2020-2021学年人教A版必修4第二章平面向量综合测试卷(A)Word含答案解析（共3套）

必修4 第二章 向量(一)
一、选择题:
1.下列各量中不是向量的是 （ ）
A．浮力? B．风速? C．位移 D．密度?
2．下列命题正确的是 （ ）
A．向量与是两平行向量?
B．若a、b都是单位向量,则a=b?
C．若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形?
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则
等于 （ ）
A． B． C． D．
4．已知向量反向，下列等式中成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则 （ ）
A．与共线 B．与共线?
C．与相等 D．与相等
6．已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于( )
A．3 B．－3 C．0 D．2
7. 设P（3，6），Q（5，2），R的纵坐标为9，且P、Q、R三点共线，则R点的
横坐标为 ( )
A．9 B．6 C．9 D．6
8. 已知，,=3，则与的夹角是 ( )
A．150 B．120 C．60 D．30
9.下列命题中，不正确的是 ( )
A．= B．λ()=(λ)
C．（）= D．与共线=
10．下列命题正确的个数是 ( )
① ②
③ ④（）=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知P1（2，3），P2（1，4），且，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为 ( )
A．（，） B．（，） C．（4，5） D．（4，5）
12．已知，，且（+k）⊥（k），则k等于 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知点A(－1,5)和向量={2,3},若=3,则点B的坐标为 .
14．若，，且P、Q是AB的两个三等分点，则 ， .
15．若向量=（2，x）与=（x, 8）共线且方向相反，则x= .
16．已知为一单位向量，与之间的夹角是120O,而在方向上的投影为－2，则
.
三、解答题
17．已知菱形ABCD的边长为2,求向量－+的模的长.?
18．设、不共线,P点在AB上.?求证: =λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R．?
19．已知向量不共线向量，问是否
存在这样的实数使向量共线
20．i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j，=i+λj, =-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.?
必修4 第二章 向量(一)
必修4第三章向量(一)参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6. A 7. D 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解析: ∵-+=+(-)=+=
又||=2 ∴|-+|=||=2??
18．证明: ∵P点在AB上,∴与共线.?
∴=t (t∈R)?
∴=+=+t=+t(-)= (1-t)+ ?
令λ=1-t,μ=t? ∴λ+μ=1?
∴=λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R?
19．解析：即可.
20．解析: ∵=-=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j??
∵A、B、D三点共线,
∴向量与共线,因此存在实数μ,使得=μ,
即3i+2j=μ［-3i+(1-λ)j］=-3μi+μ(1-λ)j?
∵i与j是两不共线向量,由基本定理得:?
故当A、B、D三点共线时,λ=3.?
第二章平面向量
（A卷）
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量与的夹角是，且， ，则 =（　　）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】向量与的夹角是，且， ，则 ．
故选：C．
2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量， ，则向量与夹角的大小为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量， ，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,
故选：C.
4．已知向量，若，则实数m的值为 （ ）
A. 0 B. 2 C. D. 2或
【答案】C
【解析】∵向量，且
∴，
∴.选C.
5．如上图，向量， ， 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底， 表示为(　　)
A. ＋ B. 2－ C. －2＋ D. 2＋
【答案】C
6．若三点、、共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】, 三点共线
即
,
故答案选.
7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量的夹角为60°，， ，则（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】C
8．已知向量与的夹角是，且， ，则 =（　　）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】向量与的夹角是，且， ，则 ．
故选：C．
9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量，若（）与互相垂直，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，因为（）与互相垂直，则，选D.
10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点， ， ， ，则向量在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】则向量在方向上的投影为
故选B.
11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形中， ， ， ，点在边上，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知是边长为4的等边三角形， 为平面内一点，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如图建立坐标系， ，设，
则，
，
最小值为，故选B.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则__________．
【答案】
【解析】由题意得 .
14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量， 满足
，则向量与的夹角为__________．
【答案】60°（或）
【解析】因为，化简得： ，即，所以，又，所以，故填.
15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形中， 与交于点
， 是线段的中点， 的延长线与交于点. 若， ，则等于_______（用， 表示）.
【答案】
【解析】
∵， ，∴.
∵E是OD的中点，∴＝，∴DF＝AB .
∴，
∴.
16．已知正方形的边长为，点在线段边上运动（包含线段端点），则的值为__________； 的取值范围为__________．
【答案】 1
【解析】如图，以为坐标原点，
以， 分别为， 轴，建立平面直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ， ，∴， ，∵， ，∴的取值范围为，故答案为1， .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题10分）已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（）
（1）求证： ；
(2) ，求实数m的值.
【答案】(1)见解析(2) 或1
【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出算出（2）由向量的平行进行坐标运算即可.
试题解析：
(1)依题意得，
所以
所以.
18．（本小题12分）已知向量，．
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）因为，，所以，
所以，由，则；
（2）当时，，又，所以，解得：.
19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
【答案】(1) ;(2) 与的夹角为.
【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.
∵是夹角为的两个单位向量，∴，
(1)
(2) ,
,
∴，
∴与的夹角为.
20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且.
（1）求实数的值；
（2）记，，试用表示向量，，.
【答案】(1)；(2) ， ， .
【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到
即。（2）根据平面向量基本定理，选择适当的基底，。
（1）因为，所以，
所以 ，
因为三点共线，所以，所以.
（2） ，
，
.
21．（本小题12分）【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知向量与的夹角为， ， .
（I）若，求实数k的值；
（II）是否存在实数k，使得？说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在实数时，有．
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出，由即可得出，结合即可求出的值；（Ⅱ）根据共线向量基本定理，若，则有，可得，从而可求出实数的值.
试题解析：（Ⅰ）∵向量与的夹角为，

又且

，

22.（本小题12分）已知点，点为直线上的一个动点.
（1）求证：恒为锐角；
（2）若四边形为菱形，求的值.
【答案】（1）证明见解析;（2）2.
【解析】（1）∵点在直线上，∴点,
∴，
∴ ,
∴,
若三点在一条直线上，则，
得到，方程无解，
∴,∴恒为锐角.
（2）∵四边形为菱形，
∴，即，化简得到，
∴，∴ ,
设，∵，
∴，∴,
∴.
第二章 平面向量
（B卷）
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 下列命题中正确命题个数为 （ ）
① ②
③且则 ④则
A. B. C. D.
【答案】B
2.在平行四边形ABCD中，，点分别在边上，且，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,所以
，故选C.
3.是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设边的中点为
,故选C.
4.在中，若，分别为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，∴
，故选D.亦可用坐标法.
5.【2018届广东省阳春市第一中学高三上第三次月考】若向量的夹角为，且， ，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6.已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可在直角坐标系中，以原点为圆心作单位圆，令点，点为动点，由可知的坐标关于横轴对称，所以可假设，其中满足，则，所以，可见当时，可以取得最小值，故本题的正确选项为B.
7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
8.【2018届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】已知点为内一点，且满足，设与的面积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，∵O为△ABC内一点，且满足
，∴O为△DABC重心，E为AB中点，
∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，
∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2 所以
故选B
9.【2018届陕西省榆林市第二中学高三上期中】如图，已知平行四边形中，，，为线段的中点，，则（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】由题意得，
∵, ∴, ∴.
∵，
∴，
∴
。选D。
10.在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合），若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，在线段上且不与端点重合，所以存在，使，又，所以,所以，又，所以，所以，故选C．
11．已知向量满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】由题意得，，，
∴，设，夹角为，∴，
∴，故选B．
12.已知菱形边长为2，，点P满足，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，若，则的值是________．
【答案】
【解析】,即，解之得.
14.【2018届北京市海淀区高三上学期期中】已知向量 ， ，若与平行，则的值为______.
【答案】
【解析】∵ ，
∴
∵与平行
∴
∴，故填.
15.【2018届江西省抚州市临川区第一中学高三上期中】已知， ， 与的夹角为，则 __________．
【答案】3
【解析】化简,可得，又因为，
与的夹角为，所以，可得,解得 ，故答案为 .
16.在中，，点为斜边上靠近点的三等分点，点为的外心，则的值为_____.
【答案】
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题10分）平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.
（1）试用表示向量；
（2）证明线段交于一点且互相平分.
【答案】（1），，；（2）证明见解析.
【解析】
（1） ，.
（2）证明：设线段的中点为，则，
设中点分别为，
同理：，，
∴，即其交于一点且互相平分.
18．（本小题12分）设两个非零向量与不共线.
①如果,,,求证：、、三点共线；
②试确定实数的值，使和共线.
【答案】①证明见解析；②.
19．（本小题12分）如图,在中，已知点分别在边上，且， .
（1）用向量、表示；
（2）设, , ,求线段的长.
【答案】（1） ;（2）.
【解析】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.
试题解析：
（1）由题意可得：
（2）由可得：
.
故.
20.（本小题12分）如图，在矩形中，点是边上的中点，点在边上．
⑴若点是上靠近的三等分点，设，求的值；
⑵若，当时，求的长．
【答案】(1) （2）
【解析】
⑴，因为是边的中点，点是上靠近的三等分点，
所以，在矩形中，，
所以， 即，则；
⑵设，则，所以，
，又，
所以：=
解得，所以的长为．
21.（本小题12分）已知向量，其中．
⑴若//，求的值；
⑵若，求的值．
【答案】(1) （2）或．
【解析】
⑴因为，所以，显然，所以．
所以=
⑵因为，所以
所以，或．
又，所以或．
22.（本小题12分）在中，设点为其外接圆圆心，
（1）若,求的值；
（2）若求的最大值。
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意得到关于实数x,y的方程组，求解方程组可得；
(2)由题意可得，即的最大值是.
试题解析：
（1）因为
所以
得