第1章导数及其应用专解4 求函数的极值-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2专题考点训练（必备知识点） (2)Word

【必备知识点】
1.函数的极值的定义：
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对附近的所有点，都有，则称函数在处取极大值，记作
；并把称为函数的一个极大值点.
（2）若对附近的所有点，都有，，则称函数在处取极小值，记作
；并把称为函数的一个极小值点.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
2由函数的极值定义可知：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
③极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
【典例展示】
例1.
下列函数的极值：
（1）；
（2）.
【解析】（1）函数的定义域为R，
，
令，得x=－2或x=2，
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2，2）
2
（2，+∞）
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
从上表可以看出，当x=―2时，函数有极大值，且；
当x=2时，函数有极小值，且.
（2）函数的定义域为R，
，
令，得x=0或x=2，
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
－
0
+
0
－
极小值0
极大值4e－2
由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且；
当x=2时，函数有极大值，且.
例2.
下列函数的极值。
（1）
；
（2）.
【解析】（1）=3－2－1，
若=0，则==－，=1，
当变化时，，变化情况如下表：
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，+∞)
+
0
－
0
+
极大值
极小值
∴的极大值是，极小值是.
（2）函数的定义域为R，
，
令，得x=―1或x=1，
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，―1）
―1
（―1，1）
1
（1，+∞）
－
0
+
0
－
极小值―3
极大值―1
由上表可以看出，当x=―1时，函数有极小值，且，
当x=1时，函数有极大值，且.
例3：已知函数在点处取得极大值5，其导函数
的
图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：
（1）的值；
（2）a，b，c的值。
【解析】
（1）由图象可知，在（―∞，1）上，在（1，2）上，在（2，+∞）上，
故在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减，
因此在x=1处取得极大值，所以=1.
（2）方法一：，
由，，，
得，解得.
方法二：设.
又，所以，，c=2m，
，由，即，
得m=6，所以a=2，b=―9，c=12.
例4：设函数的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为-4．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数的递减区间．
【解析】（1）∵
图象过原点，∴
c＝0，
，因图象与y＝0相切，
∴
，
∴
b＝0，
∴
，
令得x＝0或，
∴
当时，函数有极小值-4，
∴
，解得a＝-3
∴
所求的a，b，c的值为a＝-3，b＝c＝0．
（2）由（1）知，且，
令，解得x＝0或x＝2．
当x＜0或x＞2时，；当0＜x＜2时，，
∴
函数的递减区间为(0，2)．
【思路总结与方法】
思路：求函数的极值的重点在于解使导函数等于0的方程的根，再观察导函数的值再根的两侧是否变号，根据变号的变化特点判断函数值是否为极值.
解题步骤：
①求出已知函数的导函数
②解方程.
③观察符号的变化情况，时：如果在x0附近的左侧，右侧，那么是极大值，x=x0是极大值点；在x0附近的左侧，右侧，那么是极小值，x=x0是极小值点
【巩固练习】
1.讨论函数（）的单调性并求极值．
解析：
令，解得x1=0，
x2=,
x3=2
。
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，0）
0
（0，）
（，2）
2
（2，+∞）
－
0
+
0
－
0
+
1
由上表可以看出，在（－∞，0）和（，2）上为减函数，在（0，）和（2，+∞）上
为增函数，
当x=0时，函数有极小值;
当x=2时，函数有极小值；
当x=时，函数有极大值.
2.函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（　　　）
A．1个
　　　　
B．2个
　　　C．3个
　　　　
D．4个
【解析】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A.
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.
【解析】
依题意得方程组
解得.
当a=-3,b=3时，
令得x=1.
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
+
0
+
↗
无极值
↗
显然a=-3,
b=3不合题意，舍去.
当a=4,
b=-11时，f?(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)
令得或
x=1.
x
1
（1，+∞）
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在x=1处有极小值10，合题意，
∴a=4,
b=-11.
4.已知函数，当且仅当x=―1，x=1时取得极值，且极大值比极小值大4.
（1）求a、b的值；
（2）求的极大值和极小值.
【解析】
（1）的定义域为R，
∴，
∵x=±1时有极值，∴5+3a+b=0，
∴b=―3a―5，
①
代入得
∵仅当x=±1时有极值，∴5x2+3a+5≠0对任意x成立，
∴3a+5＞0，∴，
考查，随x的变化情况：
x
（－∞，―1）
―1
（―1，1）
1
（1，+∞）
+
0
－
0
+
极大值
极小值
由此可知，当x=―1时取极大值，当x=1时取极小值，
∴，即[(―1)5+a·(―1)3+b·(―1)+1]―(15+a·13+b·1+1)=4.
整理得
a+b=―3，
②
由①②解得.
（2）∵a=―1，b=―2，，
∴，.
【课后练习】
一、选择题
1．下列说法正确的是（
）
　　A．当时，则为f(x)的极大值
　　B．当时，则为f(x)的极小值
　　C．当时，则为f(x)的极值
　　D．当为函数f(x)的极值时，则有
2．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（
）
A．a－2b＝0　　　　　　　B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0
D．a＋2b＝0
3．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是（
）
A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点
B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点
C．x＝－1不是函数f(x)的极值点
D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点
4．设a∈R，若函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（
）
A．a＞－3
B．a＜－3
C．
D．
二、填空题
5.
若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__
_.
三、解答题
6．求下列函数的极值：
　　（1）；
　　（2）.
7．设a为实数，函数，x∈R.
（1）求的单调区间与极值；
（2）求证：当且x＞0时，.
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】由定义可知A、B、C均错，故选D.
2．【答案】D
【解析】　y′＝3ax2＋2bx，据题意，
0、是方程3ax2＋2bx＝0的两根
∴－＝，　∴a＋2b＝0.
3．【答案】B
【解析】　x>－1时，f′(x)>0
X
<－1时，f′(x)<0
∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．
4．【答案】B
【解析】
，若函数在x∈R上有大于零的极值点，即
有正根.
当成立时，
显然有a＜0，此时，
由x＞0，得，所以参数a的范围为a＜－3.
5．
【答案】a>2或a<-1
【解析】
∵f(x)
既有极大值又有极小值
,
有两个不同的解.
6．【解析】
（1），.
　　（2）提示：.
　　令y′=0，得，，，当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
　　由上表可知：
　　，.
7．【解析】
（1）由，x∈R知，x∈R.
令，得.于是当x变化时，，的变化情况如下表：
x
（－∞，ln2）
ln2
（ln2，+∞）
－
0
+
单调递减
2(1－ln2+a)
单调递增
故的单调递减区间是（－∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），在x=ln2处取得极小值，极小值为.
（2）设，x∈R.于是，x∈R.
由（1）知当a＞ln2―1时，最小值为.
于是对于任意x∈R，都有，所以在R内单调递增.
于是当a＞ln2－1时，对任意x∈（0，+∞），都有.
而，从而对任意x∈（0，+∞），.
即，故.