4.3公式法(2)——完全平方公式(含答案）

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北师大版2020?2021学年度下学期八年级数学下册第四章因式分解
4.3
公式法
第2课时——完全平方式
【知识清单】
1．完全平方公式：
(1)文字叙述：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方.
(2)字母表示：a2±2ab
+
b2
=
(a
±b)2.
2．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
(1)要有两个符号相同的平方项和一个交叉项.
?
(2)交叉项等于两个平方项底数的积的2倍.?????
(3)完全平方式的形式为：
①首2+2×首×尾+尾2=(首+尾)2?，②首2?2×首×尾+尾2=(首?尾)2?.
(4)分解的结果是和的平方还是差的平方，取决于交叉项的符号.?当交叉项的符号是“+”时，分解结果就是和的平方.?当交叉项的符号是“?”时，分解结果就是差的平方.
3．分解因式的一般步骤：
(1)先看各项有没有公因式，如果有，就先提公因式；
(2)再观察项数，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项可考虑用完全平方公式；
(3)如果分解之后的因式还能分解，要继续分解，直至不能分解为止.
【经典例题】
例题1、代数式x2?25，?7x2+35x与x2?10x+25的公因式为(　　)
A．x+5
B．(x?5)2
C．x?5
D．x2+5
【考点】运用公式法分解因式．?
【分析】首先将三个多项式进行因式分解，然后找到各个多项式的公因式即可.
【解答】x2?25=(x+5)(x?5)；
?7x2+35x
=?7(x?5)；
x2?10x+25=
x2
?2×5x+52=(x?5)2．
因此3个多项式的公因式是x?5．故选：C．
【点评】本题主要考查了运用公式法分解因式的能力，解决这类题目步骤先对每个多项式进行因式分解，然后找出三个多项式的公因式即可，正确分解因式是解决此类问题的关键．
例题2、把下列各式分解因式．
(1)
14a?7a2?7；
(2)3(4a?3b)2?30(4a?3b)+75；
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】(1)先提取公因式?7，再根据完全平方公式进行二次分解；
(2)把(4a?3b)看作一个整体提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
【解答】(1)原式=?7(a2?2a+1)=?7(a?1)2；
(2)原式=3[4a?3b)2?10(4a?3b)+25]=3(4a?3b?5)2；
【点评】本题考查了因式分解的综合能力，分解因式首先要提取公因式，然后再看能否使用公式法或其它分解法(分组分解法、拆项补项法等)，熟记分解因式的公式法的公式结构特点是解题的关键．
【夯实基础】
1．下列多项式能用完全平方公式分解的是(
)
A．a2+2ab+4b2
B．?a2?4ax+4x2
C．?2x+1+x2
D．x2?x+
2．若4a2?7(m?6)ab+49b2是一个完全平方式，则m=(
)
A．10
B．2
C．±2
D．10或2
3．下列各式①?x2?4y2；②a?9b2；③m2?9n2；④?x6+y6；⑤?x2?y2?2xy；⑥a2?2ab?b2；⑦；⑧9a2?3a+1.其中，能用公式法分解因式的个数是(
)
A．6
B．5
C．4
D．3
4．分解因式(2a+b)(b?2a)?b(5b?8a)，结果正确的是(
)
A．?2(a2?2ab+
b2)
B．?2(a?b)
2
C．?2(a+b)
2
D．2(a?b)
2
5．长方提的体积为3a3+18a2+27a，高为3a，则它的底边周长为
.
6．多项式9x2
+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能
是
．
(把符合要求的写出来3个即可)．
7．分解因式：
(1)a2b?2ab+b；
(2)?x3+x2?x；
(3)
(x+y)(x?y)+4(y?1)；
(4)
(x2+3x+2)
(x2+3x+4)+1；
(5)
1+2xy?x2?y2；
(6)
x2+y2?x2y2?1
8．运用公式进行简便计算：
(1)
20212?4040×2021+20202；
(2)7.872+2×7.87×2.13+2.132；
(3)
(4)
9．(1)
已知实数x，y，z，满足x=10?y，z2=xy?25，求证：x=y.
(2)
若m2=2n+3，n2=2m+3(m≠n)，求m3?2mn+n3的值．
【提优特训】
10．多项式x4?8x2+16分解正确的是(
)
A．(x+2)2
(x?2)2
B．(x2+4)
(x2?4)
C．(x2?4)2
D．(x2+4)
(x+2)
(x?2)
11．已知a，b，c是△ABC的三条边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状为
(
)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
12．已知P=x2?xy+1，Q=xy?4y2，则P、Q的大小为(
)
A．PB．P≥Q
C．P≤Q
D．P>Q
13．直角三角形的斜边c与一条直角边a是连续自然数，那么另一条直角边的平方是(
)
A．c+a
B．c?a
C．ca
D．
14．已知(2021?a)(2019?a)=2020，那么(2021?a)2+(2019?a)2=
.
15．已知a+b=，则关于x的不等式组有解，则m的取值范围
是
.
16．若实数x、y满足2x2+y2?6x=0，则x2+y2+2x的最大值为______．
17．(1)设x=，则2x2?16x+30的值；
(2)
已知a，b，c是△ABC的三条边，证明：(a2+b2?c2)2?4a2b2是负数.
18．阅读下列解题过程，再解答问题：
例题：分解因式(1)x4?3x2+1；(2)x4+x2+1.
解：(1)将?3x2拆成?2x2和?x2两项，则x4?3x2+1=(x4?2x2+1)?
x2=(x2?1)2?x2=(x2+x?1)(x2?x?1)；
(2)将多项式x4+x2+1加上x2和?x2，则x4+x2+1=
x4+2x2+1?
x2
=(
x2+1)2
?x2=(x2+x+1)(x2?x+1)；
用这种方法分解因式一般称为拆项补项法.
由上面的解题方法解答下列问题：
(1)分解因式：①x2?3x?4；
②x3?1.
(2)求证：20202+20202×20212+20212是完全平方数.
【中考链接】
19．(2020?西藏)
下列分解因式正确的一项是(
)
A．x2?9＝(x+3)(x?3)
B．2xy+4x＝2(xy+2x)
C．x2?2x?1＝(x?1)2
D．x2+y2＝(x+y)2
20．(2020?益阳)下列因式分解正确的是(
)
A．a(a?b)?b(a?b)
=(a+b)
(a?b)
B．a2?9b2=
(a?3b)2
C．a2+4ab+4b2=(a+2b)2
D．a2?ab+a=?a(a?b)
21．(2020?眉山)
已知a2+=2a?b?2，则3a?的值为
(
)
A．4
B．2
C．?2
D．?4
22．分解因式：
(1)
(2020?眉山)
a3?4a2+4a=
；
(2)
(2020?鞍山)
a3?2a2b+ab2=
；
(3)
(2020?营口)
ax2?2axy+ay2=
；
(4)
(2020?扬州)x3?2x2+x=
；
(5)
(2020?宁夏)3a2?6a+3=
；
(6)
(2020?哈尔滨)m2n+6mn+9n=
；
(7)
(2020?自贡)3a2?6ab+3b2=
；
(8)
(2020?咸宁)mx2?2mx+m=
.
参考答案
1、D
2、D
3、C
4、B
6、6x或?6x或?
10、A
11、C
12、D
13、A
14、4044
15、m<5
16、15
19、A
20、C
21、A
7．解：(1)原式=b(a2?2a+1)
=b(a?1)2；
(2)原式=?x3+x2?x
=?x(x2?2x+1)
=?x(x?1)2；
(3)原式=
x2?y2
+4y?4
=
x2?(y2
?4y+4)
=
x2?(y?2)
2
=(x+y?2)(x?y+2)；
(4)原式=(x2+3x)2+6
(x2+3x)+8+1
=(x2+3x)2+6
(x2+3x)+9
=(x2+3x+3)2；
(5)原式=1?(
x2
?2xy+y2)=1?(x?y)2=(1+x?y)(1?x+y)；
(6)原式=(x2?1)+(y2?x2y2)=
(x2?1)?
y2(x2?1)=
(x2?1)(1?
y2)=(x+1)(x?1)(1+y)(1?y).
8．解：(1)原式=20212?2×2020×2021+20202
=(2021?2020)2=1；
(2)原式=(7.87+2.13)2=100；
(3)原式=；
(4)原式==.
9．(1)
已知实数x，y，z，满足x=10?y，z2=xy?25，求证：x=y.
解：∵x=10?y，∴z2=(10?y)y?25=10y?y2?25，
∴z2+
y2?10y
+25=0，
∴z2+
(y?5)
2=0，
∴z=0，y?5=0，
∴z=0，y=5，
∴x=10?y=5，
∴x=y.
(2)
若m2=2n+3，n2=2m+3(m≠n)，求m3?2mn+n3的值．
解：由题意可得m2?n2=?2(m?n)，
(m+n)(
m?n)+2
(
m?n)=0，
(
m?n)(
m+n+2)=0，
∵m≠n，
∴m?n≠0，
∴m+n+2=0，即m+n=?2；
∴m3?2mn+n3
=m(n+3)
?2mn+n(m+3)
=mn+3m?2mn+mn+3n
=3(m+n)=
?6.
17．(1)设x=，则2x2?16x+30的值为
.
解：∵x==
=
==，
∴x?4=，
∴
x2?8x+16=3，
∴x2?8x+13=0，
∴2x2?16x+30=2(x2?8x+15)=2(x2?8x+13+2)=4.
(2)
已知a，b，c是△ABC的三条边，证明：(a2+b2?c2)2?4a2b2是负数；
证明：(a2+b2?c2)2?4a2b2
=(a2+b2?c2)2?(2ab)2
=(a2+b2?c2+2ab)
(a2+b2?c2?2ab)
=
[(a2+2ab
+b2)?c2][
(a2?2ab
+b2)?c2]
=
[(a+b)2?c2][
(a?b)2?c2]
=(a+b+c)(a+b?c)(a?b+c)(a?b?c)
∵a，b，c是△ABC的三条边，
∴(a+b+c
>0，
a+b?c>0
，a?b+c>0
，a?b?c<0，
∴(a+b+c)(a+b?c)(a?b+c)(a?b?c)
<0.
∴(a2+b2?c2)2?4a2b2是负数.
18．阅读下列解题过程，再解答问题：
例题：分解因式(1)x4?3x2+1；(2)x4+x2+1.
解：(1)将?3x2拆成?2x2和?x2两项，则x4?3x2+1=(x4?2x2+1)?
x2=(x2?1)2?x2=(x2+x?1)(x2?x?1)；
(2)将多项式x4+x2+1加上x2和?x2，则x4+x2+1=
x4+2x2+1?
x2
=(
x2+1)2
?x2=(x2+x+1)(x2?x+1)；
用这种方法分解因式一般称为拆项补项法.
由上面的解题方法解答下列问题：
(1)分解因式：①x2?3x?4；
②x3?1.
解：①x2?3x?4
=
x2?4x+x?4
=x(x?4)+
(x?4)
=(x?4)
(x+1)；
②x3?1
=
x3+x2+x?x2?x?1
=(
x3+x2+x)?(
x2+x+1)
=x(x2+x+1)?(
x2+x+1)
=(x?1)
(x2+x+1).
(2)求证：20202+20202×20212+20212是完全平方数.
证明：设a=2020，则20202+20202×20212+20212
=a2+a2
(a+1)2+(a+1)2
=a2?2a(a+1)+(a+1)2
+2a(a+1)+
[a
(a+1)
]2
=
[a?(a+1)]2+2a(a+1)+
[a
(a+1)
]2
=1+2a(a+1)+[a(a+1)]2
=[1+a(a+1)]2=(a2+a+1)2.
所以a2+a2(a+1)2+(a+1)2是完全平方式.
所以20202+20202×20212+20212=(1+2020×2021)2
所以20202+20202×20212+20212是完全平方数.
22．分解因式：
(1)
(2020?眉山)
a3?4a2+4a=
a(a?2)2
；
(2)
(2020?鞍山)
a3?2a2b+ab2=
a(a?b)2
；
(3)
(2020?营口)
ax2?2axy+ay2=
a(x?y)2
；
(4)
(2020?扬州)x3?2x2+x=
x(x?1)2
；
(5)
(2020?宁夏)3a2?6a+3=
3(a?1)2
；
(6)
(2020?哈尔滨)m2n+6mn+9n=
n(m+3)2
；
(7)
(2020?自贡)3a2?6ab+3b2=
3(a?b)2
；
(8)
(2020?咸宁)mx2?2mx+m=
m(x?1)2
.
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