆的标准方程是：
例题讲解
即
例2：在圆
上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂
足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为
，点P的坐标为
，则点D
的坐标为
，由点M是线段PD的中点，得
因为点P
在圆
上，所以
把
代入上式得
所以点M的轨迹是椭圆.
例题讲解
例题讲解
例3：设A,B两点的坐标分别为(－5,0)，(5,0).直线AM,BM相交于点M，
且它们的斜率之积为
，求点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为（x,y)，因为点A的坐标为（-5，0），所以直线AM的斜率为：
同理BM的斜率为：
由已知，有
化简得到点M的轨迹为：
点M的轨迹是去掉A,B两点的椭圆.
课堂练习
1.已知F1，F2是椭圆
的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为(
)
A.10
B.20
C.30
D.40
B
y
o
F1
F2
M
x
N
2.
椭圆
的焦距是（
）
B
A.
1
B.
2
C.
4
D.
课堂练习
3.
椭圆
上的一点P到焦点F1的距离等于6，
那么点P到另外的一个焦点F2的距离是_____.
14
4.已知方程
表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是
.
(0,4)
5.已知F1，F2
是椭圆
的两个焦点
,A，B为过点F1的直线与椭圆的两个交点.则△AF1F2
的周长为_____.
18
课堂总结
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）
的点的集合称为椭圆.
距离之和：
焦距：
2.椭圆的标准方程：
焦点在x轴上：
焦点在y轴上：
1.椭圆的定义：
板书设计
1.椭圆的定义
2.椭圆标准方程
例1、2、3
五、作业布置
三、课堂练习
二、探索新知
一、情境导入
3.1.1
椭圆及其标准方程
四、课堂小结
作业布置
课本109页练习题1，2，3，4
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3.1.1椭圆及其标准方程教学设计
课题
3.1.1椭圆及其标准方程
单元
第三单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课是圆锥曲线的第一课时.从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础.因此本节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一.
课程目标与核心素养
课程目标1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．2.掌握椭圆标准方程的两种形式，会用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．核心素养1.数学抽象：曲线与方程的关系；2.逻辑推理：曲线的方程与方程的曲线的关系；3.数学运算：
根据条件求曲线的方程；4.数学建模：运用方程研究曲线的性质.
重点
椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式.
难点
运用标准方程解决相关问题.
教学准备
学生：细绳、图板、图钉教师：椭圆模型
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
情景1：用圆柱形水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯，水杯倾斜时，再观察水平面，此时截面为椭圆形．（演示）问题1：联想生活中还有哪些是椭圆图形？
情景2：问题2：（1）圆是怎么画出来的？（2）圆的定义是什么？（3）圆的标准方程是什么形式的？猜想：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方程又是什么形式？
学生观察学生举例思考问题，引出本节新课内容.
引入生活情境激发学生的学习欲望.使学生从实际生活中认识椭圆.用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学.
讲授新课
实验探究，形成概念动手实验：将圆心从一点“分裂”成两点，把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点，套上铅笔，拉紧绳子，慢慢移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？让学生自己动手画图，使其探究性学习，并思考下问题：(1)在作图中，哪些量没有变？的和是否变化？(2)与的大小关系是？(3)若绳长与两定点的距离相等，画出的图形是？(4)绳长能小于两定点之间的距离吗？形成概念(1)
用几何画板动态演示椭圆的形成过程.(2)
引导学生概括椭圆定义.椭圆定义平面内到两个定点的距离和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作：(1)当时，轨迹是线段；(2)当时，无轨迹.研讨探究、推导方程问题：求曲线方程的一般步骤是什么？①建系、取点；②列式；③代换；④化简；⑤证明如图所示，已知焦点为的椭圆，且，对椭圆上任一点，有，尝试推导椭圆的方程.问题：为使求出的方程简单，该如何建立坐标系？具体过程：设是椭圆上任意一点，设,则；与两定点的距离的和等于，则，即
问题：针对，我们该如何化简呢？是直接平方呢，还是整理后再平方呢？通过分析，我们知道针对，应先整理再平方，这样可使计算简单，具体操作如下：移项得：，平方得：，即
，两边平方得：，整理得：
.令，则方程可简化为：，整理得：
.试想：若以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，则会得到怎样的椭圆方程呢?归纳概括标准方程图形a,b,c关系焦点坐标焦点位置在x轴上在y轴上通过填写的表格，归纳总结椭圆标准方程的特点：(1)椭圆标准方程是关于的二元二次方程，不含有一次项；(2)椭圆标准方程形式：左边是两个分式平方和，右边是1；(3)方程中的系数不相等，系数哪个小，焦点就在哪个轴上.(4)椭圆的标准方程中
满足.典例解析例1：已知两个焦点的坐标分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，并且经过点P，求它的标准方程.解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义知c＝5，所以，所以即椭圆的标准方程为.例2：在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为.当在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？解：设点坐标为，点的坐标为，则点，由点是线段的中点得：，因为点在圆上运动，所以，把代入上式中得，即.法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1，所以点的轨迹是椭圆.例3：设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程.解：设点坐标为，因为点的坐标为，所以直线的斜率为：，同理直线的斜率为：，由已知得，化简得到点的轨迹是，所以点的轨迹是去掉两点的椭圆.课堂练习1.已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，则三角形的周长为（）
2.椭圆的焦点是（）
3.椭圆上一点到焦点的距离为6，那么到另一个焦点的距离是
14
4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是.5.已知是椭圆的两个焦点，为过点的直线与椭圆的两个交点，则三角形的周长为
18.
学生自己动手操作利用动画显示结果.学生回答根据建立合理坐标系求圆的方程的过程，应以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样求出的椭圆方程应该较简单.对教师提出的问题进行思考、分析.学生分析解题思路，教师展示过程.
给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲；通过形成椭圆的点的动态变化，让学生进一步体会变与不变的联系.通过回想手动操作画出椭圆的过程，引导学生思考、归纳学习并深入理解椭圆定义，从而为后面求椭圆的标准方程做铺垫.让学生尝试化简求出焦点在轴上的椭圆标准方程，分析得出焦点在轴上的椭圆标准方程，并进行对比、概括、记忆.将两种类型的椭圆方程加以比较，可以加深学生对椭圆相关知识的理解和深化，为后面进一步研究椭圆奠定基础.加强学生对椭圆定义和标准方程的理解和巩固，同时加深关系式的应用，让学生学会“先定位，再定量”，初步根据定义及求椭圆的方程，为后面进一步学习椭圆方程的求法做铺垫.
课堂小结
1.椭圆的定义
平面内与两定点的距离之和等于常数的点的集合称为椭圆.2.椭圆的标准方程：焦点在轴上
焦点在轴上
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§3.1.1
椭圆及其标准方程椭圆的定义椭圆的标准方程
四、课堂小结焦点在X轴上焦点在Y轴上
五、作业布置典型例题
教学反思
x
y
M
O
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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