1.3.2 空间向量运算的坐标表示
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1．掌握空间向量的线性运算的坐标表示．2．掌握空间向量的数量积的坐标表示．
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·探新知
知识点1
空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__
减法
a－b
a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__
数乘
λa
λa＝__(λa1，λa2，λa3)__，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__
思考1：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联系？
提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
知识点2
空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝．
知识点3
空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝____．
思考2：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
提示：OA＝||＝．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 空间向量的坐标运算
典例1 已知在空间直角坐标系中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)．
(1)求＋，－2，·；
(2)若点M满足＝＋，求点M的坐标；
(3)若p＝，q＝，求(p＋q)·(p－q)．
[分析] 先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解．
[解析] (1)因为A(1，－2,4)，B(－2,3,0)，C(2，－2，－5)，
所以＝(－3,5，－4)，＝(－1,0,9)．
所以＋＝(－4,5,5)．
又＝(－4,5,5)，＝(3，－5,4)，
所以－2＝(－10,15，－3)．
又＝(－3,5，－4)，＝(1,0，－9)，
所以·＝－3＋0＋36＝33．
(2)由(1)知，＝＋＝(－3,5，－4)＋(1，0，－9)＝，
若设M(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z－4)，
于是解得故M．
(3)由(1)知，p＝＝(－1,0,9)，q＝＝(－4,5,5)．
(方法1)(p＋q)·(p－q)＝|p|2－|q|2＝82－66＝16．
(方法2)p＋q＝(－5,5,14)，p－q＝(3，－5,4)，
所以(p＋q)(p－q)＝－15－25＋56＝16．
[规律方法] 空间向量的坐标运算注意以下几点：
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标．
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
【对点训练】? 在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)．
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求·；
(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．
[解析] (1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4,1,2)，
所以解得
所以点B的坐标为(6，－4,5)．
因为＝(3，－2,5)，
所以解得
所以点C的坐标为(9，－6,10)．
(2)因为＝(－7,1，－7)，＝(3，－2,5)，
所以·＝－21－2－35＝－58．
(3)设P(x2，y2，z2)，则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，＝(9－x2，－6－y2,10－z2)，于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2,10－z2)，
所以解得
故点P的坐标为．
题型二 空间向量的平行与垂直
典例2 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)．设a＝，b＝．
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．
[分析] (1)根据c∥，设c＝λ，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值；
(2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解．
[解析] (1)∵＝(－2，－1,2)且c∥，
∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．
∴|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1．
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－．
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型
(1)平行与垂直的判断．
(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
【对点训练】? 已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．
[解析] (1)由a∥b，得(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解得∴λ＝，m＝3．
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解得λ＝－1．
因此，a＝(0,1，－2)．
题型三 空间向量夹角及长度的计算
角度1 向量法求夹角
典例3 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)求证：EF⊥B1C；(2)求cos〈，〉．
[解析] (1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G．
＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
所以·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，所以⊥，即EF⊥B1C．
(2)因为＝－(0,1,1)＝．
所以||＝．
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝．
角度2 向量法求模
典例4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．
(1)求BM，BN的长；
(2)求△BMN的面积．
[分析] 建立空间直角坐标系，写出B，M，N等点的坐标，从而得出，的坐标．然后利用模的公式求得BM，BN的长度．对于(2)，可利用夹角公式求得cos∠MBN，再求出sin∠MBN的值，然后套用面积公式计算．
[解析] 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．
则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N．
(1)∵＝(1，－1,1)，
＝，
∴||＝＝，
||＝＝．
故BM的长为，BN的长为．
(2)S△BMN＝·|BM|·|BN|·sin∠MBN．
∵cos∠MBN＝cos〈，〉＝
＝＝，
∴sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝．
即△BMN的面积为．
[规律方法] 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
【对点训练】? 已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：
(1)线段MN的长度；
(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
[解析] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度|MN|＝＝2，
所以线段MN的长度为2．
(2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等，所以有下面等式成立：
＝，
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0．
易错警示
混淆两向量平行与两向量同向
典例5 已知向量a＝(1,2，－1)，b＝(m，m2＋3m－6，n)，若向量a，b同向，求实数m，n的值．
[错解] 由题意可知a∥b，所以＝＝，
即解得或
故m＝－3，n＝3或m＝2，n＝－2．
[辨析] “两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解中错认为“同向”就是“平行”，从而导致错误．
[正解] 由题意可知a∥b，
所以＝＝，
即
解得或
当m＝－3，n＝3时，b＝(－3，－6,3)＝－3a，向量a，b反向，不符合题意，舍去；
当m＝2，n＝－2时，b＝(2,4，－2)＝2a，向量a，b同向，符合题意．
综上，m＝2，n＝－2．
PAGE1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1．了解空间直角坐标系．2．会用空间直角坐标系刻画点的位置．
1．了解空间直角坐标系的建系方式．(直观想象)2．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(直观想象)3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(直观想象)
必备知识·探新知
知识点1
空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：__x轴、y轴、z轴__．它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个__空间直角坐标系Oxyz__．
(2)相关概念：__O__叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过__每两个坐标轴__的平面叫做坐标平面，分别称为__Oxy__平面、__Oyz__平面、__Ozx__平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__x轴__的正方向，食指指向__y轴__的正方向，如果中指指向__z轴__的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
思考1：空间直角坐标系有什么作用？
提示：可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化．
知识点2
空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标单位向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的__有序实数组(x，y，z)__叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作__A(x，y，z)__，其中__x__叫做点A的横坐标，__y__叫做点A的纵坐标．__z__叫做点A的竖坐标．
思考2：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
知识点3
空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
思考3：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
提示：点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 空间中点的坐标表示
典例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．
[解析] 如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz．所以D(0,0,0)．
因为长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，因为点A在x轴上，且AD＝3，所以＝3i＋0j＋0k，所以A(3，0,0)．
同理：C(0,5,0)，D1(0,0,4)．
点B在x轴，y轴，z轴射影分别为A，C，O，它们在坐标轴上的坐标分别为3,5,0，所以点B的坐标为(3,5,0)．
同理得A1(3,0,4)，C1(0,5,4)．
由B1在Oxy平面内的射影为B(3,5,0)，
所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，
因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，
所以B1的竖坐标为4，所以点B1的坐标为(3,5,4)．
[规律方法] 建系确定点的坐标的原则
(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
②充分利用几何图形的对称性．
(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另两个轴上的射影，确定点的坐标．
【对点训练】?
如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．
[解析] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在Dxy平面中，且|EA|＝．
所以＝i＋j＋0k，所以E点的坐标为．
同理B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，
又因为F是BB1的中点，故F点坐标为．
同理可得G点坐标为．
题型二 空间向量的坐标表示
典例2 在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标．
[分析] 先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，再根据空间向量基本定理，将，用基底表示，即得坐标．
[解析]
由已知AO⊥OB，O1O⊥OA，O1O⊥OB，从而建立以，，方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，如图，则＝4i，＝2j，＝4k，
＝－＝－(＋)
＝－
＝－－－＝－2i－j－4k，
故的坐标为(－2，－1，－4)．
＝－＝－(＋)＝－－＝－4i＋2j－4k，故的坐标为(－4,2，－4)．
即＝(－2，－1，－4)，＝(－4,2，－4)．
[规律方法] 用坐标表示空间向量的步骤如下：
【对点训练】? 如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标．
[解析] 因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示．
因为＝＝0i＋1j＋0k＝(0,1,0)，
＝－＝－i＋0j＋0k＝(－1,0,0)，
＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋(＋＋)＝＋＝j＋k＝．
题型三 空间向量坐标的应用
角度1 对称问题
典例3 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[解析] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P1(x，y，z)，则点M为线段PP1的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P1(6，－3，－12)．
角度2 距离问题
典例4 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
[解析] 如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
因为|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
所以C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
因为N为CD1的中点，所以N．
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
所以M(1,1,2)．
所以＝(1,1,2)＝i＋j＋2k，
＝＝i＋3j＋k，
所以＝－(i＋j＋2k)＝i＋2j－k，
所以||＝＝，
即|MN|＝．
[规律方法] 1．空间对称问题的特点
空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
2．利用向量法求空间两点距离的方法
(1)建系，确定两点坐标．
(2)求出以向量，的坐标．
(3)求的坐标．
(4)根据公式求出的模，即AB的距离．
【对点训练】? 已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为__(2，－3,1)__．
[解析] 点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
易错警示
建立空间直角坐标系的常见失误
典例5 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，，的坐标．
[错解] 以AB，AC，AA1为x，y，z轴建系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,2)，C1(0,1,2)，A1(0,0,2)，
∴＝(0,0,2)，＝(1,0,2)，＝(0,1,2)．
[辨析] 在建系时应该注意三条坐标轴所在的直线应当两两垂直，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系环境．
[正解] 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则A，A1，B1，C1，所以＝(0,0,2)，＝，＝．
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