2020-2021学年苏科版数学八年级下册11.2反比例函数的图像与性质学案（word版含答案）

周末公益课堂
反比例函数的图像与性质(2)
一、学习目标
1．会根据函数图像判断函数值的大小；
2．熟练利用几何图形的性质表示双曲线上的点，确定反比例函数解析式；
3．学会利用比例系数k的几何意义建立方程，并利用图像所在象限确定比例系数的值.
二、典型例题
题型一、反比例函数中函数值大小的比较
例1．(1)观察函数y＝的图象，当x＝2时，y＝　
　；当x＜2时，y的取值范围是　
　；当y≥－1时，x的取值范围是　
　．
例2．已知反比例函数y1＝－和一次函数y2＝kx＋2的图象都过点P(a，2a)
(1)求a与k的值；
(2)在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
(3)若两函数图象的另一个交点是Q(0.5，4)，利用图象指出：当x为何值时，有y1＞y2？
【题小结】通过点的坐标求出系数a与k的值，并运用数形结合思想解题.
借题发挥．已知反比例函数y＝－的图象和一次函数y＝kx－1的图象都经过点P(m，－3m)．
(1)求点P的坐标和这个一次函数的表达式；
(2)若这两个图象的另一个交点Q纵坐标为2，O为坐标原点，求△POQ的面积；
(3)若点M(a，y1)和点N(a＋1，y2)都在这个反比例函数的图象上，比较y1和y2的大小．
题型二、反比例函数的图像与几何图形结合
例2．如图，等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，双曲线y＝过OA的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（　　）
A．y＝eq
\f(,x)
B．y＝－eq
\f(,x)
C．y＝eq
\f(2,x)
D．y＝－eq
\f(2,x)
【题小结】利用几何图形特征表示点的坐标，从而建立方程得到反比例函数的解析式.
借题发挥1．如图，等边△OAB的边长为2，点B在x轴上，点A在双曲线y＝（k≠0）上，将△OAB绕点O顺时针旋转α度（0＜α＜360°），使点A仍落在双曲线y＝（k≠0）上，则α的值不可能是（　　）
A．30
B．180
C．200
D．210
借题发挥2．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴的正半轴上，OA＝AB，边OB的中点C在双曲线y＝上，将△OAB沿OB翻折后，点A的对应点A′，正好落在双曲线y＝上，△OAB的面积为6，则k为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型三、反比例函数中k的几何意义
例3．如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线y＝上，且S△AOB＝3，求m的值．
【题小结】根据S△ABO＝|m|建立关于m的方程，并根据双曲线所在象限确定m的值.
借题发挥1：如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A1O，P2A2O，P3A3O，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则(　　)
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S1＜S3＜S2
D．S1＝S2＝S3
借题发挥2：如图，过点P(4，3)作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且PA、PB分别与某双曲线上的一支交于点C，点D，则的值为　
　．
题型四、反比例函数与一次函数函数综合
例4．已知正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为2．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)在同一直角坐标内画出它们的图象．
【题小结】利用数形结合思想得到关于m和y的方程组.
借题发挥1：反比例函数y＝和一次函数y＝mx＋n的图象的一个交点A(－3，4)，且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5．
(1)分别确定反比例函数与一次函数的解析式；
(2)设一次函数与反比例函数图象的另一个交点为B，试判断∠AOB(点O为平面直角坐标系原点)是锐角、直角还是钝角？并简单说明理由．
借题发挥2：已知反比例函数y＝与一次函数y＝mx＋b图象交于P(－2，1)和Q(1，n)两点．
(1)求这两个函数的关系式；
(2)在同一直角坐标系内画出它们的图象；
(3)求△POQ的面积；
(4)直接写出不等式－mx－b≥0的解集．
三、课后练习
1．如图，函数y＝
(x＞0)、y＝
(x＞0)的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．点Q(a，2)在B部分，则a取值范围是(　　)
A．2＜a＜4
B．1＜a＜3
C．1＜a＜2
D．2＜a＜3
2．将y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为(　　)
A．y＝＋1
B．y＝－1
C．y＝＋1
D．y＝－1
3．如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y＝的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，OC＝4，连接OA，∠AOB＝60°，则k的值是(　　)
A．4
B．－4
C．2
D．－2
4．等边△OAB的边长为2，顶点A在x轴负半轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为　
　．
5．如图，已知双曲线y1＝(x＞0)，y2＝(x＞0)，点P为双曲线y2＝上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别交双曲线y1＝(x＞0)于D、C两点，则△PCD的面积为　
　．
6．如图，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，顶点B在双曲线y1＝
(x＞0)上，顶点D在双曲线y2＝－(x＜0)上，则正方形ABCD的面积为　
　．
7．如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数y＝﹣x+m+3的图象与反比例函数y＝的图象在第二象限的交点，且S△AOB＝1，求点A的坐标．
8．已知反比例函数y＝的图象经过点A(2，－3)．
(1)求k的值；
(2)函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
(3)画出函数的图象；
(4)点B(，－12)，C(－2，4)在这个函数的图象上吗？
9．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于A(1，3)，B(n，－1)两点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求一次函数的解析式；
(3)根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
10．直线y＝kx+b与反比例函数y＝
(x＜0)的图象相交于点A、B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4．
(1)试确定反比例函数的关系式．
(2)求△AOC的面积．
(3)如图直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围．
四、课后练习答案
1．解：把y＝2分别代入y＝（x＞0）、y＝（x＞0）中，得：x＝1和x＝3，
∵点Q（a，2）在B部分，∴1＜a＜3，
故选：B．
2．解：由“左加右减”的原则可知，
y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；
由“上加下减”的原则可知，
函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．
故选：C．
3．解：∵∠ACB＝30°，∠AOB＝60°，∴∠OAC＝∠AOB﹣∠ACB＝30°，
∴∠OAC＝∠ACO，∴OA＝OC＝4，
在△AOB中，∠ABC＝90°，∠AOB＝60°，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，∴OB＝OC＝2，
∴AB＝OB＝2，∴A点坐标为（－2，2），
把A（－2，2）代入y＝得k＝－2×2＝－4．
故选：B．
4．解：过B作BM⊥AO于点M，
∵△OAB为等边三角形，∴AB＝BO＝AO＝2，
∵BM⊥OA，∴OM＝OA＝1，∴BM＝＝＝，
则点B的坐标为（－1，）则这个反比例函数的解析式为y＝－eq
\f(,x)．
故答案为：y＝－eq
\f(,x)．
5．解：如图，作CE⊥AO于E，DF⊥CE于F，
∵双曲线y1＝（x＞0），y2＝（x＞0），且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线于D、C两点，∴矩形BCEO的面积＝xy＝1，
∵BC×BO＝1，BP×BO＝4，∴BC＝BP，
∵AO×AD＝1，AO×AP＝4，∴AD＝AP，
∵PA?PB＝4，∴PB×PA＝PA?PB＝CP×DP＝×4＝，∴△PCD的面积为：×＝．
故答案为：．
6．解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，作BM⊥x轴于M，过点D作DF⊥y轴于F，作DN⊥x轴于N，
则四边形OMBE是矩形，∴∠EBM＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∠ABM＋∠ABE＝∠CBE＋∠ABE＝90°，∴∠ABM＝∠CBE，
在△ABM和△CBE中，∴△ABM≌△CBE（AAS），
∴S△ABM＝S△CBE，同理可得S△ADN＝S△CDF，∴正方形ABCD的面积＝S矩形OMBE＋S矩形ONDF，
∵点B在双曲线y＝上，点D在双曲线y＝－上，∴正方形ABCD的面积＝4＋2＝6．
故答案为：6．
7．解：设A（x，y），∵S△AOB＝1∴×（－x）y＝1，xy＝－2，
∵A在反比例函数解析式上，∴m＝xy＝－2
由题意得
eq
\b\lc\{(\a\al(y＝－x＋1,y＝))，解得：x＝2，y＝－1，或x＝－1，y＝2
∵图象在第二象限∴A（－1，2）．
8．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，－3），∴代入得：k＝－3×2＝－6；
（2）∵反比例函数的解析式为y＝－，k＝－6＜0，∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大；
（3）函数的图象为：
；
（4）点B在函数图象上，C不在函数的图象上．
9．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点B（n，－1）在反比例函数y＝的图象上，∴B（－3，－1），
∵一次函数y＝mx＋b的图象经过A（1，3），B（－3，－1）两点，
∴，
解得：m＝1，b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x＋2；
（3）由图可得：当x＜－3或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．
10．解：（1）把A（﹣2，4）代入反比例y＝（x＜0），
∴m＝－2×4＝－8，∴反比例函数的关系式为y＝－（x＜0）；
（2）当x＝－4，y＝－＝－＝2，
∴B点坐标为（－4，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（－2，4）、B（－4，2）代入得
，解得，∴直线AB的解析式为y＝x＋6，
令y＝0，x＋6＝0，解得x＝－6，∴C点的坐标为（－6，0）
∴S△OAC＝×6×4＝12；
（3）x＜﹣4或﹣2＜x＜0．
Q
P
O
y
x
x
y
C
A
O
B
x
y
O
B
A
x
y
C
A′
A
B
O
y
x
B
O
A
y
x
O
P3
P2
P1
A2
A3
A1
x
y
D
O
B
A
P
C
y
x
x
y
C
A
B
O
x
y
O
x
y
C
O
B
A
x
y
A
B
O
x
y
P
O
B
A
D
C
x
y
C
A
D
O
B
x
y
A
B
O
y
x
A
B
O
x
y
C
O
B
A
x
y
M
A
B
O
x
y
D
P
O
B
A
E
F
x
y
F
M
N
E
C
A
D
O
B
x
y
O
y
x
A
B
O