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人教版八年级下册数学同步经典题型，常考题型集锦
第二十章
数据的分析
20.2 数据的波动程度
考点一：方差的计算
（1）根据数据直接计算方差
为了从甲、乙两名同学中选拔一个射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两个在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7
(1)求x甲，x乙，s，s；
(2)你认为该选择哪名同学参加射击比赛？为什么？
解析：方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
解：(1)x甲＝(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4)÷10＝7，s＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]÷10＝3，x乙＝(9＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7)÷10＝7，s＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]÷10＝1.2；
(2)∵s＞s，∴乙的成绩稳定，选择乙同学参加射击比赛．
方法总结：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．
（2）
已知原数据的方差，求新数据的方差
已知数据x1，x2，x3，…，x20的平均数是2，方差是，则数据4x1－2，4x2－2，4x3－2，…，4x20－2的平均数和方差是( )
A．2， B．4，4 C．6， D．6，4
解析：∵x＝(x1＋x2＋x3＋…＋x20)＝2，x新＝(4x1－2＋4x2－2＋4x3－2＋…＋4x20－2)＝6；s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋…＋(x20－2)2]＝，s＝[(4x1－2－6)2＋(4x2－2－6)2＋(4x3－2－6)2＋…＋(4x20－2－6)2]＝×16＝4.故选D.
方法总结：掌握数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数是本题的关键．
（3）根据统计图表判断方差的大小
如图是2014年1～12月份某市居民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图．由统计图可知，三种价格指数方差最小的是( )
A．居民消费价格指数
B．工业产品出厂价格指数
C．原材料等购进价格指数
D．不能确定
解析：从折线统计图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小，故方差最小的是居民消费价格指数．故选A.
方法总结：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
考点二：由方差判断数据的波动程度
为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株麦苗，测得苗高如下(单位：cm)：
甲：12，13，14，13，10，16，13，13，15，11
乙：6，9，7，12，11，16，14，16，20，19
(1)将数据整理，并通过计算后把下表填全：
小麦
中位数
众数
平均数
方差
甲
13
13
乙
16
21
(2)选择合适的数据代表，说明哪一种小麦长势较好．
解析：(1)中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；出现次数最多的这个数即为这组数据的众数；(2)方差越小，数据越稳定，小麦长势较好．
解：(1)将数据整理如下：
甲
10
11
12
13
13
13
13
14
15
16
乙
6
7
9
11
12
14
16
16
19
20
所以：
小麦
中位数
众数
平均数
方差
甲
13
13
13
2.8
乙
13
16
13
21
(2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，而两种小麦苗高的中位数和平均数相同，故甲种小麦长势较好．
方法总结：平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
考点三：根据方差做决策
（1）
利用方差解决更稳定、更整齐的问题
某中学开展“头脑风暴”知识竞赛活动，八年级1班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩(单位：分)分别是：
1班：85，80，75，85，100；
2班：80，100，85，80，80.
(1)根据所给信息将下面的表格补充完整；
平均数
中位数
众数
方差
1班初赛成绩
85
70
2班初赛成绩
85
80
(2)根据问题(1)中的数据，判断哪个班的初赛成绩较为稳定，并说明理由．
解析：(1)利用平均数的定义以及中位数、众数、方差的定义分别求出即可；(2)利用(1)中所求，得出2班初赛成绩的方差较小，因而成绩比较稳定的班级是2班．
解：(1)由题意得x1＝(85＋80＋75＋85＋100)＝85；2班成绩按从小到大排列为80，80，80，85，100，最中间的数是80，故中位数是80；1班：85，80，75，85，100，其中85出现的次数最多，故众数为85；s＝[(80－85)2＋(100－85)2＋(85－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2]＝60.填表如下：
平均数
中位数
众数
方差
1班初赛成绩
85
85
85
70
2班初赛成绩
85
80
80
60
(2)2班的初赛成绩较为稳定．因为1班与2班初赛的平均成绩相同，而2班初赛成绩的方差较小，所以2班的初赛成绩较为稳定．
方法总结：方差是衡量一组数据波动大小的量，方差小的数据更稳定、更整齐．
（2）
利用方差做出决策
某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据(单位：个).
1号
2号
3号
4号
5号
总数
甲班
89
100
96
118
97
500
乙班
100
96
110
90
104
500
统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？
解析：平均数＝总成绩÷学生人数；中位数是按从小到大(或从大到小)次序排列后的第3个数；根据方差的计算公式得到数据的方差．
解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；
x甲＝×500＝100(个)，x乙＝×500＝100(个)；
s＝[(89－100)2＋(100－100)2＋(96－100)2＋(118－100)2＋(97－100)2]＝94；
s＝[(100－100)2＋(96－100)2＋(110－100)2＋(90－100)2＋(104－100)2]＝46.4，甲班的优秀率为2÷5＝40%，乙班的优秀率为3÷5＝60%；
应选定乙班为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较好．
方法总结：在解决决策问题时，既要看平均成绩，又要看方差的大小，还要分析变化趋势，进行综合分析，从而做出科学的决策．
（3）根据方差解决图表信息问题
为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出)．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量(如下表).
统计量
平均数
(次)
中位数
(次)
众数
(次)
方差
该班级男生
收看人数
3
3
4
2
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．
解析：(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数；(2)先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可；(3)较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．
解：(1)20 3
(2)该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为×100%＝65%，所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x人，则＝60%，解得x＝25，
答：该班级男生有25人；
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为＝3，女生收看“两会”新闻次数的方差为
＝.因为2＞.所以男生比女生的波动幅度大．
方法总结：解答此类问题，首先要读懂图表，弄清楚统计图表的意义和统计图表中每部分的具体数据，从图表中提取有效信息．问题的顺利解答在很大程度上取决于是否能够正确地识图表、用图表．
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第二十章
数据的分析
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考点一：方差的计算
（1）根据数据直接计算方差
为了从甲、乙两名同学中选拔一个射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两个在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7
(1)求x甲，x乙，s，s；
(2)你认为该选择哪名同学参加射击比赛？为什么？
方法总结：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．
（2）
已知原数据的方差，求新数据的方差
已知数据x1，x2，x3，…，x20的平均数是2，方差是，则数据4x1－2，4x2－2，4x3－2，…，4x20－2的平均数和方差是( )
A．2， B．4，4 C．6， D．6，4
方法总结：掌握数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数是本题的关键．
（3）根据统计图表判断方差的大小
如图是2014年1～12月份某市居民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图．由统计图可知，三种价格指数方差最小的是( )
A．居民消费价格指数
B．工业产品出厂价格指数
C．原材料等购进价格指数
D．不能确定
方法总结：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
考点二：由方差判断数据的波动程度
为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株麦苗，测得苗高如下(单位：cm)：
甲：12，13，14，13，10，16，13，13，15，11
乙：6，9，7，12，11，16，14，16，20，19
(1)将数据整理，并通过计算后把下表填全：
小麦
中位数
众数
平均数
方差
甲
13
13
乙
16
21
(2)选择合适的数据代表，说明哪一种小麦长势较好．
方法总结：平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
考点三：根据方差做决策
（1）
利用方差解决更稳定、更整齐的问题
某中学开展“头脑风暴”知识竞赛活动，八年级1班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩(单位：分)分别是：
1班：85，80，75，85，100；
2班：80，100，85，80，80.
(1)根据所给信息将下面的表格补充完整；
平均数
中位数
众数
方差
1班初赛成绩
85
70
2班初赛成绩
85
80
(2)根据问题(1)中的数据，判断哪个班的初赛成绩较为稳定，并说明理由．
方法总结：方差是衡量一组数据波动大小的量，方差小的数据更稳定、更整齐．
（2）
利用方差做出决策
某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据(单位：个).
1号
2号
3号
4号
5号
总数
甲班
89
100
96
118
97
500
乙班
100
96
110
90
104
500
统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？
方法总结：在解决决策问题时，既要看平均成绩，又要看方差的大小，还要分析变化趋势，进行综合分析，从而做出科学的决策．
（3）根据方差解决图表信息问题
为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出)．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量(如下表).
统计量
平均数
(次)
中位数
(次)
众数
(次)
方差
该班级男生
收看人数
3
3
4
2
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．
方法总结：解答此类问题，首先要读懂图表，弄清楚统计图表的意义和统计图表中每部分的具体数据，从图表中提取有效信息．问题的顺利解答在很大程度上取决于是否能够正确地识图表、用图表．
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