6.3.1 平面向量基本定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

平面向量基本定理练习
一、单选题
已知在△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一点.若AP=mAB+211AC，则实数m的值为???? (????)
A. 911 B. 511 C. 311 D. 211
如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：
①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB．
其中可作为该平面内所有向量的基底的是(? ? ?)
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
在△ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC，设AB=a，AC=b，则AD可用基底a，b表示为(????)
A. 12(a+b) B. 23a+13b C. 13a+23b D. 13(a+b)
如图所示，矩形ABCD中，若，DC=4e2，则OC等于? (????)
A. 3e1+2e2
B. 3e1?2e2
C. 2e1+3e2
D. 2e1?3e2
设向量e1与e2不共线，若3xe1+(10?y)e2=(4y?7)e1+2xe2，则实数x，y的值分别为(????)
A. 0，0 B. 1，1 C. 3，0 D. 3，4
已知点P是△ABC所在平面内一点，若AP=23AB+13AC，则△ABP与△ACP的面积之比是? (??? )
A. 3:1 B. 2:1 C. 1:3 D. 1:2
如图所示，向量OA，OB，OC的终点在同一直线上，且AC=?3CB，设OA=p，OB=q，OC=r，则下列等式中成立的是(??? )
A. r=?12p+32q
B. r=?p+2q
C. r=32p?12q
D. r=?q+2p
如图所示，在四边形ABCD中，DC=13AB，E为BC的中点，且AE=xAB+yAD，则3x?2y等于? (??? )
A. 12 B. 32 C. 1 D. 2
已知点G为△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC分别交于M，N，若AM=xAB，AN=yAC，x，y∈R，则1x+1y=? (??? )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
在中，BD=12DC，则AD=(? ? ? ? )
A. 14AB+34AC B. 23AB+13AC C. 13AB+23AC D. 13AB?23AC
如图所示，在ΔABC中，AN=13AC，点P是BN上一点，若mAC=AP?23AB，则实数m的值为(????)
A. 13
B. 19
C. 1
D. 2
如图所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，对角线AC、BD交于点O，点E是线段AO的中点，点F是线段BC的中点，则AF=(????)
A. 12DE?74CO
B. 23DE?CO
C. 23DE?23CO
D. 12DE?54CO
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F满足BE=2EC,CF=2FD，EF与AC交于点G，设AG=λGC，则λ=(?? )
A. 97
B. 74
C. 72
D. 92
二、单空题
设向量m=2a?3b，n=4a?2b，p=3a+2b，试用m，n表示p，p=??????????．
在梯形ABCD中，已知AB?//?CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB，若AM=λAC+μAN，则λ+μ=_________．
已知a=e1+e2，b=2e1?e2，c=?2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c=??????????(用a，b表示).
在矩形ABCD中，AB=3，AC=5，e1=AB|AB|，e2=AD|AD|，若AC=xe1+ye2，则x+y的值为_________．
已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=3EF，则AF·BC的值为________
三、解答题
如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC=3AE，BC=3BF，若OC=λOE+μOF，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=13OB，设OA=a，OB=b，用a，b表示向量OC，DC．
如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近点O的一个三等分点，AD与BC交于点M.设OA=a，OB=b．
(1)用a，b表示OM．
(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于点E，F.设OE=pa，OF=qb，求1p+2q的值．
已知△ABC内一点P满足AP=λAB+μAC，若△PAB的面积与△ABC的面积之比为1:3，△PAC的面积与△ABC的面积之比为1:4，求实数λ，μ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：设BP=λBN，
则AP=AB+BP=AB+λBN=AB+λ(AN?AB)=AB+λ(14AC?AB)=(1?λ)AB+λ4AC=mAB+211AC，
∴λ4=211,m=1?λ,
解得λ=811,m=311.
2.【答案】B
【解答】
解：由题意可知AD与AB不共线；DA//BC；CA与DC不共线;OD//OB，
所以①③可以作为该平面内所有向量的基底．
3.【答案】C
【解答】解：因为BD=2DC，所以BD=23BC，
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC?AB)=13AB+23AC=13a+23b．
4.【答案】A
【解答】解：由条件可得：
．
故选A．
5.【答案】D
【解答】
解：3xe1(10?y)e2=(4y?7)e1+2xe2，，由于e1与e2不共线，
所以3x=4y?7，10?y=2x，
解得x=3，y=4．
6.【答案】D
【解析】解：点P是△ABC所在平面上一点，过P作PE//AC，PF//AB，
由AP=23AB+13AC=AE+AF，
故AE：EB=2：1=PC：PB，
所以△ABP与△ACP的面积之比为BP：PC=1：2，
故选：D．
过P作PE//AC，PF//AB，由AP=23AB+13AC=AE+AF，根据题意，△ABP与△ACP的面积之比为BP：PC=1：2，得出结论．
7.【答案】A
【解答】
解：∵AC=?3CB，OA=p，OB=q，OC=r，
得r?p=?3q?r
∴r=?12p+32q．
8.【答案】C
【解答】
解：∵E是BC 的中点，
∴BE=12BC，
∵BC=BA+AD+DC=?AB+AD+13AB，
∴BE=12?23AB+AD=?13AB+12AD，
∴AE=AB+BE=23AB+12AD，
∵AE=xAB+yAD，
∴x=23，y=12，
∴3x?2y=2?1=1，
9.【答案】C
【解答】解：方法一如图，连接AG并延长交BC于点D，由题意可知，点G为△ABC的重心，
所以AG=23AD=13(AB+AC)，
所以MG=AG?AM=13(AB+AC)?xAB=(13?x)AB+13AC．
又MN=AN?AM=yAC?xAB，且MG与MN共线，
所以存在实数λ，使得MG=λMN成立，即(13?x)AB+13AC=λ(yAC?xAB)，
所以13?x=?λx13=λy，消去λ得13?x=?x3y，即x+y=3xy，故1x+1y=3．
故选C．
方法二根据过点G作直线的任意性，可取此直线过点B，则点M与点B重合，点N为AC的中点，
所以有x=1，y=12，故1x+1y=1+2=3．
10.【答案】B
【解答】
解：因为BD=12DC，所以BD=13BC=13(AC?AB)，
所以AD=AB+BD=AB+13(AC?AB)=23AB+13AC．
11.【答案】B
【解答】
解：因为AN=13AC，所以AC=3AN，
所以3mAN=AP?23AB，
所以AP=3mAN+23AB，
因为B，P，N三点共线，所以3m+23=1，解得m=19．
12.【答案】A
【解答】解：以AB，AD为基底，
CO=?12AC=?12AB?12AD，
DE=AE?AD=14AC?AD=14AD+AB?AD=14AB?34AD，
AF=AB+BF=AB+12AD．
设AF=xDE+yCO，
则AB+12AD=x14AB?34AD+y?12AB?12AD．
所以14x?12y=1,?34x?12y=12,解得x=12,y=?74.
即AF=12DE?74CO．
13.【答案】C
【解答】
解：令CG=tCA=tCB+CD=t3CE+32CF=3tCE+32tAF，
由E，F，G三点共线，得3t2+3t=1，
即t=29，则G为AC的一个9等分点，
可得AG=72GC，
则λ=72，
14.【答案】?74m+138n
【解答】解：设p=xm+yn，
则3a+2b=x(2a?3b)+y(4a?2b)=(2x+4y)a+(?3x?2y)b，
得2x+4y=3,?3x?2y=2,解得x=?74,y=138.
所以p=?74m+138n．
15.【答案】34
【解答】
解：如图示：∵梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB．
∴AM=AC+CM
=AC+14BA
=AC+14(BN+NA)
=AC+14(12NC+NA)
=AC+18NC+14NA
=AC+18AC?18AN?14AN
=98AC?38AN．
又∵AM=λAC+μAN，
∴λ=98，μ=?38．
故λ+μ=98+(?38)=34．
16.【答案】2a?2b
【解答】
解：设c=λa+μb，
则?2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1?e2)，
所以?2=λ+2μ,4=λ?μ,解得λ=2,μ=?2,
故c=2a?2b．
故答案为2a?2b
17.【答案】7
【解答】
解：在矩形ABCD中，AB=3，AC=5．
利用勾股定理可得AD=4．
∵e1=AB|AB|，e2=AD|AD|，
∴AB=3e1，BC=AD=4e2，
故AC=AB+BC=3e1+4e2．
∴x=3，y=4．
故x+y=7．
18.【答案】13
【解答】
解：连接AE则AE⊥BC，
根据条件DE=12AC,DE=3EF，
所以EF=13DE=16AC，
AF=AE+EF=AE+16AC，
则AF?BC=AE+16AC·BC
=AE·BC+16AC·BC
=16×2×2×12=13．
19.【答案】解：因为AC=3AE，BC=3BF，
在矩形OACB中，OC=OA+OB，
又OC=λOE+μOF
=λ(OA+AE)+μ(OB+BF)
=λOA+13OB+μOB+13OA
=3λ+μ3OA+3μ+λ3OB，
所以3λ+μ3=1，3μ+λ3=1，
所以λ=μ=34．
20.【答案】解：因为A是BC的中点，所以OA=12(OB+OC)，
∴OC=2OA?OB=2a?b．
∴DC=OC?OD=2a?b?23b=2a?53b．
21.【答案】解：(1)∵OA=a，OB=b，设OM=xa+yb，
∴AM=OM?OA=(x?1)OA+yOB=(x?1)a+yb，
AD=OD?OA=?a+12b．
∵A，M，D三点共线，
∴AM，AD共线，从而12(x?1)=?y.①
∵又BM=OM?OB=xOA+y?1OB=xa+y?1b，
BC=OC?OB=13a?b，
即C，M，B三点共线，
∴BM，BC共线，
即13(y?1)=?x.? ②
联立①②解得x=15y=25,
故OM=15a+25b．
(2)∵OE=pa，OF=qb，
∴EM=OM?OE=15a+25b?pa=(15?p)a+25b，
EF=OF?OE=qb?pa，
∵EM，EF共线，
∴(15?p)q=?25p即q5+2p5=pq．
故：1p+2q=5．
22.【答案】解：如图，过P作PM//AC，PN//AB分别交AB，AC于M，N两点，
则AP=AM+AN，
得AM=λAB，AN=μAC．
作PG⊥AC于G，BH⊥AC于H，
因为S?PACS?ABC=14，所以PGBH=14．
又△PNG∽△BAH，所以PGBH=PNAB=14，
即AMAB=14，所以λ=14，同理μ=13．