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人教版八年级下册数学同步经典题型，常考题型集锦
第十八章
平行四边形
18.1.2
平行四边形的判定
考点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．
考点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．
考点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形
如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
考点四：平行四边形的判定定理(1)的应用
（1）利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等
如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．
（2）
平行四边形的判定定理(1)的综合运用
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．
考点五：组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（1）判定四边形是平行四边形
如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
方法总结：根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平行四边形是判定时的一般解题思路．
（2）判定平行四边形的条件
四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
方法总结：熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
考点六：角形的中位线
（1）利用三角形中位线定理求线段的长
如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )
A.
B．3
C．6
D．9
方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．
（2）利用三角形中位线定理求角
如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A．80° B．90°
C．100°
D．110°
方法总结：中位线定理涉及平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．
（3）
运用三角形的中位线性质进行计算
如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．
（4）中位线定理的综合应用
如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．
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第十八章
平行四边形
18.1.2
平行四边形的判定
考点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．
考点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．
考点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形
如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF即可．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
考点四：平行四边形的判定定理(1)的应用
（1）利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等
如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出DE＝BF，DE∥BF.
解：DE＝BF，DE∥BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.
方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．
（2）
平行四边形的判定定理(1)的综合运用
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF.再利用已知得出△ADE≌△CBF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)；
(2)解：四边形BFDE是平行四边形．理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．
考点五：组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（1）判定四边形是平行四边形
如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平行四边形是判定时的一般解题思路．
（2）判定平行四边形的条件
四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
解析：①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；综上有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选B.
方法总结：熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
考点六：角形的中位线
（1）利用三角形中位线定理求线段的长
如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )
A.
B．3
C．6
D．9
解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.
方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．
（2）利用三角形中位线定理求角
如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A．80° B．90°
C．100°
D．110°
解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是△EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠2＝∠ECD＝80°.故选A.
方法总结：中位线定理涉及平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．
（3）运用三角形的中位线性质进行计算
如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
解析：首先证明△AMD≌△AMC，得到DM＝MC，易得MN为△BCD的中位线，即可解决问题．
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD与△AMC中，∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.又∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝BD＝×(5－3)＝1.
方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．
（4）中位线定理的综合应用
如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解析：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．
解：AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中，∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB∥OF，AB＝2OF.
方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．
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