1.1.2 空间向量的数量积运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
掌握空间向量的数量积运算．
1．理解空间两个向量夹角的定义．(直观想象)2．掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积．(数学运算)3．能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题．(数学运算)
必备知识·探新知
知识点1
空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则__∠AOB__叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：__0≤〈a，b〉≤π__．
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b．
思考1：当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？
提示：当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．
知识点2
空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝__|a||b|cos〈a，b〉__规定：零向量与任何向量的数量积都为0
性质
①a⊥b?__a·b＝0__②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R②a·b＝b·a(交换律)③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)
思考2：向量的数量积运算是否满足结合律？
提示：不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．
思考3：对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？
提示：不能，向量没有除法．
知识点3
向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 求空间向量的数量积
典例1 已知三棱锥O－ABC的各个侧面都是等边三角形，且棱长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点．试求：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·．
[分析] 求出每个向量的模及它们的夹角，然后按照数量积的定义求解，必要时，对向量进行分解．
[解析] (1)·＝||||cos〈，〉
＝||||cos∠AOB＝2×2×cos
60°＝2．
(2)·＝||||cos〈，〉
＝||||cos
180°＝1×2×(－1)＝－2．
(3)·＝·(－)＝·－·
＝2×2×cos∠BOC－2×2×cos∠BOA＝0．
(4)·＝·
＝·＝·(－)
＝(2－·)＝×(22－2)＝1．
[规律方法] 空间向量运算的方法与步骤
方法：(1)利用定义，直接利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
(3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．
步骤：①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式；
②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
③代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
【对点训练】? (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
求下列数量积：①·＝__－1__；
②·＝__0__．
[解析] (2)①根据题意知，||＝1，||＝，〈，〉＝135°，所以·＝1××cos
135°＝－1；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB⊥BC，AB⊥CC1，
所以·＝·(＋)
＝·＋·＝0．
题型二 利用数量积求夹角
典例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小．
[分析] 求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求出cos〈a，b〉＝的值，然后确定〈a，b〉的大小．
[解析] (方法1)因为＝，所以∠D1AC即为向量与的夹角．
因为△D1AC为等边三角形，所以∠D1AC＝，
即〈，〉＝．
所以向量与的夹角为．
(方法2)设正方体的棱长为1，
则·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(＋)
＝·＋||2＋·＋·
＝0＋||2＋0＋0＝||2＝1．
又||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝＝．
因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝．
所以向量与的夹角为．
[规律方法] 两个非零向量夹角求法的两个途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解．
(2)利用数量积求夹角：运用公式cos〈a，b〉＝进行求解．
【对点训练】? (1)已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是 __60°__．
(2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则向量与向量夹角的余弦值为 __－__．
[解析] (1)＝＋＋，
所以·＝·(＋＋)
＝||2＝1，
所以cos〈，〉＝＝，
所以异面直线a，b所成角是60°．
(2)设＝a，＝b，＝c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
则a·b＝b·c＝c·a＝．
因为＝(＋)＝(a＋b)，
＝－＝－＝c－b，
||＝||＝，
所以·＝(a＋b)·
＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－．
设与的夹角为θ，
cos
θ＝＝＝－．
所以向量与向量夹角的余弦值为－．
题型三 空间向量数量积的应用
角度1 利用数量积证明空间中的垂直关系
典例3 已知三棱锥O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC．M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
[分析] 要证OG⊥BC，只要证·＝0，关键是把、用一组基向量、、表示出来．
[解析] 如图所示，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|，
∴a·b＝b·c＝a·c
＝|a|2cos
θ，
又＝(＋)
＝[＋(＋)]＝(a＋b＋c)．
＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)(c－b)，
＝(a·c－a·b－b2＋c2)＝0．
∴OG⊥BC．
[规律方法] 证明两直线垂直，求两直线夹角，其关键环节都是取两直线的方向向量，将其用一组容易求数量积的不共面向量线性表示，证明两直线垂直，即证两直线方向向量的数量积为0；求两直线夹角利用两向量的夹角公式求解，需注意两向量夹角范围是[0，π]．
【对点训练】? 已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN．
[证明]
如图，设＝a，＝b，＝c，
又P、M分别为OA，BC的中点．
∴＝－＝(b＋c)－a
＝[(b－a)＋c]．
同理，＝(a＋c)－b
＝－[(b－a)－c]．
∴·＝－[|b－a|2－|c|2]，
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|．
∴·＝0．
∴⊥，即PM⊥QN．
角度2 利用数量积求距离
典例4 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
[解析] 因为∠ACD＝90°，所以·＝0，同理可得·＝0．因为AB与CD成60°角，所以〈，〉＝60°或〈，〉＝120°．
又＝＋＋，
所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
所以当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为．
[规律方法] 用数量积求两点间距离的步骤
(1)用向量表示此距离．(2)用其他向量表示此向量．(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|．(4)|a|即为所求距离．
【对点训练】?
如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
[解析] 因为CA⊥AB，BD⊥AB，
所以〈，〉＝120°．
因为＝＋＋，且·＝0，·＝0，
所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，
所以||＝2，故CD的长为2．
易错警示
忽视向量方向，造成错误角度
典例5 (2021·山东潍坊检测)如图所示，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别为AB，AD的中点，则·＝__－__．
[错解] ∠BDC是与的夹角，从而·＝cos
60°＝．
[辨析] 向量的夹角定义中，必须把两向量平移至有公共起点，如图所示，∠AOB是与的夹角，而与的夹角为∠AOB的补角．
[正解] ·＝·＝||·||·cos〈，〉＝cos
120°＝－．
PAGE第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1．了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的线性运算．
1．了解空间向量的概念．(数学抽象)2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．(逻辑推理)3．掌握空间向量线性运算的法则和运算律．(数学运算)4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．(数学抽象)
必备知识·探新知
知识点1
空间向量的概念
1．定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的__大小__．
3．表示方法：
(1)几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；
(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||．
4．几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
__长度为0__的向量叫做零向量．记为0
单位向量
__模为1__的向量叫做单位向量
相反向量
与向量a长度__相等__而方向__相反__的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向__相同__且模__相等__的向量叫做相等向量
思考1：单位向量都相等吗？
提示：不一定．单位向量的模虽然都为1，但是方向各异．
知识点2
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝＋＝
减法
a－b＝－＝
数乘
当λ＞0时，λa＝λ＝；当λ＜0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？
提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
思考3：由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?
提示：不能．λa＝0?λ＝0或a＝0．
知识点3
共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得__a＝λb__．
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把__与向量a平行的非零向量__称为直线l的方向向量．
思考4：对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?
提示：不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c．
思考5：怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？
提示：只需证明向量，(不唯一)共线即可．
知识点4
共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l．如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__p＝xa＋yb__．
思考6：空间中的两个向量是不是共面向量？
提示：是．空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 空间向量及相关概念的理解
典例1 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为 __②③__．
[解析] ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；
②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；
③正确，与的模相等，方向相同；
④错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；
⑤错误，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，，，，，一共有5个．
[规律方法] 空间向量概念的辨析
(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
【对点训练】? 给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故①错；根据向量相等的定义知不仅需要模相等，而且需要方向相同，故②错；根据正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，必有＝，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．
题型二 空间向量的线性运算
典例2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；②；③．
[分析] 根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解．
[解析] ①＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c．
②＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b．
③＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c．
[规律方法] 空间向量线性运算的技巧和思路
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．
②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
(2)化简空间向量的常用思路
①分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．
②多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
③走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．
【对点训练】? (2020·山东潍坊学年高二期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设＝a，＝b，＝c，则＝( B )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．－a＋b＋c
[解析] 如图所示，
四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝a－b＋c．故选B．
题型三 空间共线向量定理及其应用
典例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
[分析] 可通过证明与共线来证明E，F，B三点共线．
[证明] 设＝a，＝b，＝c．
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，＝(－)
＝(＋－)＝a＋b－c．
所以＝－＝a－b－c
＝．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c．
∴＝，
又∵与有公共点E，∴E，F，B三点共线．
[规律方法] 1．判断向量共线的策略
(1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b．
(2)判断向量共线的关键是找到实数λ．
2．证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
【对点训练】? 如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？
[解析] M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋．
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－．
∴＝＋2＋＝2(＋＋)．
∴＝2，∴∥，即与共线．
题型四 空间向量共面定理及其应用
典例4 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[分析] 要证明三个向量，，共面，只需证明存在实数x，y，使＝x＋y，证明了三个向量共面，即可说明点M就在平面内．
[解析] (1)因为＝＋＋，
所以6＝3＋2＋，
所以3－3＝(2－2)＋(－)，
因此3＝2＋＝－2－．
故向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
[规律方法] 1．证明点P在平面ABC内，可以用＝x＋y，也可以用＝＋x＋y，若用＝x＋y＋z，则必须满足x＋y＋z＝1．
2．判定三个向量共面一般用p＝xa＋yb，证明三线共面常用＝x＋y，证明四点共面常用＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．
【对点训练】? 正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．
[解析] 令＝a，＝b，＝c，
∵M、N、P、Q均为棱的中点，
∴＝b－a，＝＋＝a＋c，
＝＋＋＝－a＋b＋c．
令＝λ＋μ，则
－a＋b＋c＝(μ－λ)a＋λb＋μc，
∴，∴．
∴＝2＋，因此向量、、共面，
∴四点M、N、P、Q共面．
易错警示
混淆平面向量与空间向量致错
典例5 已知非零空间向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，那么下列结论正确的是( B )
A．A，B，C，D四点共线
B．A，B，C，D四点共面
C．A，B，C，D四点不共面
D．无法确定
[错解] ∵＝e1＋e2，＋＝5e1＋5e2＝5，
∴A，B，C，D四点共线．故选A．
[辨析] 在平面向量中，若a＝λb(b≠0)，则a与b共线；在空间向量中，若a＝λb＋μc(b与c不共线)，则a，b，c共面．
[正解] 由错解知＝＋，则，，共面．从而A，B，C，D四点共面．
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