第1章导数及其应用专解3 求函数的单调区间-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2专题考点训练（必备知识点）Word

【必备知识点】
1.函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性.
已知函数的图象如图所示，
由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：
考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到：
在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数.
在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数.
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
（1）若，则在这个区间上为增函数；
（2）若，则在这个区间上为减函数；
（3）若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
2.利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法：
设函数在区间（，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（，b）内为常数函数.
【典例展示】
例1.
确定函数的单调区间.
【解析】第一步：确定函数的定义域：
的定义域为R；
第二步：求导：
，
第三步：
方法一：解不等式确定函数的单调增区间：
令，解得＜0或＞2，
则函数在＜0或＞2时是增函数；
方法二：列表法：
令，解得=0或=2.
当变化时，、的变化状态如下表：
(-∞，0)
0
(0，2)
2
(2，+∞)
+
0
-
0
+
↗
1
↘
1
↗
第四步：确定单调区间：
因此，函数的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞），而单调减区间为（0，2）.
例2
求函数的单调区间．
【解析
】第一步：确定函数的定义域：
函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)；
第二步：求导：
；
第三步：
方法一：解不等式确定单调增区间：
令，利用穿线法解不等式，得或.
方法二：令得，.
当变化时，、的变化状态如下表：
(-∞，-1)
-1
(-1，0)
(0，1)
1
(1，+∞)
-
0
+
-
0
+
↘
1
↗
↘
1
↗
第四步：确定单调区间：
函数的单调增区间是（-1，0)和（1，+∞)，减区间是(-∞，-1)和(0，1)．
例3.
已知函数，求导函数，并确定的单调区间.
【解析】第一步：确定函数的定义域：
的定义域为；
第二步：求导：
；
第三步：解不等式，求单调增区间：
令，得，
同解于.
当，即，不等式的解为；
当，即，不等式的解为空集；
当，即，不等式的解为.
综上，当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
例4．证明不等式，其中.
【解析】设，
，
，
在内为单调增函数.
又，当时，，
即，.
【思路总结与方法】
思路：求函数的单调区间即为求使其导函数为正（或负）的x值的范围，先正确求出函数的导函数，然后再在函数的定义域内解导函数的不等式即可。
解题步骤：
①根据所给函数的特点，确定函数的定义域.
②利用导数运算法则求出函数的导数.
③在函数定义域内，解不等式，得函数的单调递增区间；解不等式，得函数的单调递减区间.
【巩固练习】
1.求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
【解析】（1）第一步：确定函数的定义域：
该函数的定义域为R；
第二步：求导：
；
第三步：解不等式：
令32―4+1＞0，解得＞1或；
第四步：确定单调区间：
因此，函数的单调递增区间为（1，+∞）和，单调减区间为.
（2）函数的定义域为（0，+∞），
，
令，即，等价于
解得，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为.
2.求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
【解析】（1）第一步：确定函数的定义域：
该函数的定义域为；
第二步：求导：
；
第三步：列表：
令，解得=3.
实数2和3将数轴分成3个子区间，在各个子区间内，、的变化状态如下表：
3
0
+
…
第四步：确定单调区间：
所以，该函数的单调减区间是和，单调增区间是.
（2）令.
解得或，∵0≤≤2π，解得，，.
0
π
…
+
0
－
0
－
0
+
…
…
…
…
…
则区间[0，2π]被分成三个子区间，、的变化状态如下表所示：
所以该函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
3.已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性.
【答案】该函数的定义域为，
，
令，即，等价于，讨论如下：
当时，解不等式①得，由于，故无解；
当时，解得，结合函数的定义域，可得.
综上所述，当时，的单调增区间是，无减区间；
当时，的单调减区间是，无增区间；
当时，的单调增区间是，减区间为.
4.当时，求证：函数是单调递减函数.
【答案】
，∴，，∴
故函数在上是单调递减函数.
【课后练习】
一、选择题
1．下列命题成立的是（
）
A．若在(，)内是增函数，则对任何∈(，)，都有>0
B．若在(，)内对任何都有>0，则在(，)上是增函数
C．若在(，)内是单调函数，则必存在
D．若在(，)上都存在，则必为单调函数
3.
函数＝(－3)的单调递增区间是（
）
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
4．函数的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．（，e）
5.
设在（0，+∞）内单调递增，，
则p是q的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．对于R上可导的任意函数，若满足(－1)≥0，则必有（
）
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
7．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R内恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．函数的单调减区间为
.
9．函数y＝sin＋cos，∈(－π，π)的单调增区间是____________．
10．函数y＝ln(2－－2)的单调递减区间为__________．
三、解答题
11．已知函数＝3＋2＋c＋d的图像经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6－y＋7＝0.
(1)求函数y＝的解析式；(2)求函数y＝的单调区间．
【答案与解析】
1.
【答案】B.
【解析】　若在(，)内是增函数，则≥0，故A错；在(，)内是单调函数与是否存在无必然联系，故C错；＝2在(，)上的导数为＝0存在，但无单调性，故D错．
3.
【答案】D.
【解析】＝(－3)′＋(－3)(
)′＝(－2)
，
令>0，解得>2，故选D.
4.
【答案】C.
【解析】，令，即，解得，所以选C.
5.
【答案】B.
【解析】由题意知在（0，+∞）上恒成立，
则在∈（0，+∞）上恒成立。
当∈（0，+∞）时，，
则的最大值要小于－5，不妨设为c，
∴m≥c不可能推出m≥－5。但由m≥－5，可以推出m≥c。故B正确。
6.
【答案】C
【解析】由(－1)≥0得在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或恒为常数，
故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.
7.
【答案】A.
【解析】由＞0时，。
令，则。
∵，∴在（0，+∞）上为增函数。
当＜0时，。
令，则。
∴在（－∞，0）上为减函数，∴，
∴在R上恒成立，且≠0时，。
即，∴在∈R且≠0时恒成立。
把=0代入得，
∴在R上恒成立。
8.
【答案】（-1，11）
【解析】，
由得单调减区间为。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
9．【答案】和
【解析】
y′＝cos，当－π<<－时，cos<0，∴y′＝cos>0，
当0<<
时，cos>0，∴y′＝cos>0.
10.
【答案】
(－∞，－1)
【解析】
函数y＝ln(2－－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令＝2－－2，＝2－1<0，得<，
∴函数y＝ln(2－－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
11.
【解析】