6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

平面向量的正交分解及坐标表示练习
一、单选题
已知ABCD为平行四边形，其中A(5,?1)，B(?1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(????)
A. (?7,0) B. (7,6) C. (6,7) D. (7,?6)
已知向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，则b=? (??? )
A. (1,?2) B. (1,2) C. (5,6) D. (2,0)
如图，我们在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|=2，θ=45°，则向量a的坐标为? (??? )
A. (1,1)
B. 22,22
C. (2,2)
D. (2i,2j)
在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，AD=(?1,2)，则AC+BD=? (??? )
A. (?2,4) B. (4,6) C. (?6,?2) D. (?1,9)
如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB可以表示为(????)
A. 2i+3j B. 4i+2j C. 2i?j D. ?2i+j
若{i,j}为正交基底，设a=(x2+x+1)i?(x2?x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(? ? )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三象限 D. 第四象限
如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，那么AB可以表示为(????)
A. 2i+3j B. 4i+2j C. 2i?j D. ?2i+j
如果将OA=32,12绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB，则OB的坐标是(? ? )
A. ?12,32 B. 32,?12 C. (?1,3) D. ?32,12
已知向量AB=(1,1)，BC=(?2,1)，DC=(0,3)，则AD=? (??? )
A. (?1,5) B. (?1,?1) C. (3,3) D. (1,1)
设向量a=(4,?12)，b=(?8,18)，若表示向量a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于? (??? )
A. (1,?1) B. (?1,1) C. (?4,6) D. (4,?6)
设向量a的始点坐标为(3,1)，终点坐标为(?1,?3)，则向量a的坐标为(??? )
A. (?1,?3) B. (4,4) C. (?4,?2) D. (?4,?4)
二、单空题
已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(?4,?3)，则向量BC=??????????.
作用于原点的两个力F1=(1,1)，F2=(2,3)，为使它们平衡，需加力F3=________．
已知点A(1,?2)，若向量AB=(6,9)，则点B的坐标为_______．
在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB=(2,4)，AC=(1,3)，则______．
已知向量a=(2m,m)，b=(n,?2n)，若a+b=(9,?8)(m,n∈R)，则m?n的值为_________．
三、解答题
已知点A(2,3)，B(5,4)，C(5λ+2,7λ+3)，若第三象限的点P满足AP=AB+AC，求实数λ的取值范围．
已知向量AB=(4,3)，AD=(?3,?1)，点A(?1,?2)．
(1)求点B和点D的坐标；
(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R)，求y与λ的值．
已知点A(3,?4)与B(?1,2)，点P在直线AB上，且|AP|=|PB|，求点P的坐标．
已知点O(0,0)，A(1,2)，B(1+3t,2+3t)，OP=OA+OB，问t为何值时，
(1)点P在x轴上？
(2)点P在y轴上？
(3)点P在第二象限？
答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：设D(x,y)，因为AD=BC，
所以(x?5,y+1)=(2,?5)，
所以x=7，y=?6．
2.【答案】A
【解答】
解：因为向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，
则b=a+b?a=(3,2)?(2,4)=(1,?2)．
故选A．
3.【答案】C
【解答】
解：设向量a=(x,y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ，
由三角函数的定义，可知x=|a|cosθ=2×22=2，y=|a|sinθ=2×22=2，
即向量a=2,2，
故选C．
4.【答案】A
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，由A(1,2)，B(3,5)，AB=(2,3)，AD=(?1,2)，
∴AC+BD=AB+AD+AD?AB=2AD=(?2,4)．
5.【答案】C
【解答】解：记O为坐标原点，则OA=2i+3j，OB=4i+2j，
所以AB=OB?OA=2i?j．
故选C．
6.【答案】D
【解答】
解：因为{i,j}为正交基底，且a=(x2+x+1)i?(x2?x+1)j(其中x∈R)，
所以x2+x+1=x+122+34>0,x2?x+1=x?122+34>0，
故向量a对应的坐标位于第四象限，
7.【答案】C
【解答】解：记O为坐标原点，则OA=2i+3j，OB=4i+2j，
所以AB=OB?OA=2i?j．
8.【答案】D
【解答】解：因为OA=32,12所在直线的倾斜角为30°，
绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB所在直线的倾斜角为150°，
所以A，B两点关于y轴对称，
由此可知B点坐标为?32,12，
故OB的坐标是?32,12，
9.【答案】B
【解答】
解：∵DC=(0,3)，
∴CD=(0,?3)．
又∵AB=(1,1)，BC=(?2,1)，AD=AB+BC+CD，
∴AD=AB+BC+CD=1?2+0,1+1?3=?1,?1．
10.【答案】D
【解答】
解：设c=(x,y)，
因为表示a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，
所以a+b+c=0，
即(4?8+x,?12+18+y)=(0,0)，解得x=4，y=?6，
所以c=(4,?6)．
11.【答案】D
【解答】
解：由题意得a=(?1,?3)?(3,1)=(?4,?4)，
12.【答案】(?7,?4)
【解答】
解：设C(x,y)，
∵点A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(?4,?3)，?
∴AC=(x,y?1)=(?4,?3)，
∴x=?4y?1=?3，
解得x=?4，y=?2，
∴C(?4,?2)，
∴BC=(?7,?4)．
故答案为(?7,?4)．
13.【答案】(?3,?4)
【解答】
解：∵F1+F2=(1,1)+(2,3)=(3,4)，
∴为使它们平衡则F1+F2+F3=0，
∴F3=?(F1+F2)=(?3,?4)．
故答案为(?3,?4)．
14.【答案】(7,7)
【解答】
解：记O为坐标原点，因为A(1,?2)，AB=(6,9)，
所以OB=OA+AB=(1,?2)+(6,9)=(7,7)，
15.【答案】34
【解答】
解：平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB=(2,4)，AC=(1,3)，
∴AD=BC=AC?AB=(1,3)?(2,4)=(?1,?1)，
∴BD=AD?AB=(?1,?1)?(2,4)=(?3,?5)，
则|BD|=(?3)2+(?5)2=34，
16.【答案】?3
【解答】
解：∵a+b=(2m+n,m?2n)=(9,?8)，
∴2m+n=9,m?2n=?8,∴m=2,n=5,
∴m?n=2?5=?3．
故答案为?3．
17.【答案】?解：设P(x,y)，则AP=(x?2,y?3)，?
又AP=AB+AC=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ)，?
所以(x?2,y?3)=(3+5λ,1+7λ)，? 得x?2=3+5λ,y?3=1+7λ,即x=5λ+5,y=7λ+4.?
因为点P在第三象限，所以5λ+5<0,7λ+4<0,解得λ故所求实数λ的取值范围是(?∞,?1)．
18.【答案】解：(1)设B(x,y).∵A(?1,?2)，
∴AB=(x+1,y+2)=(4,3)，
∴x+1=4y+2=3，解得x=3y=1
∴B(3,1)．
同理可得D(?4,?3)．
(2)∵PB=(1,1?y)，BD=(?7,?4)，
∴由PB=λBD得(1,1?y)=λ(?7,?4)，
∴解得y=37，λ=?17．
19.【答案】解：设P点坐标为(x,y)，|AP|=|PB|．
当P在线段AB上时，AP=PB．
∴(x?3,y+4)=(?1?x,2?y)，
∴x?3=?1?x,y+4=2?y,解得x=1,y=?1.
∴P点坐标为(1,?1).?
当P在线段AB延长线上时，AP=?PB，
∴(x?3,y+4)=?(?1?x,2?y).
∴x?3=1+x,y+4=?2+y,此时无解．?
综上所述，点P的坐标为(1,?1)．
20.【答案】解：因为点O(0,0)，A(1,2)，B(1+3t,2+3t)，OP=OA+OB，
所以OP=(1,2)+(1+3t,2+3t)=(2+3t,4+3t)，
(1)当点P在x轴上时，4+3t=0，解得t=?43；
(2)当点P在y轴上时，2+3t=0，解得t=?23；
(3)当点P在第二象限时，2+3t<04+3t>0，解得?43