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1.3
二项式定理
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．
除以88的余数是（
）
A．2
B．1
C．86
D．87
2．若，则（
）
A．1
B．0
C．
D．
3．已知多项式可以写成，则（
）
A．0
B．
C．
D．
4．展开式中含的项是（
）
A．第8项
B．第7项
C．第6项
D．第5项
5．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若的展开式中的系数为，则等于（
）
A．
B．
C．1
D．2
8．若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为
A．1
B．5
C．10
D．20
9．的展开式中剔除常数项后的各项系数和为
A．-55
B．-61
C．-63
D．-73
10．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若240，则展开式中x的系数为
A．300
B．150
C．－150
D．－300
二、填空题
11．若，则的值为________.
12．的展开式中的项的系数是________.
13．的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）
14．设为正整数，
展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为，若，则______．
三、解答题
15．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.
（1）求n；
（2）求展开式中的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项.
16．已知（的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求的展开式中：
（1）所有二项式系数之和；
（2）二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项.
17．已知的展开式中所有的二项式系数之和为128.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
18．在（）的展开式中所有二项式系数之和为256.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
19．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
20．已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
21．已知(1+x2)2n的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
答案解析
1．B
【详解】
因为
，
所以除以88的余数是1.
故选：B.
2．C
【详解】
，
当且时，，
因此，.
故选：C.
3．C
【详解】
由题意，多项式
，
即，
令，可得，
令，可得，
两式相加，可得，可得.
故选：C.
4．C
【详解】
解：展开式的通项公式为：；
令；
故展开式中含的项是第6项.
故选：C.
5．A
【详解】
展开式中只有第六项的二项式系数最大，，
故展开式的通项公式为，
令，解得，所以展开式中的常数项为.
故选：A.
6．D
【详解】
令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，
，
展开式中常数项为的常数项与含的系数和，
展开式的通项为，
令得；令，无整数解，
展开式中常数项为，
故选：D
7．D
【详解】
将题中所给式子可化为
根据二项式定理展开式通项为,的通项为
令
解得
所以的项为
令
解得
所以的项为
综上可知,
的系数为
解得
故选:D
8．C
【详解】
对令得，解得.二项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.
故选C.
9．D
【详解】
令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选D.
10．B
【详解】
令，得，故，解得.二项式为，展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.故选B.
11．-1
【详解】
因为，
令可得；令可得：；
故．
故答案为：-1
12．1560
【详解】
由题意，，
因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的项的系数是.
故答案为：1560.
13．180
【详解】
的展开式中的通项公式
，
而
分别令，，
解得，或．
∴的展开式中的常数项．
故答案为：180．
14．7
【详解】
解：
展开式中二项式系数的最大值为，
展开式中二项式系数的最大值为，
因为
所以
即：
解得：
15．（1）8；（2），，；（3），.
【详解】
（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，，
∴，
解得n＝8(n＝1舍去).
（2）由，
当时，为有理项.
∵且，∴，4，8符合要求.
故有理项有3项，分别是，，.
（3）设第r＋1项的系数为最大，则，
则＝≥1，＝≥1，
解得.
当r＝2时，当r＝3时，，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为，.
16．（1）；（2）；（3）第项.
【详解】
解：（1）由题意，解得.
二项式系数和为
（2）由于为偶数，所以的展开式中第6项的二项式系数最大，
即.
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则
∴，得，即
∴，∴，
故系数的绝对值最大的是第4项，即：
17．（1），；（2）.
【详解】
（1）由题意，知，所以.在二项式系数中，最大的是与，
故二项式系数最大的项是第4项与第5项，即，.
（2）设第项的系数最大，
则有，由于，故，所以系数最大的项是第6项，即.
18．（1）；（2）
【详解】
解：（1）的展开式中所有二项式系数之和为，，
故展开式的通项公式为．
令，求得，故展开式中的常数项为．
（2）由于，故当时，二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为．
19．（1），；（2）．
【详解】
（1）由题意知，
又展开式的通项为：
展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项
所以，
（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，
也即在，，，中产生，
而，，
，
故系数最大的项为第5项
20．（1）；（2）,,．
【详解】
解：二项式展开式的通项公式为
，；
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得
，
即,
解得；
（2）二项式展开式的通项公式为
，；
当时,对应项是有理项,
所以展开式中所有的有理项为
,
,
．
21．（1）；（2）.
【详解】
由题意得22n-2n=992,解得n=5.
(1)的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=(2x)5=-8
064.
(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,
则Tk+1=(2x)10-k=(-1)k210-k·x10-2k,
得
即
k,
∵k∈N,∴k=3,
故系数的绝对值最大的是第4项T4=(-1)327·x4=-15
360x4.
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1.3
二项式定理
随堂同步基础练习
一、单选题
1．在的展开式中，的系数为（
）
A．6
B．12
C．24
D．48
2．的展开式中常数项为（
）
A．10
B．
C．5
D．
3．在的展开式中.常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
4．的展开式中的系数为（
）
A．
B．280
C．
D．210
5．在二项式的展开式中，有理项共有（
）
A．项
B．项
C．项
D．项
6．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．的展开式中x3的系数为（
）
A．-5
B．10
C．5
D．-12
8．若，则（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．已知，，则自然数等于（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
10．已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（
）
A．4
B．5
C．4或5
D．6
11．已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（
）
A．-84
B．-14
C．14
D．84
12．在的展开式中，的系数是（
）
A．20
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知的展开式中的系数是，则各项系数最大的是________.
14．在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第个数与第个数的比为.?
15．的展开式中的系数为，则________．
三、解答题
16．已知．求：
（1）展开式中第项的二项式系数；
（2）展开式中第项的系数；
（3）展开式的第项．
17．在的展开式中
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项?
18．在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项的系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
19．已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等.
（1）求的值；
（2）若展开式的常数项为，求.
20．已知的展开式中，含的项的系数为70，求实数a的值.
21．已知展开式中的第三项的系数为，求：
（1）含的项；
（2）二项式系数最大的项．
答案解析
1．B
【详解】
展开式的通项为
由，解得，则的系数为
故选：B
2．B
【详解】
要求的展开式中的常数项，只需求的展开式中的系数.
因为的展开式中的系数为，所以的展开式中常数项为.
故选：B
3．B
【详解】
解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以
故选：B
4．A
【详解】
的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的系数为.
故选：A
5．A
【详解】
的通项公式为，
可知当时，或或，可得有理项共有项.
故选：A.
6．C
【详解】
二项式的各项系数的和为，
二项式的各项二项式系数的和为，
因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，
所以，.
故选：C.
7．C
【详解】
的通项为
令，此时系数为令，此时的系数为
则的系数为.
故选：C
8．B
【详解】
令可得：，
令可得：，
两式相加可得：，
所以，
故选：B
9．C
【详解】
由题意，令，则，
因为，所以，解得.
故选：C.
10．C
【详解】
因为二项式的展开式中所有项的系数和为512，
令，得
所以，二项式展开式有10项，
则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，
所以当或5时，最大，
故选：C
11．A
【详解】
因为二项式的系数之和等于128，
所以，解得，
所以二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中含项的系数为，
故选：A
12．D
【详解】
，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
故选：D.
13．
【详解】
，，
又二项展开式中的系数是，可得，
，二项展开式的通项公式为，系数为
当时，系数最大为.
故答案为：
14．
【详解】
假设第中从左至右第个数与第个数的比为，
第行从左到右第个数为，第个数为，
则，即，解得.
故答案为：.
15．
【详解】
解：由二项式定理展开式的通项公式得
，
令，解得，
所以展开式中项为，其系数为，解得.
故答案为：
16．（1）；（2）；（3）．
【详解】
的展开式通项为，
其中且.
（1）展开式中第项的二项式系数为；
（2）展开式中第项的系数为；
（3）展开式的第项为.
17．（1）；（2）第6项和第7项.
【详解】
展开式的通项公式为
（1）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，
故.
(2)
设第项系数的绝对值最大，
则
，即
，
整理得
，于是或.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
18．（1）264（2）或.
【详解】
(1)设第项为，
令解得，
故展开式中含项的系数为.
(2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
∵
，故或，
解得或.
19．（1）；（2）.
【详解】
（1）由第项和第项的二项式系数相等可得，解得；
（2）由（1）知，展开式的第项为：；
令，得，此时展开式的常数项为，解得.
20．1
【详解】
由的展开式的通项公式为
所以的展开式中，
可得含的项的系数为，解得.
21．（1）；（2）.
【详解】
（1）展开式的通项为，
由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，
，解得，则展开式通项为，
令，解得，因此，展开式中含的项为；
（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.
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