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人教版八年级下册数学同步经典题型，常考题型集锦
第十八章
平行四边形
18.1.1
平行四边形的性质
考点一：平行四边形的定义
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
考点二：
利用平行四边形的性质求边长
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
考点三：
利用平行四边形的性质求角
如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为( )
A．35° B．55°
C．25° D．30°
方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
考点四：
利用平行四边形的性质证明有关结论
如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．
考点五：判断直线的位置关系
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．
考点六：两平行线间的距离
如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．
考点七：利用平行四边形对角线互相平分求线段
已知?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
考点八：
利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
考点九：判断直线的位置关系
如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
考点十：平行四边形的面积
在?ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点．求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
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第十八章
平行四边形
18.1.1
平行四边形的性质
考点一：平行四边形的定义
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
考点二：
利用平行四边形的性质求边长
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.
方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
考点三：
利用平行四边形的性质求角
如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为( )
A．35° B．55°
C．25° D．30°
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.
方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
考点四：
利用平行四边形的性质证明有关结论
如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据“等角的补角相等”求出∠DCP＝∠FCP，根据“SAS”证出△PCF≌△PCE即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.在△PCF和△PCE中，∵∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.
方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．
考点五：判断直线的位置关系
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．
解：DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，则∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD.∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠DCB＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°.∵∠MDC＋∠MCD＋∠DMC＝180°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．
方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．
考点六：两平行线间的距离
如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．
方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．
考点七：利用平行四边形对角线互相平分求线段
已知?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形周长为60cm，即相邻两边之和为30cm.△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，因而由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵?ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝cm，AD＝BC＝cm.
方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
考点八：
利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.在△DFO和△BEO中，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
考点九：判断直线的位置关系
如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用△FOD≌△EOB可得出BE＝DF，BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
考点十：平行四边形的面积
在?ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点．求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO＝CO，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在?ABCD中，AO＝CO.设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)解：S△ABP＝S△CBP.理由如下：在?ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝BP·h，S△CBP＝BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
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