2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第1章三角形的证明 单元测试练习 自我综合评价（word版含答案）

自我综合评价(一)
[测试范围:第一章　三角形的证明　时间:40分钟　分值:100分]
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.下列命题的逆命题是真命题的是
(　　)
A.如果a>0,b>0,那么a+b>0
B.直角都相等
C.两直线平行,同位角相等
D.若a=b,则|a|=|b|
2.如果等腰三角形的一个外角为140°,那么该等腰三角形的底角为
(　　)
A.40°
B.60°
C.70°
D.40°或70°
3.如图1-Z-1,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在
(　　)
图1-Z-1
A.AC,BC两边上的高所在直线的交点处
B.AC,BC两边上的中线的交点处
C.∠A,∠B两内角平分线的交点处
D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
4.如图1-Z-2,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地相距
(　　)
图1-Z-2
A.30海里
B.40海里
C.50海里
D.60海里
5.如图1-Z-3,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD,则
△BDC的周长是
(　　)
图1-Z-3
A.9
B.10
C.11
D.15
6.如图1-Z-4,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD为△ABC的角平分线,若AC=12,则△ABD中AB边上的高为
(　　)
图1-Z-4
A.3
B.4
C.5
D.6
7.如图1-Z-5,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,S△ABC=5.6,DE=1.6,
AB=4,则AC的长是
(　　)
图1-Z-5
A.6　　　
B.5　　　
C.4　　　
D.3
8.如图1-Z-6,长方体的底面边长分别为2
cm和3
cm,高为6
cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B,那么所用细线最短需要
(　　)
图1-Z-6
A.11
cm
B.2
cm
C.(8+2)cm
D.(7+3)cm
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.如图1-Z-7,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是　　　　　　.?
图1-Z-7
10.用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是直角”时,第一步应假设　
.?
11.在△ABC中,AB=AC,BC=4,∠A=60°,则△ABC的周长是　　　　.?
12.如图1-Z-8,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P,连接PB,PC.若∠A=75°,则∠BPC的度数是　　　　.?
图1-Z-8
13.如图1-Z-9,已知S△ABC=8
m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC=　　　　
m2.?
图1-Z-9
14.如图1-Z-10,∠BOC=60°,A是BO延长线上的一点,OA=10
cm,动点P从点A出发沿AB以2
cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1
cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发,用t
s表示移动的时间,当t=　　　　时,△POQ是等腰三角形.?
图1-Z-10
三、解答题(本大题共3小题,共38分)
15.(12分)如图1-Z-11,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.
图1-Z-11
16.(12分)如图1-Z-12,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点O.
(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=60°,写出DO与AD之间的数量关系,并证明.
图1-Z-12
17.(14分)如图1-Z-13所示,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=6
cm,点D从点A开始以1
cm/s的速度向点C运动,点E从点C开始以2
cm/s的速度向点B运动,两点同时运动,同时停止,运动的时间为t
s,过点E作EF∥AC交AB于点F,连接DE,CF.
(1)当t为何值时,△DEC为等边三角形?
(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形?
(3)求证:DC=EF.
图1-Z-13
教师详解详析
1.[解析]
C　A项,“如果a>0,b>0,那么a+b>0”的逆命题是“如果a+b>0,那么a>0,b>0”,是假命题;B项,“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”,是假命题;C项,“两直线平行,同位角相等”的逆命题是“同位角相等,两直线平行”,是真命题;D项,“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|,则a=b”,是假命题.故选C.
2.[答案]
D
3.[答案]
C　
4.[解析]
B　连接AC.由题意得∠ABC=60°,AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=40海里.故选B.
5.[解析]
B　由垂直平分线的性质,得AD=BD,
∴△BDC的周长=BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故选B.
6.[解析]
B　如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°.
∵BD平分∠CBA,∴∠DBA=∠CBD=30°=∠A,
∴AD=BD,CD=BD=AD.∵AD+CD=AC=12,∴CD=4.∵DE⊥AB,∠C=90°,BD平分∠ABC,∴DE=CD=4.故选B.
7.[解析]
D　∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DF=DE=1.6.
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,AB=4,∴5.6=×4×1.6+AC×1.6,∴AC=3.故选D.
8.[答案]
B
9.[答案]
AC=BC(答案不唯一)
10.[答案]
一个三角形中有两个角是直角
11.[答案]
12
12.[答案]
150°
[解析]
如图,连接AP.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=105°.∵PE是AB的垂直平分线,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.同理,∠PAC=∠PCA,∴∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=∠BAC=75°,∴∠PBC+∠PCB=105°-75°=30°,∴∠BPC=180°-30°=150°.故答案为150°.
13.[答案]
4　
[解析]
如图,延长BD交AC于点E.
∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE=90°.
在△ABD和△AED中,
∵∠BAD=∠EAD,AD=AD,∠ADB=∠ADE,
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴BD=ED,
∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC,
∴S△ADC=S△ABC=×8=4(m2).
故答案为4.
14.[答案]
或10
[解析]
当点P在OA上,PO=QO时,△POQ是等腰三角形,如图①所示.
∵PO=AO-AP=(10-2t)cm,OQ=t
cm,
∴10-2t=t,解得t=;
当点P在OB上,PO=QO时,△POQ是等腰三角形,如图②所示.
∵PO=AP-AO=(2t-10)cm,OQ=t
cm,
∴2t-10=t,解得t=10.
故答案为或10.
15.解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.
又∵∠C=42°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°.
(2)证明:∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF∥AC,
∴∠F=∠CAD,
∴∠BAD=∠F,
∴AE=FE.
16.解:(1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,
DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∵DE=DF,AD=AD,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF.
∵DE=DF,AE=AF,
∴点A,D都在线段EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF.
(2)DO=AD.
证明:∵AD为△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∴∠EAD=30°,∴DE=AD.
∵∠EAD=30°,DE⊥AB,AD⊥EF,
∴∠DEO=30°,
∴DO=DE,
∴DO=AD.
17.解:由题意得AD=t
cm,CE=2t
cm,则DC=(6-t)cm.
在△ABC中,∵∠A=90°,∠B=30°,∴∠ACB=60°.
(1)若△DEC为等边三角形,则CE=DC,
∴2t=6-t,解得t=2,
∴当t=2时,△DEC为等边三角形.
(2)若△DEC为直角三角形,当∠CED=90°时,
∵∠ACB=60°,∴∠CDE=30°,
∴CE=DC,∴2t=(6-t),解得t=1.2;
当∠CDE=90°时,同理可得∠CED=30°,
∴CE=DC,
∴×2t=6-t,解得t=3,
∴当t=1.2或t=3时,△DEC为直角三角形.
(3)证明:∵∠A=90°,∠B=30°,AC=6
cm,
∴BC=12
cm,
∴BE=(12-2t)cm.
∵EF∥AC,
∴∠BFE=∠A=90°.
∵∠B=30°,
∴EF=BE=(12-2t)=(6-t)cm.
又∵DC=(6-t)cm,
∴DC=EF.
[点评]
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质,正确地识别图形是解题的关键.