第1章导数及其应用专解6 求参数的值或取值范围-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2专题考点训练（必备知识点） Word

【必备知识点】
对于函数的极值、最值和恒成立问题，应注意以下几点：
正确区分最值与极值，函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值你叫大小.而最值是整个区间上对函数值比较大小.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，二最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值。
开区间连续函数不一定有最大值与最小值.如函数在（1，2）内连续，但没有最大值，也没有最小值.
不要将在R上恒成立与值域为混为一谈.
【典例展示】
例1．已知向量=（，+1），=（1―，t），若函数在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。
【解析】
解法一：依定义，
则
，
若在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有，
∴在区间（―1，1）上恒成立，
考虑函数，由于在图象的对称轴为，且在开口向上的抛物线，
故要使t≥32―2在区间（―1，1）上恒成立，即t≥5.
解法二：依定义，，
若在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有，
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，在（―1，1）上满足，即在（―1，1）上是增函数.
故t的取值范围是t≥5.
例2.
若函数在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，+∞)上为增函数，试求实数的取值范围．
【解析】解法一：，
当-1≤1，即≤2时，函数在(1，+∞)上为增函数，不合题意．
当-1＞1，即＞2时，函数在(-∞，1)上是增函数，在(1，-1)上为减函数，在(-1，l+∞)上为增函数，
依题意应有
解得5≤≤7，故的取值范围为5≤≤7．
解法二：由，
又在(1，4)上为减函数，在(6，+∞)上为增函数，
∴
解得5≤≤7．
故的取值范围为5≤≤7．
解法三：，
∵
在(1，4)上为减函数，
∴
在(1，4)上恒成立．
∴
，即＞1+在(1，4)上恒成立．
∴
．
又在(6，+∞)上为增函数，
∴
在(6，+∞)上恒成立．
∴
，即在(6，+∞)上恒成立，
∴
．
综上，的取值范围为5≤≤7．
【思路总结与方法】
思路：求参数的值或取值范围的关键是将已知条件转化为函数或其导函数应满足哪种要求，进而得到关于参数的方程（组）或不等式（组）.
解题步骤：
①求出导数.
②转化条件P为关于或的条件Q.
③利用条件Q，得到关于参数的方程（组）或不等式（组）.
④解方程（组）或不等式（组），得参数的值或取值范围.
【巩固练习】
1.已知函数f()＝3－2－3.
若f()在[1，＋∞)上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】对f()求导，得f′()＝32－2－3.
由f′()≥0，得≤
记t()＝，当≥1时，t()是增函数，
∴
t()min＝(1－1)＝0.
∴
≤0.
2已知函数
在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
3.设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求其单调区间.
【答案】
（1）当时，则恒成立，
此时f()在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：；
减区间为：，.
4.已知函数，，若在上是增函数，求的取值范围.
【答案】
由已知得，
∵在（0，1]上单调递增，
∴，即在∈（0，1]上恒成立。
令，又在（0，1]上单调递增，
∴，∴＞－1。
当=－1时
，对∈（0，1）也有，
∴=－1时，在（0，1]上也是增函数。
∴综上，在（0，1]上为增函数，
∴的取值范围是[－1，+∞）.
5.已知,
g()=4+22+2且F()=g()-(),
试问：是否存在实数，使F()在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【答案】假设存在实数满足题设.
F()=g()-f()=(4+22+2)-(2+1)=4-(-2)2+(2-),
F()=43-2(-2),
令43-2(-2)=0,
（1）若≤2，则=0.
当∈(-∞,0)时，F()<0；当∈(0,+∞)时，F()>0.
∴F()在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.
（2）若>2，则=0或，
当时，F()<0；当时，F()>0；
当时，F()<0；当时，F()>0.
∴F()的单调增区间是，，
单调减区间是，.
要使F()在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，
则，即=4.
故存在实数=4，使F()在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【课后练习】
一、选择题
1．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R内恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.
已知对任意实数x，有f(-x)=
-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，，则x<0时（
）
A．
B．
C．
D．
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有（
）
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
二、填空题
4．若函数y＝3－2＋4在(0,2)内单调递减，则实数的取值范围是____________．
三、解答题
5．已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
6．已知函数在R上是减函数，求的取值范围.
【答案与解析】
1.
【答案】A.
【解析】由＞0时，。
令，则。
∵，∴在（0，+∞）上为增函数。
当＜0时，。
令，则。
∴在（－∞，0）上为减函数，∴，
∴在R上恒成立，且≠0时，。
即，∴在∈R且≠0时恒成立。
把=0代入得，
∴在R上恒成立。
2.
【答案】
B
【解析】
f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
3.
【答案】C
【解析】由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，
故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.
4.【答案】　[3，＋∞)
【解析】　y′＝32－2，由题意知32－2<0在区间(0,2)内恒成立，
即>在区间(0,2)上恒成立，∴≥3.
5.【解析】（1）求导：
当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，递增
（2），且解得：
6.【解析】
所以
。